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1、学校代码：学号：合/孝茂HefeiUniversity毕业论文（设计）BACHELORDISSERTATION论文题目：整数与多项式性质的异同比较_学位类别：理学学科专业：信息与计算科学作者姓名：曾钧鹏导师姓名：余海峰完成时间：整数与多项式性质的异同比较摘要：在学习数学的时接触比较多的是数和多项式，今天我们通过对整数与多项式性质的比较来研究它们有哪些相似之处与不同之处，进而更好深入学习整数与多项式。整数理论与多项式理论都是代数的非常基本的研究对象，二者在性质上有着很多相同之处。其概念、结果与方法，是近世代数中抽象概念的非常基本的模型和源泉。本课题尝试对二者的性质异同做一研究和归纳。具体任务为首
2、先对整数与多项式的各种性质进行归纳，其次讨论它们的相似于不同之处，最后从代数观点来分析解释异同原因。首先，本论文对整数和多项式的多项式各自的性质作了一个归纳，从它们的定义出发，再到它们的一些具体性质，包括整数和多项式的运算，整除性等一些性质。其次我们对整数和多项式的性质进行了一些比较，包括运算律，整除性等一些性质。在本文的最后我们从环和欧氏环的概念上对整数和多项式性质类同的原因做了一些简单的分析。通过的对整数与多项式的性质的归纳总结，进而让我们更深入了解整数与多项式的性质。然后通过代数观点上进行分析他们性质的异同，更加深入了解各个知识直接的关系与区别，能够更清楚的对整数与多项式进行认知。关键词
3、：整数多项式类同差异性质ThesimiIaranddifferencebetweenintegerandpolynomialAbstract：InIearningmathematicsismorecontactnumberandpolynomial,andtodaywebycomparingwithpolynomialintegernaturetostudywhatarethesimiIaritiesanddifferencesbetweenthem,thusbetterstudywithpolynomialinteger.Integertheoryandthetheoryofpolynomi
4、alaIgebraisverybasicresearchobject,whichhasalotincommoninnature.Theconcept,theresultsandmethods,isabstractconceptinmodernaIgebramodeIandthesourceoftheverybasic.ThistopicattemptstodoaresearchonboththenatureofthesimiIaritiesanddifferencesandinduction.Specifictasksforthefirstrsummarizedthepolynomialfor
5、integersandthevariousproperties,secondlydiscussthemsimiIartothedifference,finalIyfromthealgebraicpointofviewtoanalysisaccountforthesimiIaritiesanddifferences.FirstofaII,thisthesisforintegersandthenatureofeachofthepolynomialofapoIynomiaImadeaninductive,fromtheirdefinition,totheirspecificproperties,in
6、cludingtheintegerandthepoIynomiaIarithmetic,divisibleandsomeproperties.SecondIyweforintegersandthepropertiesofthepoIynomiaIarecompared,andsomeincludeoperationIaws,divisibleandsomeproperties.Attheendofthisarticle,wefromtheringandtheEucIideanringontheconceptofthecauseoftheintegerpoIynomiaIandpropertie
7、ssimiIartodosomesimpleanalysis.Throughthesum-upoftheintegerandthenatureofthepolynomial,thenletusmoredeeplyunderstandthenatureoftheintegerandpolynomials.ThenanaIyzetheirsimiIaritiesanddifferencesbetweenthenatureofthealgebraview,amorein-depthknowledgeindirectrelationshiptothevariousknowledgeanddiffere
8、nces,canmoreclearlytotheintegerpoIynomiaIwithcognitive.Keywords：integerpoiynomiaIsimiIardifferencenature第一章整数的概念及其性质5第一节整数及其运算51.1 整数的定义51.2 整数的运算6第二节整数的整除性72.1 整数的带余除法72.2 整数的整除性7第三节最大公约数与最小公倍数83.1 最大公约数83.2 最小公倍数10第四节算术基本定理101.4 素数及其性质101.5 算术基本定理10第二章.多项式的概念及其性质11第一节数域11第二节一元多项式112.1 一元多项式的定义112.
9、2 多项式的相等112.3 多项式的运算12第三节多项式的整除性123.1 带余除法123.2 多项式的整除12第五节多项式的因式分解定理14第三章：整数与多项式的性质的比较15第一节：整数和多项式运算性质的比较15第二节：整数和多项式的互素的比较16第四节多项式与整数的整除性比较164.1整除的概念164.2最大公因式与最大公约数174.3最小公倍式与最小公倍数18第四章：整数和多项式性质类同的分析19第一节：欧氏环的定义19第二节整数环和多项式环都是欧氏环192.1 整数环是欧氏环192.2 多项式环是欧氏环19第三节性质类同分析19结束语20参考文献：21致谢22第一章整数的概念及其性质
10、第一节整数及其运算1.1 整数的定义由于我们现在研究的整数是在整数环上来研究的，下面我们首先来对环的概念给大家进行一下简单的介绍。1.1.1 环的相关概念在正式表述环的定义时，我们要用到交换群的概念.这里先就交换群作一点补充说明.定义1.1设(GX)是一个交换群.我们定义G上的除法如下：=abi,Va,ZjG.b显而易见，对于任意的a,b,cwG,我们有3=cu=be.b因此我们称除法是乘法的逆运算.如果将一个交换群的代数运算叫做加法，并记作“+”，那么习惯上要对术语和记号作相应调整：设(G,)是一个交换群.我们定义G上的减法如下：a-b=a+(-b)Va,8G9显而易见，对于任意的a,b,c
11、eG,我们有a-b=cc+b=a因此我们称减法是加法的逆运算.定义1.2设R是一个非空集合，加法和乘法“”是R上的两个代数运算.若”+”和“满足条件：(I)(R,+)是一个交换群；(2)“”适合结合律;(3)对+”适合分配津即a(b+c)=(ab)+(ac)tS+c)=S)+(c),PCIhCeR、则称(尺+,)是一个环；不致混淆时,简称R是一个环.当(R,+,)是一个环时，我们就称R关于“+”和“”构成一个环；群(R,+)称为环R的加群，其零元又称为环R的零元,不致混淆时记作O。当O是环R的零元时,我们当然有Xo=O,VnZ;特别地,我们有OXo=O,其中第一个0表示整数零,后两个0表示环A
12、的零元。1.1.2 整环的概念整环是抽象代数中最基本的概念之一。一个环是一个集合A以及它上面的两种运算，分别称为“加法”(+)和“乘法”()，满足以下条件：1、A关于加法成为一个Abel群(其零元素记作0);2、乘法满足结合律：(而)c=0(bc)；3、乘法对加法满足分配律：a(b+c)=ab+bc,?&+b0=ac+bc;如果环A还满足以下乘法交换律，则称为“交换环”：4、乘法交换律：CIb=baQ如果交换环A还满足以下两条件，就称为“整环”：5、A中存在非零的乘法单位元，即存在A中的一个元素，记作1,满足1不等于0,且对任意有：a=a=a6、出?=0=0或8=0。1.1.3 整数的概念定义
13、13整数序列，-2,7,0,1,2,中的数称为整数.整数的全体构成整数集，整数对其上的加法和乘法构成一个环，记作Z(现代通常写成空心字母Z).1.2整数的运算作为一个环我们可以定义其上运算，主要包括整数的加、减、乘等。下面我们归纳了整数的加法和乘法的一些运算律。1 .加法交换律：a+b=b+a;2 .加法结合律：(+6)+c=+e+c);3 .乘法交换律:a*b=b*a;4 .乘法结合律:（4*b）*c=*（A*C）;5 .乘法对加法的结合律：*（力+c）=a*Z?+a*c.第二节整数的整除性我们再研究整数的整除性之前，我们要研究整数的带余除法，因为整除的概念是在带余除法的基础上研究的，那么我
14、们首先来介绍下整数的带余除法。2.1整数的带余除法定义14设为整数，b0,则存在整数q和小使得。=/+-,其中0A,并且q和由上述条件唯一确定；整数夕被称为。被除得的（不完全）商，数，称为。被除得的余数。注意：共有8种可能的取值：0,1,b-.若=0,即为。被整除的情形；易知，带余除法中的商实际上为（不超过蓝的最大整数），而带余除法的核心是关于余数厂的不等式：0r）（6+产2y+.+孙-2+尸）；若乃是正奇数，则+（在上式中用一）,代丁）2.2整数的整除性定义1.5设,是给定的数，b0,若存在整数c,使得。=松，则称8整除明记作回明并称方是。的一个约数（因子），称。是方的一个倍数，如果不存在上
15、述c,则称b不能整除。记作bIao由整除的定义，容易推出以下性质：定理1.1若。Ic且c%则b（传递性质）;定理1.2若切。且c,则b（c）即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。若反复运用这一性质，易知切。及则对于任意的整数#有b|（招）。更一般，若卬,都是的倍数，则b（+%+。）。或着白b,则其中/=IqZ,i=l,2,，；定理1.3若。|。，则或者。=0,或者4M,因此若力|。且Z?,则=Z?;定理1.4如果在等式4中取去某一项外,其余各项均为。的倍数,则这一项也是。的i=k=倍数；定理1.5个连续整数中，有且只有一个是的倍数；定理1.6任何个连续的整数之积一定是!的倍数，特别地，
16、三个连续的正整数之积能被6整除.第三节最大公约数与最小公倍数最大公约数与最小公倍数是整数中的一个重要的概念，这里我们主要讨论两个整数互素、最大公约数、最小公倍数等基本概念与性质。3.1 最大公约数定义16最大公约数设不全为零,以同时整除”的整数（如1）称为它们的公约数。因为a,b不全为零,故。/只有有限多个，我们将其中最大一个称为。口的最大公约数，用符号（“）表示。显然，最大公约数是一个正整数。当（）=1（即凡b的公约数只有1）时，我们称。与人互素（互质）。这是数论中的非常重要的一个概念。同样，如果对于多个（不全为零）的整数。乃,c,可类似地定义它们的最大公约数(,/?,c)O若(,b,c)=
17、l,则称,Z?,c互素。请注意，此时不能推出,b,c两两互素;但反过来，若,c)两两互素,则显然有(,c)=l。由最大公约数的定义，我们不难得出最大公约数的一些简单性质：例如任意改变。口的符号，不改变(,6)的值,即(,力)=(/)；(。,力可以交换，(a,b)=(b,a);为了更详细地介绍最大公约数，我们给出一些常用的一些性质：定理1.7设Q力是不全为0的整数，则存在整数x,y,使得办+与，=(劣份；定理1.8(裴蜀定理)两个整数。,b互素的充要条件是存在整数ay,使得如+与，=1;事实上，条件的必要性是性质(1)的一个特例。反过来，若有X,使等式成立,不妨设(,b)=d,则d,d6,故d0
18、r及db，于是d(ax+hy),即dl,从而d=l。定理1.9若川,机|，则2|(见加，即的任何一个公约数都是它们的最大公约数的约数；定理1.10若/0,贝J(w,mb)=m(a9b)；定理1.11若s)=d,则7l)=i因此两个不互素的整数，可以自然地产生一对互素的整数；定理1.12若QM=L(Em)=I,则(m)=l,也就是说，与一个固定整数互素的整数集关于乘法封闭。并由此可以推出：若(G)=1,对于VZ0有(/,b)=l,进而有对D0有(,R)=1o定理1.13设Z?Iac,若S,c)=l,则b;定理1.14设正整数力之积是一个正整数的次方鬲(A2),若(a,b)=1,则。/都是整数的A
19、次方鬲。一般地,设正整数。也,c之积是一个正整数的攵次方羯(&2),若也,c两两互素，则。,儿,c都是正整数的k次方鬲。3.2 最小公倍数定义1.7设是两个非零整数，一个同时为。口倍数的数称为它们的公倍数，。力的公倍数有无穷多个，这其中最小的一个称为。,b的最小公倍数，记作L”,对于多个非零实数,b,c,可类似地定义它们的最小公倍数a-,c。最小公倍数主要有以下几条性质：定理1.15。与的任一公倍数都是LU的倍数，对于多于两个数的情形，类似结论也成立；定理1.16两个整数,的最大公约数与最小公倍满足：（a,ba,b=al（但请注意，这只限于两个整数的情形，对于多于两个整数的情形，类似结论不成立
20、）；定理1.17若也,c两两互素,则a,c=Ia,b,-,cI；定理1.19若理d,b,cd,且。也,c两两互素，则。,瓦,cIdo第四节算术基本定理3.3 素数及其性质正整数分为三类：（1）单位数1;（2）质数（素数）：一个大于1的正整数，如果它的因数只有1和它本身，则称为质（素）数；（3）如果一个自然数包含有大于1而小于其本身的因子，则称这个自然数为合数。（1）若。Z,al,则的除1以外的最小正因数，/是一个质（素）数。如果4工。，贝Jg-;（2）若是质（素）数，。为任一整数，则必有或（,p）=1;（3）设。19，/为九个整数，P为质（素）数,且pl4的4，则P必整除某个（1i）；3.4
21、算术基本定理定理1.20（算术基本定理）任何一个大于1的正整数能唯一地表示成质（素）因数的乘积（不计较因数的排列顺序）；注：任何大于1的整数。能唯一地写成=pfpfp,i=L2,/的形式，其中Pj为质（素）数(P,VPj(ig(x)v(x)=l;第三节：整数和多项式的分解的比较任意的两个整数(多项式)，它们都可以分解因数(式)并且可以分解成几个相同的数(式)相乘的形式也就是我们所说的重因数(重因式)例如8=2*2*2,(+1)3=(x+1)(x+1)(x+1),2和(x+1)就分别是它们的重因数和重因式，它们两者分解之后同样有最大公因数(式)。第四节多项式与整数的整除性比较一元多项式理论是高等
22、代数中的一个重要内容。同时,它与初等数学知识联系紧密。对相关内容作一分析、对比,可以加深对这一理论的理解。本文通过对多项式与整数的整除性概念、公约数与公因式及因式(数)分解定理等方面加以比较、分析,并略举几例说明它们之间的联系。4.1 整除的概念设/(x),g(6E网同(以Fer)表示数域F上的一元多项式的全体作成的集合)，如果存在MX)WMX),使/(x)=g(x(x),则有g(x)(x)。相仿地设,beZ(以Z表示整数集)，如果存在cZ,使则有切整除关系性质比较(以下假设所有多项式都属于户(X)：多项式整除的性质整数整除的性质性质1若/U)g(6,g(6MX),则WMX)若41b,b|c,
23、则|c性质2若/V)Ig(X)，g()()，则F(X)=Cg(X),”0)若4z?,ba,那么4=8,或a=-b性质3若/(v)gi(6，则对任意的多项式%(x),恒有f(x)|SUigi(X)r=l若bai,那么b|Zciai(Z,z=1,2,加)/=I整除的一个判别法:若g(x)WO,则g(x)(x)的充分必要条件是f(x)除f(x)的余式r(X)=OO类似地,有加。的充分必要条件是b除a的余数r=0。例题1证明(d-1)I(X-1)的充分必要条件是,其中d,是非负整数。证明充分性设，假定=感，则n-l=-l=(d”_1=(dl)(-D+d(g-2)+.+1),从而,有(X-1)I(x-1
24、)必要性设(XdT)I(X-1),假定n=dq+r,r=0或0rvd,如果OVrVd,那么T=%dg-i=A(/-i)+(d-i),由充分性的证明知,(八I)I(Xj),故(XfI(Xr-1),但是，Ord,矛盾,必有r=0,这就证明了41。4.2 最大公因式与最大公约数数域F上的任意两个不全为零的多项式/(用与g(x)的首项系数为1的最大公因式(*),g(x)一定存在且唯一；同样，两个不同时为0的两个整数。力，它们非负的最大公约数3。)也一定存在且唯一。设/()=g(M()+r(),则(/。)遥(尤)=8*)/3)，这就是多项式的最大公因式的一个重要的性质;同时,整数的最大公约数也有相应的性
25、质。多项式的最大公因式与整数的最大公约数都可以辗转相除法求得。由辗转相除法可知，若d(x)是/(x)与g(x)的最大公因式,则必有(x),心)，满W(X)/(x)+u(x)g(九)=d(x)。同理可得,若d=(。/),那么有整数U,U存在,使得d=ua+vbo由此可进一步知道：两个整数。与互质的充要条件是存在整数使得+法=1;两个多项式/(x)与g(x)互素的充要条件是存在(x)#(x),使得W(X)/(x)+y(x)g(x)=l。互素(质)的性质比较：多项式整除的性质整数整除的性质性质1若(f(),g()=1,(/(X)M(X)=1,则(AOg(MCv)=I若(,b)=l,(,c)=l,则(
26、a,be)=1性质2f(x)Ig(x)h(x),且(/(x),g(x)=1,则有切心)若。IAc,且(a,b)=1,则有aIc性质3若f(x)Ih(x)9g(x)IMX)且(/W,g()=1则有0)g(x)Ih(x)若g,bc,且(a,b)=l,则有able4.3 3最小公倍式与最小公倍数设/(x),g(x)/可，则不同时为零的两个多项式/(x)与g(x)的首项系数为1的最小公倍式(/3),g(x)是唯一的，而/(x)与g(x)的其它最小公倍式都是(f(x),g(x)的非零常数倍;对于不同时为零的整数。力，它们的非负的最小公倍数也是唯一的。而且最大公因式与最小公倍式具有下列关系：若/(x)O,
27、g(x)0,则f(x)g(x)(f(x),g(x),是f(x)与g(x)的一个最小公倍式。第四章：整数和多项式性质类同的分析第一节：欧氏环的定义定义4.1具有单位元的整环R叫做一个欧几里得环(简称欧氏环)，假如(1)存在一个从R*到非负整数集的一个映射d,这里E是R的所有非零元的集合；(2)设0cT对于任何R,都存在4R,使=q+,这里/=O或dQ)d()。第二节整数环和多项式环都是欧氏环2.1 整数环是欧氏环整数环Z是一个欧氏环，因为，对于任何。Z*,规定d()=4(|表示的绝对值)，d是Z*非负整数集的映射，并且对于任何,8Z,wO,存在qZ,使=+r,这里0Y4o2.2 多项式环是欧氏环
28、数域厂上多项式环Fx是一个欧氏环，因为，对于任何/(x)尸规定(/(%)=deg/(x),d是r*f非负整数集的映射，并且对于任何/(%),g(x)w/国,g(x)O,存在夕(x),r(x)Fx,使f(x)=q(x)g(x)+r(x),这里r(x)=O或degr(x)degg(x)。第三节性质类同分析首先，我们从环的定义可以看出，作为环，无论是整数环和多项式环都是应该满足加法和乘法的交换律，结合律，分配律等一下性质。其次，通过上面我们证明了整数环和多项式环都是欧氏环，我们从欧氏环定义可以看出欧氏环是的基础是带余除法，而整数环和多项式环的整除性都是通过带余除法得出来的，当=()时就得出了整数与多
29、项式的政策性。所以从根本上，整数和多项式的整除性是相同的。结束语我们可以知道,整数的整除性与多项式的整除性有相同或相似之处,而且对于多项式的因式分解问题,与整数的因数分解也有相类比之处。实际上,关于整数与多项式的整除性还有很多类似的结论和性质,在此不再说明了。在我们学习的过程中有许多内容是有共同的地方的，这就是我在学习数学的过程当中在学习它们的性质时发现的一点规律,由于能力有限可能没有完全总结出他们的类同和差异之处希望大家指正。参考文献:1闵嗣鹤、严士健.初等数论北京.高等教育出版社,200307第三版.2张禾瑞、郝炳新编.高等代数.北京:高等教育出版社,1983.07第三版3冯克勤、余红兵.
30、整数与多项式.北京:高等教育出版社,1999.104石生明.近世代数初步.北京:高等教育出版社,2002.25,网上与整数和多项式整除性理论相关的资料。6课外数学天地，福建教育出版社编。7初等整数论，熊全沦，武汉、湖北教育出版社.8高等代数，高等教育出版社。9张禾瑞郝新编.高等代数M（第四版）。高等教育出版社，2003年5月10miIksea整数毕业论文致谢词模版本论文是在导师余海峰副教授的悉心指导下完成的。导师渊博的专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严以律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远。不仅使我树了远大的学术目标、掌握了基本的研究方法，还使我明白了许多待人接物与为人处世的道理。本论文从选题到完成，每一步都是在导师的指导下完成的，倾注了导师大量的心血。在此，谨向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢！
