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1、闭环控制系统的动态性能，主要由系统的闭环极点在s平面上的分布所决定。利用系统的开环零、极点分布图，采用图解法来确定系统的闭环特征根随参数变化的运动轨迹-根轨迹。,第4章 根轨迹法,内 容 提 要,根轨迹的基本条件、幅值方程、相角方程，常规根轨迹绘制的基本规则，广义根轨迹的绘制、根轨迹图分析系统的动态、静态特性。,知 识 要 点,4.1 根轨迹的基本概念4.1.1 根轨迹 设控制系统的开环传递函数为,系统开环极点有两个,系统的闭环传递函数为,系统的特征方程为,其特征根为,时，系统特征根(闭环极点)变化情况如下：,当,系统的闭环极点为开环极点；,时，闭环极点,为两个互不相等的负实根,时，闭环极点,
2、为两个相等的负实根,时，闭环极点,为实部为负的共轭复根。,2.当,3.当,4.当,系统的根轨迹图,由根轨迹图可以直观地分析参数K变化时系统的各项性能。,当,从0变化到,时，根轨迹均在s平面的左半平面，,时，闭环极点为负实根，系统为过阻尼,时，闭环极点为重根，系统为临界阻尼状态，,闭环极点为实部为负的共轭复根，,因此，系统是稳定的。,状态，系统的阶跃响应为单调变化。,系统的阶跃响应为单调变化。,系统为欠阻尼状态，系统的阶跃响应为衰减振荡，,且系统的超调量随 值增大而增大，但是调节时间不变。,4.1.2 根轨迹的基本条件 对于典型的负反馈控制系统，如图4-3所示，,图4-3 反馈控制系统闭环传递函
3、数为,系统的特征方程为：,系统的闭环传递函数为,（4-2）,满足式（4-2）的点，必定是根轨迹上的点，式（4-2）称作根轨迹的基本方程（或根轨迹的基本条件）。因为s是复变量，所以式（4-2）可以写成式（4-3）幅值(模值)条件和式（4-4）相角条件。,（4-3）,（4-4）,当系统的开环传递函数为零、极点表示形式，即式（4-5）：,（4-5）,为系统的开环零点；,为系统的开环极点；,为系统的根轨迹增益。,根轨迹的幅值条件和相角条件又可表示为：,假设研究系统的根轨迹增益,闭环系统的特征根的轨迹，,根轨迹。,则称为典型根轨迹或常规根轨迹或,从零变化到无穷远时，,4.2 绘制根轨迹的基本规则,规则1
4、 根轨迹的起点与终点根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。,当,时，为根轨迹的起点，求得根轨迹的起点为,，即系统的开环极点。,时，由根轨迹方程知根轨迹的终点为,，即系统的开环零点。,但是，当,时，,条根轨迹趋向于开环零点（称为有限零点），还有,条根轨迹将趋于无穷远处（称为无限零点）。,如果出现,的情况，必有,条根轨迹的起点在无穷远处。,规则2 根轨迹的分支数、对称性和连续性根轨迹的分支数等于，根轨迹对称于实轴并且连续变化。,由根轨迹的对称性和连续性，根轨迹只需作出上半部分，对称画出另一部分，且根轨迹连续变化。,规则3 根轨迹的渐近线 当开环极点数大于开环零点数时，有n-m条根轨迹趋于无穷远处，
5、无穷远处的渐近线与实轴的交点为，渐近线与实轴正方向的夹角(倾角)为,例4-1单位负反馈系统的开环传递函数为,系统开环传递函数有三个极点：,开环无零点，即,系统有三条根轨迹，分别起始于三个开环极点,三条根轨迹趋向于无穷远处，其渐近线与实轴交点坐标为,渐近线与实轴正方向的夹角为,三条渐近线如图4-4所示。,图4-4根轨迹的渐近线,规则4:实轴上的根轨迹段实轴上的根轨迹区段位于其右边开环零、极点数目总和为奇数的区域。,规则5根轨迹的分离点和会合点 几条根轨迹在s平面上相遇后又分开（或分开后又相遇）的点，称为根轨迹的分离点（或会合点）。,1.重根法 根轨迹的分离点（或会合点）是系统特征方程的重根，可以
6、采用求重根的方法确定其位置。设系统的开环传递函数为,系统的特征方程为,（4-15）,特征方程有重根的条件,（4-16）,分离点（或会合点）为重根，必然同时满足方程式（4-15）和式（4-16），联立求解得分离点（或会合点）的d,所对应的,值为,2极值法 由系统的特征方程式（4-15）求极值得,即可确定分离点（或会合点）的值,。,3零、极点法,必须说明，采用上式确定的是特征方程的重根点，对分离点（或会合点）来说，它只是必要条件而非充分条件，也就是说它的解不一定是分离点（或会合点），是否是分离点（或会合点）还要看其它规则。,例4-2 已知系统的开环传递函数为,分离点（或会合点）的确定,解得：,，对
7、应的,对应的,所以,在根轨迹段上是分离点；而,不在根轨迹段上，则舍弃。,系统的根轨迹图,1）实轴上两个相邻的开环极点之间为根轨迹段则一定有分离点；2）实轴上两个相邻的开环零点之间为根轨迹段则一定有会合点；3）实轴上一个开环零点和一个开环极点之间为根轨迹段则或一定既有分离点又有会合点，或既没有分离点又没有会合点。当然，分离点（会合点）可以是实数，也可以是复数，两个相邻的开环复极点（或零点）之间可能有分离点（或会合点）。,规则6 根轨迹的起始角和终止角 根轨迹从开环极点出发时的切线与正实轴的夹角，称为根轨迹的起始角；根轨迹进入开环零点时切线与正实轴的夹角，称为根轨迹的终止角。,规则7 根轨迹上分离
8、点（会合点）的分离角（会合角）在分离点处（会合点）根轨迹离开（进入）实轴的相角为,规则8根轨迹与虚轴的交点,为趋向或离开实轴的根轨迹的分支数。,方法一：令,代入特征方程得,联立求解得到临界增益,及虚轴交点,方法二：由劳斯稳定判据的临界稳定状态求取。,例4-4已知系统的开环传递函数为,系统的特征方程为,方法一,方法二：列劳斯表为,系统稳定条件为,系统临界增益 K=6,由辅助方程,所以根轨迹与虚轴的交点为,规则9 根之和 当系统的开环传递函数分母和分子的次数满足 时，则系统开环极点之和总是等于系统闭环特征根,规则10 根之积 根据特征方程根和系数的关系，得,第1章 引 论,例：系统的开环传递函数为
9、,开环极点为,渐近线于实轴的交点为,渐近线的倾角为,与虚轴的交点为,第1章 引 论,根轨迹的分会点：,第1章 引 论,第1章 引 论,第1章 引 论,例：系统的开环传递函数为,开环极点为,渐近线于实轴的交点为,渐近线的倾角为,与虚轴的交点为,第1章 引 论,根轨迹的分会点：,第1章 引 论,第1章 引 论,4.4 广义根轨迹 常规根轨迹的绘制规则是以负反馈系统的根轨迹增益为可变参数给出的。但是，实际系统中可能研究其它参数变化（如开环零点、开环极点、时间常数等）对系统特征根的影响，或研究正反馈系统参数变化的根轨迹等，上面这些根轨迹统称为广义根轨迹。,4.4.1参数根轨迹,以非K为可变参数的根轨迹
10、称为参数根轨迹，可以研究系统的开环零点、极点、时间常数等对系统性能的影响。对于参数根轨迹的绘制可采用等效传递函数的原则，即由系统的闭环特征方程，求出所研究参数类似 K位置的等效开环传递函数，则常规根轨迹绘制的所有规则均适用于参数根轨迹的绘制。,例4-7 已知系统的开环传递函数为,试绘制极点,时系统的根轨迹。,等效的开环传递函数为,4.4.2 多参数根轨迹族 有时需要研究多个参数同时变化时对系统性能的影响，构成了多参数的根轨迹族。以两个参数为例：,第一步：选取一个参数为零，绘制另一个参数变化的根轨迹。,第二步：令,，绘制另一个参数变化的根轨迹。由,系统的特征方程得系统的等效开环传递函数为,4.4
11、.3 正反馈系统的根轨迹（零度根轨迹）在有些系统中，内环是一个正反馈回路，其正反馈回路的闭环传递函数为,系统的特征方程为,绘制系统根轨迹的幅值条件和相角条件可写为：,这种根轨迹为零度根轨迹。对于零度根轨迹绘制的规则，可由常规根轨迹绘制规则和相角有关的适当调整得到，修改的规则有：,规则3 根轨迹的渐近线 当开环极点数大于开环零点数时，有n-m条根轨迹趋于无穷远处，渐近线与实轴正方向的夹角为,规则4实轴上的根轨迹 实轴上的根轨迹区段位于其右边开环零、极点数目总和为偶数的区域。,规则6 根轨迹的起始角和终止角 开环极点出发的起始角,根轨迹终止于开环零点的终止角,例4-9已知负反馈系统的开环传递函数为
12、,将开环传递函数化成标准的零极点形式，即,等效为正反馈的开环传递函数,4.5 根轨迹分析系统的性能 根轨迹分析系统首先由系统的开环传递函数绘制出系统的根轨迹，然后再由根轨迹分析系统的稳定性、动态特性和稳态特性。4.5.1 根轨迹确定系统的闭环极点 根轨迹绘出的是系统根轨迹增益变化特征根的轨迹，对于某一增益下的闭环极点可由幅值条件试探来确定。,例4-10 设单位负反馈系统的开环传递函数为,1.试采用根轨迹法分析系统的稳定性；2.求系统的闭环极点；3.求取系统的单位阶跃响应及超调量和过渡过程时间。解：根轨迹分析系统，为此，构造增益可变的系统为,绘制,的根轨迹，如图4-13所示,图4-13 系统的根
13、轨迹图,从根轨迹图可知，系统的增益,时，系统是稳定的。,时，特征值为负实根，系统的响应为单调衰减；,时，系统的主导极点为共轭复根，系统的响应为衰减振荡。,本例中,因此，系统是稳定的，系统的主导极点为共轭复根，,试探求得系统的主导极点为,根据根之和的关系得系统的另外一个闭环极点为,可近似为如下的二阶系统,系统的超调量和过渡过程时间为,4.5.2 根轨迹分析系统的动态特性 闭环系统的动态特性由闭环传递函数的零、极点来决定，系统闭环极点可由根轨迹图求得，而闭环零点为前向通道传递函数的零点和反馈通道传递函数的极点共同确定。,1.稳定性 若闭环极点均在根平面的左半平面，则系统一定是稳定的，即参数变化时的
14、根轨迹均在s的左半平面。2.运动形式 若闭环极点均为左半平面的实数极点，则系统的动态响应为单调变化，系统可近似为一阶系统；若离虚轴最近的极点为复数极点，则系统的动态特性为衰减振荡，系统可近似为二阶系统。3.动态性能指标 根轨迹分析系统的动态性能指标可采用主导极点来估算。,第1章 引 论,例：已知单位负反馈系统的开环传递函数为,1）试画出系统的根轨迹；2）求系统具有最小阻尼比时的闭环极点，对应的K值及性能指标；3）若要求系统的阻尼比为0.866时，求闭环极点；4）若求K=1时的闭环极点。,第1章 引 论,d1=-1.17K1=0.34,d2=-6.28K2=11.79,第1章 引 论,过原点作圆
15、的切线，得最小阻尼比线，等腰直角三角形，,第1章 引 论,根据阻尼比的要求，做出等阻尼比线交点对应的闭环极点,求K=1时的闭环极点，可采用试探法。,第1章 引 论,4.5.3 开环零点对根轨迹的影响 系统中增加开环零点，对系统的性能的影响，通过举例来说明。,解：（1）当,时，系统的开环传递函数为,即表示零点不存在，系统的根轨迹如图4-15(a)所示,（2）当,根轨迹如图4-15(b)所示；,（3）当,根轨迹如图4-15(c)所示；,（4）当,根轨迹如图4-15(d)所示；,（5）当,根轨迹如图4-15(e)所示；,（6）当,根轨迹如图4-15(f)所示。,图4-15不同,值下系统的根轨迹,图4
16、-15不同 值下系统的根轨迹,4.6 MATLAB绘制系统的根轨迹 对于比较复杂的系统，人工绘制根轨迹十分复杂和困难，MATLAB绘制系统根轨迹是十分方便的。通常将系统的开环传递函数写成如下形式,分别为分子和分母多项式。,采用MATLAB命令：pzmap(num,den)可以绘制系统的零、极点图；rlocus(num,den)可以绘制系统的根轨迹图；rlocfind(num,den)可以确定系统根轨迹上某些点的增益。,例4-14已知系统的开环传递函数为,确定系统开环零、极点的位置。解：在MATLAB命令窗口输入 num=2 5 1;den=1 4 1 3 8;pzmap(num,den);ti
17、tle（Pole-zero Map）执行后得到如图4-17所示的零、极点图。,在MATLAB命令窗口输入 num=2 5 1;den=1 4 1 3 8;rlocus(num,den)执行后得到如图所示系统的根轨迹图。,例4-16已知系统的开环传递函数为,试分别绘制,解：在MATLAB命令窗口输入不同,值，,时系统的根轨迹。,num=1 1;den=1,0 0;,rlocus(num,den)执行后得到如图4-19所示不同 值下系统的根轨迹图。,例4-17已知系统的开环传递函数为,试绘制系统的根轨迹图，并确定使系统稳定的开环增益范围。解：在MATLAB命令窗口输入 num=1 1;den=co
18、nv(conv(1 0,1-1),1 4 16);rlocus(num,den)执行后得到如图所示系统的根轨迹图。,图4-20 系统根轨迹图,图4-21求取系统稳定开环增益,例4-17中，在执行上例指令后增加 rlocfind(num,den)可采用光标（十字）点击根轨迹上的任意一点，会同时在每条根轨迹上出现红十字，对应n个闭环极点的位置，同时命令窗口出现所选择的闭环极点和对应的根轨迹增益值。如图所示。,Select a point in the graphics windowselected_point=0.0024+2.6087ians=36.2998,本章小结 系统闭环传递函数的极点、零
19、点的分布位置对系统的性能有直接的影响。根轨迹法是根据系统的开环零、极点分布绘制系统某个参数变化时，闭环系统特征根的轨迹曲线。本章的主要内容有：（1）系统可变参数可以是任意变量，而以系统开环传递函数的根轨迹增益为变量的根轨迹，称为常规根轨迹；以其它系统参数为可变参量的根轨迹称为广义根轨迹。（2）根据系统闭环特征方程可得到系统根轨迹的基本方程,，进而得到绘制根轨迹的幅值条件和相角条件,（3）当系统的开环传递函数表示为零、极点形式，根据根轨迹的基本方程得到常规根轨迹绘制的规则，依据规则可概略绘出系统的根轨迹图。对于非参变量的根轨迹可基于特征方程不变原则，将其转换为与常规根轨迹等效的开环传递函数形式，这时，常规根轨迹绘制的规则完全适用。（4）当系统中存在局部正反馈回路，或负反馈系统的开环传递函数整理成标准的零、极点形时出现负号，系统根轨迹的基本方程为,，相应的幅值条件和相角条件,（5）借助于计算机和MATLAB软件可以方便、快捷的绘制系统的根轨迹。（6）由系统的根轨迹图可分析系统的稳定性、动态特性。并可研究附加开环零点、极点对系统性能的影响。,
