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1、需等教学（下）自学、复习参考咨料m运用前请具体阅读后面所附的“运用指南”授课老师：杨峰（省函授总站高级讲师）剧烈建议同志们以综合练习为纲，细致驾驭其中的全部习题内容！各章复习范围：第一部分矢量代数与空间解析几何第八章第一至六节、第八节（即是除了第七节之外都要复习）其次部分多元函数微积分第九章第一至五节（其中第四节只要求“全微分”）第十章第一至三节、第五节（即是第四、六节暂不作要求）第三部分级数论第十一章都要复习敬告学员一一本门课程复习资料我们是依据听课和教研的基本状况结合自己的理解、加工，尽量全面、系统地整理出来，但是也只能供大家参考运用而已，并不能代表考试的任何信息，特此说明。不便之处，敬请
2、宽恕！另外，以后象这样的数理学科，众所周知，其难度较大，数字稍作变更，很多同志未必能做出来。因此，这些科目的面授课建议大家都能克服困难，主动地参与，以获得精确的学问和复习信息，否则光是依靠网上复习参考资料，随时有不能一次通过的危急。第十一章级数一、常数项级数的概念与性质（了解）1、无穷级数的概念设有无穷数列则式子Uy+2+Un+,7_OO_称为无穷级数，简称级数。记作士二V1.no即n=IAM%+2+,+，n=其中U，“2，一，叫做级数的项，而Un叫做级数的一般项或通项，各项都是常数的级数称为常数级数。例如1+2+3h（-H,1111IH-+HF332333就是常数项级数。2、级数的收敛与发散
3、定义设级数“1+2+h+，当n无限增大时，假如部分和数列3有极限S,即Iimsn则称该无穷级数是收敛的，这时极限S叫做级数的和，并写成S=+2+*，+Hf1.+，,假如数列S的极限不存在，则称该无穷级数发散，这时级数没有和。3、级数的基本性质性质1级数各项同乘以一个不为零的常数后，其敛散性不变。性质2收敛级数可以逐项相加或相减。即设有两个收敛级数S=%+M9+Uf1.+*,=V1+V2H1-VnH,则级数（%）+（2吗）+（%?匕J+=S5。性质3在级数前面加上（或去掉）有限项，其敛散性不变。（因此我们分析级数的敛散性时可忽视前面的一些项。）性质4收敛级数加括号后所成的级数仍旧收敛，且和不变。
4、4、级数收敛的必要条件OO重要定理若级数收敛，则当8时，一般项趋于零,72=1即Iimm=0o00所以一般项趋于零是级数收敛的必要条件。换言之，若Umw,则级nQO数发散。（这是推断一个级数发散常用的方法之一）AZ=I二、正项级数及其判敛法假如级数+“2T卜T，的各项都是非负数（即之0,n=1.,2,），则称这个级数为正项级数。1、比较判别法（会用）OOOoOO设两个正项级数V1.n和,假如级数AZ=IZ=1AZ=IOO收敛，且乙伽二1,2,），则级数21.也收敛；假如级数AZ=IOOOOv-发散，且乙V5=12）,则级数：也发散。Z=1M=I应熟记的几个级数的敛散性:（1）等比级数（几何级数
5、）SC1.当41时.，等比级数gr1收敛，且和为二二；当“1时，等比n=1.oo级数i发散。n=（2）调和级数与土是发散的。（3）P一级数8OOJ当p1.时，P级数正下发散；当八1时P级数自”收敛。2、比值判敛法(驾驭)OO定理设正项级数2有77=1Iim=pwun则当夕1时，级数发散；当夕=1时级数可能收敛，也可能发散。三、交织级数及其判敛法1、级数2+“3+.，+(D1+*,其中“0(n=1.,2,)称为交织级数。2、交织级数判敛法(莱布尼兹判敛法)8假如交织级数Z(T)巴二2)满意下列条件：ZZ=I(1) Unun+i(=1.,2,);(2) Ijm=onOO则交织级数Z(T严&=J2)
6、收敛，77=1且它的和Sooi)=1,该级数收敛且和S=1。1.nH=I113141+12341.)3 n=1.n(2-2=ln(n + l)1.n2+1.n-+In+1.nIimt=Iim(T2+1)=8oonoo,该级数发散。方法二：（步骤）8（一）、首先考察，假如九N,则级数发散;H=IOO（二）、假如=0,则级数敛散性不定，依据级数的不同类型,n=采纳不同的判敛方法；I、正项级数：比值法、比较法；2、交织级数：用莱布尼兹判敛法；3、随意项级数：先判定由它的各项取肯定值后所得的正项级数的敛散性。假如正项级数是收敛的，则原随意项级数肯定收敛；假如正项级数发散，则原随意项级数可能是条件收敛，
7、也可能发散。方法三：用级数的定义和性质判定级数的敛散性。例1判定下列级数的敛散性:1234/1I11F25811解：级数的通项为：.Iimun=Iim=Onn3一13，该级数发散。OO=11(21)2=-1.im2 mc02n-1.2+ 1(2刀-1)2解：此级数为正项级数。Iim4=Iimrmcounco(2t+1)2,该级数收敛。QOY-解：此级数为正项级数。r+12Iim-jtth=Iim-88(+1)!21.2n1=Iim=00,ae)n=aannnn解：此级数为正项级数。Iim4=Uma1.munfa(n+1.)!1.r5+1)1rz1.Ivz=Iim-=hm(1.+-)artcon
8、narton=-1.ae1）当V1,即aG时，级数收敛;e2）当1,即Ve时，级数发散。解：此级数为正项级数。分析：因为Iim=IimHn-H1(h+I)YrI+21=Iim一8不能用比值法判敛。但111dn+1.4nIn181又p级数ZQ是收敛的，n=n21噌前收敛。=1 +21+2+21+H又工而/2=1,十=I11234是少了第一项的调和级数，所以是发散的,(1+工原级数4中是发散的。8例2探讨级数*一1尸靛(P0)的敛散性。解:OO1001n=y(-i)-=yInpYtp当P1.时，弓7收敛,OO级数二(T尸/肯定收敛;而当()00/：O0P815?一IyIm收敛。H=I综上所述，级数
9、Z(Ty”7(po)n=nD当pi时，肯定收敛；2)当。V时，条件收敛。81重要说明：级数JD获的敛散性大家要熟记，正项级数的判敛法n=n是重要的考试内容。五、募级数(驾驭)1、假如级数U(X)+U2(X)HFun(x)H,的各项都有是定义在某区间上的函数，则称该级数为函数项级数。函数项级数的全体收敛点称为它的收敛域。2、形如2H6i0+axx+a2xHFanxH,称为X的嘉级数。3、事级数的敛散性8(1)依据等比级数可得幕级数XX”的收敛域是(-1,Do77=0(2)幕级数收敛半径的求法；设幕级数2na。+,X+a2%+*+C1.nX+，假如相邻两项的系数有Iim1.=pnn则1111)当夕
10、0时，幕级数在(一，)内肯定收敛，在端点x=1处的1 1敛散性需另行判定。万称为收敛半径，记为R,即尺=4。2)当夕=时，幕级数在(一0,+8)内收敛。收敛半径H=+oo3)当夕=8时，幕级数仅在X=。处收敛。收敛半径H=。4、收敛域为收敛区间(一R,R)加上收敛的区间端点。5、幕级数的运算设事级数/(%)=ZaXH=O2 n4。+C1.X+a2*+，+C1.nX+(Ri,Ri)8g(x)=汇2Xn=0=b0+/?1%+Zz72+brjx+,，(R2,Rz)其中/(x),g(x)分别是它们的和函数，R,R2分别是它们的收敛半径。则在(-R,R)内(R=min(R,R2),上述二收敛的幕级数可逐
11、项相加或相减，即OO8wg(%)=WX%,77?=0H=O=(4+)+axbxx+(a2b2)x+(%2)+，(R,R)6、幕级数的分析运算(重点驾驭)8Eax/7=0设幕级数2n=a0+axx+a2xH1-axH在(R,R)内收敛于S(x)o(1)基级数的和函数S(x)在收敛区间(一R,R)内是连续的。(2)幕级数在其收敛区间内可逐项求导。8QOS1.(X)=(汇anxn)/=汇(d)/n=0=O=(0+ax+a2x1H1-anxnH)=a1.+2tz9%H1-anxnxH.1 zn逐项求导后所得的塞级数与原级数的收敛半径相同。(3)幕级数在其收敛区间内可逐项积分。XX8J(x)dx=J(Z
12、00 =ann8X)d = Z(J72=0 0anxndx)=a0X+-X2HF/Xn+iH,2h+1项积分后所得的塞级数与原级数的收敛半径相同O例1求下列幕级数的收敛域)占2(九+1)解:,ocann2（+1.）（+2）1n1=Iim=I“TOO+2：,收敛半径为R=I,收敛区间为（一1,1）。仔（-r当X二1时，级数为+，收敛，1当X=I时，级数为自五硒，收敛。,收敛域为-1,1。重要说明：求收敛半径不用探讨端点的敛散性，求收敛域时要探讨端点的敛散性。（重点例题）例2求幕函数X的收敛区间及和函数。=1解：,.Iimn。+1=Iimn,收敛半径为R=1,收敛区间为（一1,1）。和函数S(X)
13、=T=(x)Zi=1.77=18Y1=(V)7=()=7r中n=1一%(1%)81r(Vx=X+X2+X3+xz,=1=)N=1-x1-x（这里利用了级数和J-=1+%+/+，+，这是特别重要的1.-X级数和，大家肯定要熟记它）8nX丁在（-1,D内的和函数。n=解：设两边对X求导,=1=1.+x+x2+xh1+1-x两边积分XXJfsf(x)dx=dxJJ1.-XOO1a即S(X)Io=-In(I-X)Io即S(X)-S(O)=-1.n(1.-%)+In(I-O).s(x)=-In(I-%)。六、函数绽开成幕级数1、设函数在含有XO的某个区间(a,b)上有直到n+1阶导数，则对于区间(a,b
14、)内的任一点x,级数/()z()(X-)!(X-X0)2+1-Cr-X0)+，2!！叫做函数f(X)的台劳级数。级数A0)+r(W?/+.+中/+，叫做函数f(X)的麦克劳林级数。2、函数绽开成基级数的方法只要求下述的间接绽开法：就是利用几个常用函数的募级数绽开式以及幕级数的四则运算、分析运算，函数的复合，变量代换等，将所给函数绽开成幕函数。几个常用函数的幕级数绽开式:1I-Xop=1+%+x2+xn+,=:xnn=0(1,1)2nxXXe=1+X11F2!357.XXXS1.nX= X13!5!7!2n1F.(2 1)!(-,+)COSX= X12!4!-.+(-1.)- 6!(2)!+(-
15、co,+oo)1.n(l+ X)= X + 23Y4yz+1|_(-1)2 _I4n + 1(1,1)（重要）例1将下列函数展为X的幕级数（麦克劳林级数）(1)y=shx=-(ex-ex)解：xn1.+ x + - 2!一+！(-,+)=1+2!（-1）n(-,+) H(2z + 1.)!35ex-e-x=2(x+-+-+3!5!(co,+,x)1Y2+1 -4- (2/2 + 1)!zX3X5Shx=XH1F.+3!5!(-,+)解:1_12x2工对喉+(/+()+124n=n乙n=0乙n=0乙(2,2)(3)/(x)=1.n(3+x)解:1.n(3x)=1.n3(1.+)=1.n3+1.n
16、(1.+1)=1.n3+f9-(当占5+1)3=M3+S(T(+1.)3n+1+1.-xn+i(3,3)(V-1.1.-3x3)3重要说明：求绽开式肯定要写收敛域例2、将,绽开为(-2)幕级数。X解：I=1J1=11户2%2+x-2211.x-2222zz=O乙(0,4).2v%22C)VxV4)七、富里哀级数a。21、函数项级数OOZ(at1.cosnx-hnsinnx)M=I称为三角级数，其中。0，%,45=1,2)都是常数，称为三角级数的系数。2、一个周期为2兀的函数f(x),假如能绽开成三角函数，即OOf(x)Z(af1.cosnx+bnsinnx)M=I那么1兀=-f(x)dxJ-=
17、jf(x)cosnxdxbn=Sir1XdX以上公式称为尤拉一富里哀公式，。也5=1，2,)叫做函数f(X)的富里哀系数，简称富氏系数。由富氏系数所确定的三角级数+2COSnx+sinnx)2=称火函数的富里哀级数，简称富氏级数。3、绽开条件狄里赫来定理设f(X)是周期为2冗的函数，假如在区间-肛句上满意下列条件：(1) f()在-肛乃上连续或只有有限个第一类间断点；(2) f(x)在-心句上只有有限个极值点，则函数f(x)的富氏级数收敛，并且它的和函数S(X)：当X为f(x)的连续点时,S(X)=f(x)；当X为f(X)的间断点时,S(X)=/(x0)+(x+0)X=一1或X=1时，S(X)
18、J(F+0)+(2例1设函数一-XOf（x）=O,X=Ox,0xhSm依n=1.称此级数为正弦级数。假如f（X）是周期为2JI的偶函数，则an=ff(x)Cosnxdx=-f/(x)-.cosnxdxbn=J/(x)SinzmZx=O冗-因此，偶函数f（X）的富氏级数只含余弦函数项，为a8+Va1.tCOSnx乙w=1.称此级数为余弦级数。2、函数展为正弦级数和余弦级数（重要）重点参看书的例题；P293297例5、例6。例2将/(%)=1+1(01%)展为余弦级数。解：展为余弦级数bt1.=O2an=-J(x+1.)cosM6k02-(x+1.)dsirn(x+1)sinnx-Jsinnxdx
19、O21Mn2-(力=12)na/(x)=X+1=，+Zacos/u2n=乃+2T亍+乙=12(T)-1COSZUx09三个部分的自学复习资料至此全部结束，祝考试好运!运用指南一一本复习参考资料应当与人手一册的综合练习册配套运用并听从于综合练习册。另外，请留意如下几点:综合练习册是我们复习重点中的重点，请比照答案将全部题目完整地做一遍（使题目与答案相结合而不要相分别，以便须要时加快查找的速度和精确度）。请将上述做好的综合练习册随身携带，常常复习、记忆，为应试作好打算；考试时请留意审题,遇到实在不会做的大题,假如你发觉只是综合练习册上的题目变更了数字，那么请将你能够知道的、原来那个题目的解法步骤完整地写出来，也能获得该题一部分的分数。对于填空、选择这样的小题，尽你所能去做，不要留下空白!
