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1、2-312.1排列（3课时）课标要求：通过实例，理解排列的概念，能利用计数原理推导排列数公式，并能解决简单的实际问题。教材分析:分类计数原理和分步计数原理既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要宜接运用它们去解决问题，这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终.搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性.排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是
2、简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困感，分不清到底与顺序有无关系学生分析:学生刚刚学过分类计数原理和分步计数原理；并且原来高一学习必修三概率时已经初步掌握用列举法计算排列的个数问题；，对于简单的，数字少的排列组合，学生是没有问题的，但是到复杂一点的，学生就容易出错，学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强,要么漏算要么重复算，分类讨论不清，解题书写不规范，必耍的文字缺少。教学目标I.知识与技能（1）了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法；（2）体会化归的数学思想，并能运用排列数公式进行计算；（3）运用所学的排列数公式，解决简单的排列实际问题.2.过程与方法（1）在教师指导下，尝试从实际
3、例子推导出排列数公式；（2）认清题目的本质，排除非数学因素的干扰，抓住问题的主耍矛盾，注重不同题目之间解题方法的联系，化解矛盾，（3）注重解题方法的归纳与总结，真正提高分析、解决问题的能力。3.情感态度与价值观（1）用联系的观点看问题；（2）认识事物在一定条件下的相互转化；（3）解决问题能抓住问题的本质。通过设置丰富的问题情境，鼓励学生从多角度思考、探索、交流，激发学生的好奇心和主动学习的欲望。教学重点:排列、排列数的概念.教学难点:排列数公式的推导一、问题情景K问题11从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方
4、法？分析：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，共有6种不同的排法：甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙，其中被取的对象叫做元素。K问题2F.从,4c,这四个字母中，每次取出3个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？分析：解决这个问题分三个步骤：第一步先确定左边的字母，在4个字母中任取1个，有4种方法；第二步确定中间的字母，从余下的3个字母中取，有3种方法；第三步确定右边的字母，从余下的2个字母中取，有2种方法由分步计数原理共有：4x3*2=24种不同的方法，用树型图排出，并写出所有的排列由此可写出所有的排法二
5、、数学构建1.排列的概念：从个不同元素中，任取，（m）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出小个元素的一个排列.说明：（1）排列的定义包括两个方面：取出元素，按一定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：元素完全相同，元素的排列顺序也相同2.排列数的定义：从个不同元素中，任取，（，4）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出1元素的排列数，用符号表示同元 列 有排具体注意区别排列和排列数的不同：一个排列是指：从个不素中，任取加个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排数是指从个不同元素中，任取加nn）个元素的所列的个数，是一个数所以符号4只表示排列数，而不
6、表示的排列。3.排列数公式及其推导：由%的意义：假定有排好顺序的2个空位，从个元素6，2.4中任取2个元素去填空，一个空位填一个元广广门.门素,每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以TiL由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是田心5排列数6由分步计数原理完成上述填空共有S-D种填法，.6=（-l）由此，求可可以按依次填3个空位来考虑，.A：=（-l）5-2）,求M以按依次填用个空位来考虑7=（-1）（-2）（T+D,得排列数公式如下：4=（一1）（-2）.（一，+1）（m,nwN*,mn）说明：（1）公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个少1,最后一个因数
7、是-zn+l,共有切个因数；（2）全排列：当=小时即个不同元素全部取出的一个排列。全排列数公式如下：A：=（一1）（一2）21=！（叫做n的阶乘）4.阶乘的概念：个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列，这时4：=5-1）（一2）321；把正整数1到的连乘积，叫做的阶乘表示：加，即A；=!规定0!=l.5.排列数的另一个计算公式：4=（-1）5-2）（-加+1）n(nl)(n-2)-(n-m+1)(n-n)-321！，“n(-m)(-m-l).32l(一m)！即4(一机)!三、知识运用【例U计算：(1)；(3)解：(1)=161514=3360；(2)父=6!=720；(3)=
8、6543=360【例2】(1)若A：=17l6l554,则=,m=.(2)若M则(55-)(56-)(68-)(69-)用排列数符号表示为.解：=17,m=14.(2)若GN,则(55-)(56-)(68-)(69-)=侃.【例3】（1）从2,3,5,7,11这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？（2）5人站成一排照相，共有多少种不同的站法？（3）某年全国足球甲级（A组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？解：（1）=5x4=20；（2）耳=5x4x3x2xl=120；（3）l=14x13=182【例4】计算：8修父(/?-!)!
9、其-Mj Mim-联.解：原式=8765432165432187-109875765432 _ 513056 X (-89)623-原式（用一1）! （加一）！m-n)【例5】解方程：3Aj=2A*+6A解：由排列数公式得：3x(x-l)(x-2)=2(x+l)x+6x(x-l),.3.3(X-l)(x-2)=2(x+1)+6(x-1),即3/-17x+10=0，2解得x=5或x=-,Vx3,且XeN*，.原方程的解为x=53【例6】解不等式：6岗-2.解:原不等式即9!(9-工)!6-:(1 l-x)!化简得：x2-21x + 1()4O.也就是:(9-x)!(ll-x)(10-x)(9-x
10、)!解得X13,又2x9,且XWN.，所以，原不等式的解集为2,3,4,5,6,7.【例7】求证：(I)4=4A二：；(2)=135(21-l).证明：(1)47-Cm=7(一加)!=！=%,.原式成立(凡一切(2z)!2(2-l)(2-2).43212力！2一献2小(一1)21(2-1)(2-3)312F!=!13(2-3)(2,l1)=3.5(2-1)=右边打！.,.原式成立说明：(1)解含排列数的方程和不等式时要注意排列数蹲中，m,neN且ZnV这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围；(2)公式式=(-1)(-2)(一机+1)常用来求值，特别是，均为己知时，公式图=
11、常用来证明或化简。【例8】化简：(1)，+上+二+ . 2! 3! 4!也一1-H；(2)lxl!+2x2!+3x3!+x！1l111111解：原式=1!11-2!2!3!3!4!(-1)!(2)提示：由(+l)!=(+l)!=x!+!，得x!=(+l)!-!,原式=(也+1)!7.说明:一11=1！(n-l)!【例9】（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？解：（1）从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是：父=
12、5x4x3=60,所以，共有60种不同的送法（2）由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是：555=125.所以，共有125种不同的送法说明：本题两小题的区别在于：第（1）小题是从5本不同的书中选出3本分送给3位同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而第（2）小题中，给每人的书均可以从5种不同的书中任选1种，各人得到那种书相互之间没有联系，要用分步计数原理进行计算【例10】某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号
13、？解：分3类：第一类用1面旗表示的信号有4；种；第二类用2面旗表示的信号有用种;第三类用3面旗表示的信号有用种,由分类计数原理，所求的信号种数是：4+人+看=3+3x2+3x2xl=15,答：一共可以表示15种不同的信号例3.将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？分析：解决这个问题可以分为两步，第一步：把4位司机分配到四辆不同班次的公共汽车上,即从4个不同元素中取出4个元素排成一列，有种方法；第二步：把4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，也有种方法，利用分步计数原理即得分配方案的种数解：由分步计数原理，分配方
14、案共有N=AA：=576（种）答：共有576种不同的分配方案【例11】用。到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解法1：用分步计数原理:百位 十位 个位解法2：符合条件的三位数可以分成三类：每一位数字都不是0所求的三位数的个数是：4，大=9x9x8=648数有属的三位数有4个，个位数字是0的三位个，十位数字是O的二位数有%个，由分类计数原理，符合条件的三位数的个数是：反+/+6=648.解法3：从0到9这IO个数字中任取3个数字的排列数为小，其中以O为排头的排列数为&,因此符合条件的三位数的个数是-4=648-尺说明：解决排列应用题，常用的思考方法有直接法和间接法直接法：通过对
15、问题进行恰当的分类和分步，直接计算符合条件的排列数如解法1,2；间接法：对于有限制条件的排列应用题，可先不考虑限制条件，把所有情况的种数求出来，然后再减去不符合限制条件的情况种数如解法3.对于有限制条件的排列应用题，要恰当地确定分类与分步的标准，防止重复与遗漏【例12】（1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：7个元素的全排列4=5040.（2）7位同学站成两排（前3后4）,共有多少种不同的排法？解：根据分步计数原理：7x6x5x4x3x2xl=7!=5040.（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列人=
16、720.（4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？解：根据分步计数原理：第一步甲、乙站在两端有A；种；第二步余下的5名同学进行全排列有&种，所以，共有A）m=240种排列方法（5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？解法1（直接法）：第一步从（除去甲、乙其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有&种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有6种方法，所以一共有&=2400种排列方法解法2：（排除法）若甲站在排头有用种方法；若乙站在排尾有人种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有可种方法，所以，甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有可一2呼+
17、父=2400种.说明：对于在与不在的问题，常常使用直接法或排除法，对某些特殊元素可以优先考虑【例13】从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？解法一：（从特殊位置考虑）A:W=136080；解法二：（从特殊元素考虑）若选：5；若不选：丁,则共有5个+尺=136080种；解法三：（间接法）-反=136080【例14】7位同学站成一排，（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？解：先将甲、乙两位同学捆绑在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有耳种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A；种方
18、法.所以这样的排法一共有.&=1440种（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？解：方法同上，一共有其用=720种（3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？解法一：将甲、乙两同学捆绑在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有发种方法:将剩卜一的4个元素进行全排列有A：种方法；最后将甲、乙两个同学松绑进行排列有&种方法.所以这样的排法一共有&A：A；=960种方法解法二：将甲、乙两同学“捆绑在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站在排头或排尾有2父种方法，所以，丙不能站在排头和
19、排尾的排法有（A：-2A；）A；=960种方法解法三：将甲、乙两同学“捆绑在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有4种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有父种方法，最后将甲、乙两同学“松绑，所以，这样的排法一共有A:6A；=960种方法.（4）甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起解：将甲、乙、丙三个同学捆绑在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑在一起看成一个元素，时一共有2个元素，.一共有排法种数：片/&=288（种）说明：对于相邻问题，常用“捆绑法（先捆后松）.例15】位同学站成一排，（1）甲、乙两同学不能相邻的排
20、法共有多少种？解法一：（排除法）A：-A：A：=3600；解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有8种方法，此时他们留下六个位置（就称为空吧），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有&种方法，所以一共有用A：=3600种方法.（2）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解：先将其余四个同学排好有A：种方法，此时他们留F五个空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个空.有4种方法，所以一共有4：式=1440种.说明：对于不相邻问题，常用插空法（特殊元素后考虑）.【例16】5男5女排成一排，按下列要求各有多少种排法：（1）男女相间；（2）女生按指定顺序排列.解：（1）先将男生排好，有父种
21、排法；再将5名女生插在男生之间的6个空挡（包括两端）中，有26种排法。故本题的排法有N=2父父=28800（种）；（2）方法1：N=*=30240;方法2：设想有10个位置，先将男生排在其中的任意5个位置上，有）种排法；余下的5个位置排女生，因为女生的位置己经指定，所以她们只有一种排法。故本题的结论为N=xl=30240（种）四、课堂练习P201-6五、课堂小结1.对有约束条件的排列问题，应注意如下类型：某些元素不能在或必须排列在某一位置：某些元素要求连排（即必须相邻）；某些元素要求分离（即不能相邻）.2.基本的解题方法：有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优限法）:某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为捆绑法；某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为插空法；在处理排列问题时，一般可采用直接和间接两种思维形式，从而寻求有效的解题途径，这是学好排列问题的根基。六、作业：七、板书设计:课题引例练习排列定义公式推导小结排列数例题分析作业排列公式八、教学反思:
