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1、随机事件的概率一、概率1 .在相同条件下，大量重复进行同一试验，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性.我们把这个常数叫做随机事件A的概率.记作P(A).2 .频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但是频率是随机的，而耀是一个确定的值，通常人们用援茎来反映随机事件发生的可能性的大小.有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.二、事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B3A（或AqB）相等关系若83A且A38,那么称事件A与事件8相等.A=B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A
2、发生或事件B发生,称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)AlJB或A+B交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)AB或AB互斥事件若AClB为不可能事件,那么事件A与事件3互斥ACB=0对立事件若A8为不可能事件,AUB为必然事件，那么称事件A与事件8互为对立事件三、概率的几个基本性质1.概率的取值范围：OWP(A)WI2.必然事件的概率P(E)=L3 .不可能事件的概率P(F)=O4 .概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(AUB)=P(A)+P(B).5 .对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则AUB
3、为必然事件.P(AUB)=I,P(A)=I-P(B).例1:一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A.至多有一次中靶B.两次都中靶C.只有一次中靶D.两次都不中靶.解：“至少一次中靶”的互斥事件是“两次都不中靶”.选D。例2:掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；事件M至少一次正面朝上，则下列结果正确的是()A.P(M)=I,P(N)=,B.P(M)=P(N)=3C.P(f)=,P(N)=D.P(M)=；,P(JV)=T1113解：P(M)=yP(N)=一联合=不例3：某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20,0.30,0.1
4、0.则此射手在一次射击中不够8环的概率为()A.0.40B.0.30C.0.60D.0.90解：依题意，射中8环及以上的概率为0.20+0.30+0.10=0.60,故不够8环的概率为1-0.60=0.40.选A例4：盒子里共有大小相同的3只红球，1只黄球，若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是解：从中摸出两只球共有6种，其中颜色不同的有3种，故尸=I=V例5：甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是当乙获胜的概率是4则乙不输的概率是解：P=+l=.1 .互斥事件与对立事件包含类型两个事件A与B是互斥事件，有如下三种情况(I)若事件A发生，则事件B就不发生；(2)若事件B发生，则事件A就不发生；
5、(3)事件A,B都不发生.两个事件A与B是对立事件，仅有前两种情况.因此，互斥未必对立，但对立一定互斥.2 .从集合角度理解互斥事件和对立事件从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.例6：在2016年深圳里约奥运会火炬传递活动中，有编号为123,4,5的5名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为()3 572Aiob8cTod5解:从123,4,5中任取三个数的结果有10种,其中选出的火炬手的编号相连的事件有:(1,2,3),(2,3,4),(3,4
6、,5),选出的火炬手的编号相连的概率为P=例7：从1,2,345中随机取出三个不同的数，则其和为奇数的概率为()i?34A.gB.gC.gDg解：可能的情况有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5洪1042种，其中和为奇数的有(1,2,4),(1,3,5),(2,3,4),(2,4,5)共4种，故所求概率P=而=M例8：某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别.公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后
7、，从5杯饮料中选出3杯A饮料.若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格.假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.(I)求此人被评为优秀的概率；(2)求此人被评为良好及以上的概率.解：将5杯饮料编号为：1,2,345,编号1,2,3表示A饮料，编号4,5表示8饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：(123),(124),(125),(134),(135),(145),(234),(235),(245),(345),可见共有10种.令。表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好的事件，尸表示此人被评为良好及以上的I37事件，则(I)P(Z)=而；(2)P(
8、E)=孕P(F)=P(Z)+P(E)=而.例9：袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为由得到黑球或黄球的概率是,得到黄球或绿球的概率是提试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？解：分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A、B、C、D由于A、B、C、。为互斥事件，根据已知得W+P(8)+P(O+P(0=1,fPG?)=；,到P(8)+P(0=卷，解得)=；,a。)=/1 .应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和.2 .求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是
9、先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解.如果采用方法一，一定要将事件拆分成若干个互斥事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误.3 .对立事件一定是互斥事件.互斥事件不一定是对立事件，可借助于集合思想去找准对立事件.4 .若A、B互斥且对立.则P(A)+P(B)=L例10:某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙均属于次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03,丙级品的概率为0.01,则对成品抽查一件，恰好得正品的概率为()A.0.99B.0.98C.0.97D.0.96解：P=1-0.03-0.01=0.96.例11:一个袋中有4个大小质地都相同的小球，其中红球1
10、个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个.(1)求连续取两次都是白球的概率；(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，求连续取两次分数之和大于1分的概率.解：(1)连续取两次所包含的基本事件有：(红，红)，(红，白1),(红，白2),(红，黑)；(白1,红)，(白1,白1),(白1,白2),(白1,黑)；(白2,红)，(白2,白1),(白2,白2),(白2,黑)；(黑，红)，(黑，白1),(黑，白2),(黑，黑)所以基本事件的总数M=16.设事件4：连续取两次都是白球，则事件A所包含的基本事件有：(白1,白1),(白1,白2),(白2,白1),41(白2
11、,白2)共4个，所以P(A)=正=不(2)法一：由(1)连续取两次的事件总数为M=16,设事件8：连续取两次分数之和为0分，则P(B)=:41设事件C连续取两次分数之和为1分，则P(C)=克=；;设事件D:连续取两次分数之和大于1分，则P(O)=I一尸(B)P(C)=I法二：设事件B：连续取两次分数之和为2分，则P(8)=。；设事件C：连续取两次分数之和为3分，则41P(C)=毒设事件D：连续取两次分数之和为4分，则P(O)=去；设事件Ei连续取两次分数之和大于1分，则P(E)=P(B)+P(C)+P(0=9。Li例12：如图，A地到火车站共有两条路径Ll和L2,现随机抽取IOO位从二火车站A
12、地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：JL2所用时间(分钟)10-2020-3030-4040-5050-60选择L的人数612181212选择乙2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径Li和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人，用频率估计相应的概率为0.44.(2)选择L的有60人，选择Lz的有40人，故由
13、调查结果得频率为:所用时间(分钟)10-2020-3030-4040-5050-60Ll的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1(3)A,A2分别表示甲选择Ll和L2时，在40分钟内赶到火车站；B,B?分别表示乙选择Ll和Lz时，在50分钟内赶到火车站.由(2)知P(Al)=O.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=O.1+0.4=0.5,P(A1)P(A2),J甲应选择LI；P(Bi)=O.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=O.1+0.4+0.4=0.9,P(B2)P(B),，乙应选择L2.例13：甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙
14、两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75,则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为.解：P=I-0.2X0.25=0.95.答案:0.95。例14：已知向量a=(x、y),6=(1,2),从6张大小相同、分别标有号码1、2、3、4、5、6的卡片中，有放回地抽取两张，ry分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码.求满足b=的版率；求满足。力0的概率.解：(1)设(x,)，)表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、(2,1)、(2,2)(6,5)、(6,6),共36个.用A表示事件“b=1，即1一2=一1,则
15、A包含的基本事件31有(1,1)、(3,2)、(5,3),共3个，P(A)=石=五.(2)Z0,即-2y0,在(1)中的36个基本事件中,满足-2y0的事件有(3,1)、(4,1)、(5,1)、(6,1)、(5,2)、(6,(2) 6个，所以所求概率尸=,=例15：某次会议有6名代表参加，A、B两名代表来自甲单位，C、。两名代表来自乙单位，E、尸两名代表来自丙单位，现随机选出两名代表发言，问：(1)代表A被选中的概率是多少？(2)选出的两名代表“恰有1名来自乙单位或2名都来自丙单位”的概率是多少？则代表A被选中的概率为解：(1)从这6名代表中随机选出2名，共有C：=15种不同的选法，其中代表A
16、被选中的选法有C；=5种,=/(2)随机选出的2名代表“恰有1名来自乙单位”的结果有C；C：=8种，概率为麦；随机选出的2名代表“都来自丙单位”的结果有1种，概率为吉.则“恰有1名来自乙单位或2名都来自丙单位”这一事件的概率为+=.例16：盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球.规定取出1个红色球得1分,取出1个白色球得。分，取出1个黑色球得一1分.现从盒内一次性取3个球.则取出的3个球得分之和恰好为1分的概率是.解：记“取出1个红色球，2个白色球”为事件4,“取出2个红色球，1个黑色球”为事件3,则取出3个球得分之和为1的事件为“A+8”，则P(A+8)=P(A)+P
17、(B)=普+鲁=卷.例17:从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是()1 339ARrD10d10v,510解：从5个球中任取3个共有C；=10种方法.又“所取的3个球中至少有1个白球”的对立事件是“所取的3个球都不是白球”因而所求概率P=I4=义.本例条件不变，求所取的3个球中最多有1个白球的概率是多少？：“最多有一个白球分两类：一是三个都是红球，二是三个中一个白球2个红球，故P=7To-例18：2016年奥运会在里约热内卢举行，期间从来自A大学的2名志愿者和来自B大学的4名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A大学志愿者的概率是解：利用对立事件“2名大学生全来自8大学”去求，P=1*=/例19：已知7件产品中有2件次品，现逐一不放回地进行检验，直到2件次品都能被确认为止.(1)求检验次数为3的概率；(2)求检验次数为5的概率.解：(1)记“在3次检验中，前2次检验中有I次检到次品，第3次检验到次品”为事件A,则检验次数为3Cld12的概率为P(A)cl=2?,(2)记“在5次检验中，前4次检验中有I次检到次品，第5次检验到次品”为事件B,记“在5次检验中，没有检到次品”为事件C,则检验次数为5的概率为P=P(8)+P(O=普古+会
