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1、第九章,第一部分 二重积分的概念及性质,第二部分 二重积分的计算方法,二重积分,第二部分 二重积分的计算方法,大纲要求：,掌握二重积分在直角坐标系及极坐标系下的计算方法,且在D上连续时,若D为 X-型区域,则,若D为Y-型区域,则,一、利用直角坐标计算二重积分,说明:(1)若积分区域既是 X-型区域又是Y-型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.,则有,(2)若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域或Y-型域,则,二、利用极坐标计算二重积分,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图极点在区域之外,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图（极点在D的边界上）,注意内下限
2、未必全为0,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图（极点在D的内部）,极坐标系下区域的面积,例1.计算,其中D 是直线 y1,x2,及,yx 所围的闭区域.,解法1.将D看作X-型区域,则,解法2.将D看作Y-型区域,则,例2.计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解:为计算简便,先对 x 后对 y 积分,及直线,则,例3.计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解:由被积函数可知,因此取D 为X-型域:,先对 x 积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.,例4.交换下列积分顺序,解:积分域为:,视为X-型区域,则,例4.交换下列积分顺序,解:积分域由两部分组成:,视为Y-型区域,则,例4.交换下列积分顺序,解:积分域D为X型区域:,视为Y-型区域,则,例4.交换下列积分顺序,解:积分域为:,视为Y-型区域,则,例5.计算,其中D 由,所围成.,解:令,(如图所示),显然,真题赏析,计算题,1.（10年，5分）,求由方程,答案：,所确定的二元,函数,的全微分.,2.（06年，4分）求,的极值.,答案：极大值为,(另一驻点（0,0）处不是极值),
