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1、第八章假设检验第01讲假设检验的基本思想和概念第一节假设检验的基本思想和概念1.1 基本思想1.2 统计假设的概念1.3 两类错误1.4 假设检验的基本步骤1.5 基本思想首先，假设总体分布参数（如H）为某个确定值，这个假设被称为“原假设”，记作.其次，在假设H。为真的条件下分析通过统计抽样得到的样本信息.结合样本信息，根据“小概率事件在一次试验中几乎不可能发生”这个特点，判断是否拒绝Ho.引例：味精厂用一台包装机自动包装味精，已知袋装味精的重量XN（P,0.0152）,机器正常时，其均值口=0.5.某日开工后随机抽取9袋袋装味精，其净重（单位：kg）为0.497,0.506,0.518,0.
2、524,0.498,0.511,0.520,0.515,0.512.问这台包装机是否正常？注意到：抽取的实际重量和标准重量不完全一致.两种原因：一是偶然因素（例如，电网电压的波动、金属部件的不时伸缩、衡量仪器的误差）的影响，它会造成随机误差；二是条件因素的影响（如生产设备的缺陷、机械部件的过度损耗），会产生条件误差.若只存在随机误差，我们就没有理由怀疑标准重量不是05kg；如果我们有十足的理由判断标准重量己不是0.5kg,那么造成这种现象的主要原因是条件误差，即包装机工作不正常.那么，怎样判断包装机工作是否正常呢？正确答案已知袋装味精的重量XN（u,0.0152）,假设现在包装机工作正常，即提
3、出假设：H。：“=从=05这是两个对立的假设，我们的任务就是要依据样本对作出是否拒绝的判断.选取样本均值作为参数的估计量，当H。为真时，声一OSI应很小.当代-0.5|过分大时，我们应当怀疑H。不正确而拒绝Ho.对于给定的很小的数,Ol,由P=确定拒绝域.1.6 统计假设的SE念在许多实际问题中，常需根据理论与经验对总体X的分布函数或其所含的一些参数作出某种假设H0,这种假设H。称为厚假设：与其对应的假设Hl称为备择假设或对立假设，两者称为统计假设（简称假设）.当统计假设用仅仅涉及总体分布的未知参数时,称之为望低逡,而当统计假设H。涉及分布函数的形式（例如假设H。：总体X服从泊松分布）时，称之
4、为非参数假设.统计假设与假设检验的一般思路：设总体X服从正态分布且XSN（11,。2）,且。2已知，作假设H0:=0（PD己知）给定（a为小概率），可得U0,进行一次样本抽样得到样本均值了.若H。为真，则U-N-勺并且样本平均值应在，Xn）W）拒绝Ho（X1,X2,，X11）W）HtI成立正确第一类错误Hl成立第二类错误正确【例题填空题】设,B分别是假设检验中犯第一、第二类错误的概率，且H。与Hl分别为原假设和备择假设，则(1) P接受HOlHO不真=；(2) P拒绝HJHo真=；(3) P拒绝HOlHO不真=；(4) P接受HOlP真=.正确答案(1)P接受H(IlHO不真=；(2) P拒绝
5、HolHo真=:(3) P拒绝HJHO不真=1B；(4) P接受HOlHO真=1.两类错误的关系：(5) 两类错误的概率是相互关联的，当样本容量n固定时，一类错误的概率减少将导致另一类错误的概率的增加；(6) 要同时降低两类错误的概率，需要增大样本容量n.在此背景下，只能采取折中方案.先控制住的值(即事先选定的值)，再尽可能减少B的值.并把这一假设检验方法称为显著性水平为的显著性检验,简称水平为a的检验.1.4假设检验的基本步骤(1)根据实际问题提出原假设及备择假设Hi.这里要求Ho与Hl有且仅有一个为真.(2)选取适当的检验统计量，并在原假设H。成立的条件下确定该检验统计量的分布.(3)按问
6、题的具体要求，选取适当的显著性水平a,并根据统计量的分布表，确定对应于a的临界值，从而得到对原假设H。的拒绝域W.(4)根据样本值计算统计量的值，若落入拒绝域W内，则认为HO不真，拒绝H。，接受备择假设H1；否则,接受Ho第02讲正态总体均值的假设检验第二节正态总体均值的假设检验2.1u检验2. 2t检验2.3*大样本情况总体均值检验（U检验续）2.1 u检验设计出服从标准正态分布的检验统计量（U统计量）并据此进行假设检验的方法称为U检验.L方差已知时，单个正态总体均值检验设X”X2,，Xn是从正态总体中抽取的样本，b；是已知常数，欲检验假设:：二用H中国其中口。为已知数.选取检验统计量其服从
7、N (0, 1).拒绝域为K=（fFq）U（%+oo）若由样本观测值计算出U的值落在W内，则作出拒绝Ho的判断，否则接受Ho.【例题计算题】某种产品的重量XSN（12,1）（单位：g）,更新设备后，从新生产的产品中，随机地抽取100个,测得样本均值,=12.5g,如果方差没有变化，问设备更新后，产品的平均重量是否有显著变化（取Q=0.1）?正确答案根据题意，设计统计假设如下：Ho：=Po=12H1:12，拒绝原假设即说明产品的平均重量有显著变化.2.方差已知时，两个正态总体均值检验设XN（AQy-N20其中bj。；为已知常数，X”Xi,，儿和匕，Yz,Yn分别是取自X和Y的样本且相互独立，欲检
8、验假设Ho:乂=外；Hzi1.检验假设L=II2,等价于检验假设L-L=O.而又一尸是】一以2的一个好估计量，可设计出相应的U统计量对假设进行检验.l7sjTzF选取检验统计量u-2,其服从N(0,1).匕今拒绝域为犷=(r，-%)U(%,X)若由样本观测值计算出U的值落在W内，则作出拒绝H。的判断，否则接受H。.由上述讨论可知，由服从标准正态分布的检验统计量作检验的方法称为u检验法.2.2t检验设计出服从t分布的检验统计量(t统计量)并据此进行假设检验的方法称为t检验.1 .方差未知时，单个正态总体均值检验设X”X2,Xn是从正态总体N中抽取的样本，其中b*未知，欲检验假设：Hq3=内Hx.
9、z.其中口。为己知数.选取检验统计量T=A4，其服从t(n1).SIGWTF=Pf毅叶拒绝域为：=(F2.776.由于t检验统计量的值超过了临界值，所以在显著性水平0.05下应拒绝H0,即螺杆直径均值不是21mm.2.方差未知时，两个正态总体均值检验设X-WW)hMid)，XcX2,，尤和丫”丫2,，Yn分别是取自X和Y的样本且相互独立.12=2(2欲检验假设：Z0:a=四；H/izX-Y构造检验统计量f11,当HO为真时,S七十7X-Y= 丁 一 ISv LUl忒*1必、加一14- 2) URZ t(w + - 2 +n给定显著性水平,通过查询教材P242的t分布表可得到临界值%(7+-2)
10、,使得P)f(w+-2)=,若由样本观测值计算出t的值落在W内，则作出拒绝H(I的判断，否则接受H0.【例题计算题】在漂白工艺中考察温度对针织品断裂强度的影响，现在70与80C下分别作8次和6次试验，测得各自的断裂强度X和Y的观测值.经计算得x=204j=193167,(m-l=62STR=5.0283.根据以往的经验，X和丫均服从正态分布，且方差相等.在给定=0.10时，问70与80C对断裂强度有无显著差异？正确答案由题设，可假定XN(d,。2),YN(U2,o2)写出统计假设=;Hlxiz.T及一GT=/构造检验统计量S1，经查表，对应a=0.10的t分布的临界值为Q(一2)=4M(14=
11、1782IrI=/XrJ三g+.包=2.07371,782,+(-1)；VW所以在a=0.1下拒绝Ho,即70与80对断裂强度有显著差异.(2)a；*W且都未知，但m=n(配对问题).构造并检验统计假设H0:典=幺；Zf1：4.令4=-K,i=L,n,即视两个正态总体样本之差来自一个正态总体的样本.记E(Z)=E(Xj-K)=A-M=%D(ZJ=D(Xi)D(F1)=2(未知).此时，原检验就等价于下述假设检验:Ho:rf=O；Hxxd1.选取检验统计量=Z册,其服从t（n-l）.S其拒绝域为一（Ya-I（一-1）U（r。（-1）,XO）TI若由样本观测值计算出t的值落在W内，则作出拒绝Ho的
12、判断，否则接受Ho.【例题计算题】有两台仪器A、B,用来测量某矿石的含铁量，为鉴定它们的测量结果有无显著的差异，挑选了8件试块（它们的成分、含铁量、均匀性等各不相同），现在分别用这两台仪器对每一试块测量一次，得到8对观测值，如表8-2所示.表8-2A4952.25560.263.476.686.548.7B49.34951.45761.168.879.350.1问能否认为这两台仪器的测量结果有显著性差异（取=0.05,假定A,B两种仪器的测量结果X,Y分别服从同方差的正态分布）？正确答案J根据题意，XN（u“。2）,YN（U2,。2）要检验假设“Q：典一外；t.可考虑两种方法：方法一按照配对情
13、况处理并得出结论；方法二作不配对处理并得出结论.根据题意，应采用方法一.方法一：按照配对情况处理并得出结论.视两种测量结果之差为来自一个正态总体，记Z=X-Y,得8对数据之差，如表8-3所示表8-3Z-0.33.23.63.22.37.87.2-1.4则原题转化为Zf0Zrf=O;根据表8-3中的数据，可求得z=3.2,?=10.22,r=8三=2.83.S由=0.05,查教材P242的t分布表得ta2（n1）=to.025（7）=2.365.由于计算出来的I统计量的值为2.83、大于临界值2.365,所以认为这两种仪器的测量结果有显著差方法一（配对解法）消除了试块不同对数据分析的干扰，相比方
14、法二（不配对解法）更为合理.方法二的过程请参见教材P217.23.大样本情况总体均值检验(U检验续)本部分为非自考内容.第03讲正态总体方差的假设检验和单边检验第三节正态总体方差的假设检验3.1X2检验3.2F检验3.1X2检验设总体XN(,。2),。2未知，X”心，X”为取自X的样本，欲检验假设：H0zc=J;Hp,oJt其中无为己知数.选取检验统计量/=S二I)S-，其服从X2(n-l).oi上式中的S?是。2的无偏估计量.pz24zf(T)=pz2心(T)=泉拒绝域为：HI)U1),+8)rI若由样本观测值计算出L的值落在W内，则作出拒绝H。的判断，否则接受H。.【例题计算题】设某厂生产
15、的铜线的折断力XN(,6)(单位：kg),现从一批产品中抽查10根测量其折断力，经计算得样本均值X=5752kg*样本方差d=68J6(kg2).试问能否认为这批铜线折断力的方差仍为82(kg2)(取Q=0.05)?正确答案J依题意，需要检验假设：骂:=叫ff1zS2.X2分布的临界值为z吧(9)=190,r0os(9)=2-7.拒绝域为：IF(O27)U(19.0,48).根据J2 =(-?计算得oZ2x968.16 = 9.585,检验统计量的值没有落入拒绝域,因而不拒绝原假设，即认为该批铜线折断力的方差与8?(kg2)无显著差异.3.2F检验可以用来检验两个独立正态总体的方差是否相等.设
16、有两个正态总体X-(1*)T4y(jw,),xl,x2,xmy“丫2,，匕分别是取自X和Y的样本且相互独立.欲检验假设：为：qj一域；H1：of，of.选取检验统计量F=斗，其服从F(m-l,n-l).S；pF(m-LH-1)|=尸|尸Fa(m-J,三-l)j=争拒绝域为:W-(OF(m1.”I)U(FaQIE1)S)TT若由样本观测值计算出F的值落在W内，则作出拒绝Ho的判断，即认为两总体之方差有显著差异，否则接受H,即两总体之方差无显著差异.【例题计算题】设甲、乙两台机床加工同一种轴，从这两台机床加工的轴中分别抽取若干根，测得其直径数据(单位：mm)如下：m=8,X=19.93mm,=0.
17、216(mm)2;n=7,y=20.00mm,Sj=0397(mm)2.假定各台机床加工轴的直径x,Y分别服从正态分布，试比较甲、乙两台机床加工轴的精度有无显著差异(W=0.05)?正确答案依题意，需要做以下检验假设：居：d=a；己知=0.05,查表可得尸吧(7,6)=57,Ftuw(6,7)=5.12.0.195,拒绝域为：IF=(0,0.195)U(57,80)计算F检验统计量0.2160.397-0544.由于检验统计量没有落入拒绝域，所以在显著性水平0.05下接受Hd,即认为两正态总体之方差无显著差异.第四节单边检验实际问题中，有时我们只关心总体的均值是否增大.例如，试验新工艺以提高产
18、品的质量，如材料的强度、元件的使用寿命等.当然，总体的均值越大越好，此时，需要检验假设Hq:H1:外,其中Ho为已知常数.类似地，如果只关心总体的均值是否变小，就需要检验假设：/0z;Hlz人选取检验统计量U=二，其服从N(0,1).当H。成立时，”一愿X津.0拒绝域为：犷若由样本观测值计算出U的值落在IV内，则作出拒绝HD的判断，否则接受Ho.若单边检验问题为：H.;,Hxi.拒绝域为：眇=（-8,一.）【例题计算题】有一批枪弹，其初始速度XN（Ij,。2）,其中U=950ms,。=10ms.经过较长时间储存后，现取出9发枪弹试射，测其初速度，得样本值（单位：m/s）如下：914,920,9
19、10,934,953,945,912,924,940.问这批枪弹在显著性水平=0.05下，其初速度是否起了变化（假定。没有变化）？正确答案依题意需检验NA950；9a005yb=10,-tlf三=-14S5.已知X-A928-9SO0三,1-L11/,=5i6-1.65n1O/W所以在显著性水平0.05下拒绝H0,即认为这批枪弹经过较长时间储存后初速度已经变小了.【例题计算题】某厂使用两种不同的原料生产同一类型产品，随机选取使用原料A生产的样品22件，测得平均质量为受=2.36kg,样本标准差Sx=O.57kg.取使用原料B生产的样品24件，测得平均质量为/=2.55kg,样本标准差为s,=0
20、.48kg.设产品质量服从正态分布，这两个样本相互独立.问能否认为使用B原料生产的产品平均质量较使用原料A显著大（取a=0.05）?正确答案本例需要对两个总体均值之差进行单边检验，使用t统计量进行假设检验，注意本例中两个总体的方差均未知统计假设为Ho：2Hi：P2灯.构造I检验统计量Jl+1,这里的S.由如下计算公式得出s2=OWT）G+（T）W（左边的公式参见教材P182下方关于定理4的推论3的介绍）mn-2根据样本数据计算t统计量的值并与临界值进行比较先根据S?=+S-1）计算S,的值m+n-2=(22-I)XOS-x48K0275522+24-2开方后取算术平方根，得Sn=O.5249J
21、t-PT-J236-155.-CT*I三J三-12262计算，统计量用得用嬴腐查教材P243的t分布表，得到t,(m+n2)=to,o6(44)=1.6802由于根据样本数据计算出来的检验统计量的值没有落入拒绝域(拒绝域为t-t1),所以不拒绝原假设，即认为质量无显著增大.注意：单边检验问题的拒绝域，其不等式的取向，与备择假设的不等式取向完全一致.这一特有的性质使我们无须特别记忆单边检验的拒绝域.显著性水平为的、各种统计假设检验的情况，请参见教材P224开始的表8-4.本章小结统计推断共包括两个方面：一是前一章的估计理论，另一个就是本章的假设检验理论.本教材只涉及了参数的假设检验，重点是正态总体均值和方差的假设检验.本章的基本要求是：一、理解假设检验的基本思想与基本原理，知道假设检验中犯两类错误的概率，掌握假设检验的基本步骤.二、掌握单个正态总体均值、方差的假设检验以及两个总体均值相等和方差相等的假设检验及计算.
