量子力学导论问题详解完整版下.doc

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1、word第六章 中心力场6.1) 利用6.1.3节中式（17）、（18），证明下列关系式相对动量 （1）总动量 （2）总轨迹角动量 （3）总动能 （4）反之，有 （5）， （6）以上各式中，证： ， （17） ， （18）相对动量 （1）总动量 （2）总轨迹角动量 由（17）、(18)可解出，即（5）式；由（1）（2）可解出（6）。总动能 （4）从（17），(18)式可解出（5）式；从（1），(2)式可解出（6）式.6.2) 同上题，求坐标表象中、和的算术表示式，解： （1）其中 ，而 ，同理，；（利用上题（17）（18）式。）；仿此可设 （2）代入（1）中，得 （3） （4）只要将（3）、（

2、4）式中的、以相应的算符代入即可。6.3）利用氢原子能级公式，讨论下列体系的能谱：（a）电子偶素（positronium，指束缚体系）（b）u原子（muonic atom）（c）u子偶素（muonium，指束缚体系）解：由氢原子光谱理论，能级表达式为：, 。（a）电子偶素能级 ，（）（b）u原子能级 ，（）（c）u子偶素能级，（）6.4）对于氢原子基态，计算。解：* 在求坐标系中，空间反演：（）。氢原子基态波函数为 （1）宇称为偶。由于均为奇宇称算符，所以 （2）由于各向同性，呈球对称分布，显然有 （3）容易算出 （4） （5）因此 ， （6）， （7） （8）测不准关系的普遍结论是 （9）显

3、然式（8）和（9）式是不矛盾的。而且很接近式（9）规定的下限。6.5）对于氢原子基态，求电子处于经典禁区（即）的几率。解：氢原子基态波函数为 ，相应的能量 动能 是经典不允许区。由上式解出为。因此，电子处于经典不允许区的几率为（令）6.6）对于类氢原子（核电荷）的“圆轨迹”（指的轨迹），计算（a）最可几半径；（b）平均半径； （c）涨落解：类氢原子中电子波函数可以表示为 （1）（a） 最可几半径由径向几率分布的极值条件 （2）决定。时，。代入（2）式，容易求得 （4）这结果和玻尔量子论中圆轨迹的半径公式一致。（b）在态下，各之间有递推关系（Kramers公式） (5) （参 钱伯初、曾谨言量子

4、力学习题精选与剖析P197）在（5）式中令，注意到。可设 (6)依次再取，得到 （7）（c） （8）因此，的涨落 （9） （10）可见，越大，越小，量子力学的结果和玻尔量子轨迹的图像越加接近。6.7）设电荷为的原子核突然发生衰变，核电荷变成，求衰变前原子中一个电子（轨迹上的电子）在衰变后仍然保持在新的原子的轨迹的几率。解：由于原子核的衰变是突然发生的。可以认为核外的电子状态还来不及变化。对于原来的电子，其波函数仍未 （1）而新原子中电子的波函数应为 （2）将按新原子的能量本征态作线形展开： （3）则衰变前的电子在衰变后处于新原子的态的几率为 （4）因此，本题所求的几率为 （5）展开时保留到第三

5、项当，上式可近似取成 （5）例如， , ；, 。6.8）设碱金属原子中的价电子所受电子实（原子核+满壳电子）的作用近似表为（） （1）为Bohr半径，求价电子的能级。提示：令，解出解：取守恒量完全集为，其共同本征函数为 （2）满足径向方程 （3）令 （4）式（3）就可以化为 （3）相当于氢原子径向方程中换成。所以式（3）的求解过程完全类似于氢原子问题。后者能级为 ， ， （5）将换成，即得价电子的能级：， （6）通常令 （7） （8）称为量子数和的“修正数”。由于，可以对式（4）作如下近似处理：略去，即得 （9）由于，因此，本题所得能级和氢原子能级仅有较小的差别，但是能级的“简并”已经消除。式

6、（6）和碱金属光谱的实验资料大体一致，尤其是，修正数随之升高而减小，这一点和实验符合的极好。式（4）的精确解为 （10）若对上式作二项式展开，保留项，略去以上各项，即可得到式（9）。6.9）在二维谐振子势中的粒子，求解其能量本正值。对于二维各向同性（）的谐振子，求能级的简并度。（参 书卷P302-303）解： 第七章 粒子在电磁场中的运动 7.1）设带电粒子在互相垂直的均匀电场和均匀磁场中运动，求能级本征值和本征。（参导论）解：以电场方向为轴，磁场方向为轴，则， （1）去电磁场的标势和矢势为， （2）满足关系 ， 粒子的Hamiton量为 （3）取守恒量完全集为，它们的共同本征函数可写成 （4

7、）其中和为本征值，可取任意函数。满足能量本证方程： 因此满足方程 （5）亦即，对于来说，和式等价： （6）其中 （7）式（6）相当于一维谐振子能量算符再加上两项函数，因此本题能级为 （8）其中和为任意实数， 式（4）中 为以为变量的一维谐振子能量本征函数，即 （9）为厄密多项式， 。7.2）设带电粒子在均匀磁场和各向同性谐振子势中运动，求能量本征值。第八章 自旋8.1) 在表象中，求的本征态。解：在表象中，的矩阵表示为：设的本征矢（在表象中）为，则有可得及 。 则 则利用归一化条件，可求出的两个本征态为 。8.2) 在表象中，求的本征态， 是方向的单位矢.解：在表象中，的矩阵表示为， ， （1

8、）因此， （2）设的本征函数表示为，本征值为，则本征方程为，即 （3）由（3）式的系数行列式，可解得。对于，代回（3）式，可得归一化本征函数用表示，通常取为或 （4）后者形式上更加对称，它和前者相差因子，并无实质差别。若用的直角坐标分量来表示，可以取为或 （4）如，二者等价（仅有相因子的差别）。若，应取前者；若，应取后者。对于类似地可以求得或 （5）或 或 （5）若，取; 若，取。8.3) 在本征态下，求和。解：但 （常数矩阵），类似有。8.4) （a）在本征态下，求的可能测值及相应的几率。（b）同第2题，若电子处于的自旋态下，求的各分量的可能测值及相应的几率以及的平均值。解：（a）利用8.2

9、）题求得的本征函数，容易求出：在自旋态中，的几率为 （1）的几率为 （2）（b）在自旋态态，的几率为 （3）的几率为： （4）或 （5）考虑到 ，各分量以及各分量在的构造中地位对称，所以利用式（3）、（4）、（5），作轮换，就可推论出以下各点：的几率为， （6） （7）的几率为 （8） （9）将式（5）、（7）、（9）合并写成矢量形式如下：自旋态中， （10）类似地，容易算出：自旋态中， （11）解二：（a）在自旋态中，的可能测值为本征值设相应的几率为及，则 （12）由于 （13）考虑到在的本征态中和的平均值为，的平均值即为其本征值，因此在态下， （14）由式（12）、（14），并利用，就可求

10、出， （15）此即解一中的式（1）、（2）。（b）在式（14）中，是轴和的夹角。轴和的选取是任意的。完全可以将原来的轴作为新的轴，而原来的取作新的轴。由此可知：在的自旋态中，的平均值仍为，即。再令轮换，即得自旋态中， （10）在态下各分量的取值大部分当然均为，其几率也可估照（a）中计算而写出，即的几率为 （6）的几率为 （8）的几率为 （3，4）8.5) 证明（为常数）量8.7）由两个非全同粒子（自旋均为）组成的体系，设粒子间相互作用表为 （不考虑轨迹运动）。设初始时刻（）粒子1自旋“向上”，粒子2自旋“向下”。求时刻时，(a) 粒子1自旋向上的几率（答：，取）(b) 粒子1和2的自旋向上的几

11、率（答：）(c) 总自旋s=0和1的几率（答：都是）(d) 求和的平均值（答：，）。解：从求体系的自旋波函数入手，由于 （1）易见总自旋是守恒量，所以定态波函数可以选为、的共同本征函数，按照总自旋量子数的不同取值，本征函数和能级为 （2）时，体系的自旋态为 （3）因此，时波函数为 （4）即 （4）(a）由式（4）可知，在时刻，粒子1自旋“向上”同时粒子2自旋“向下”，相当于项的几率为。(b)粒子1和2自旋均“向上”相应于，式（4）中没有这种项的几率为。这是容易理解的。因为总自旋为守恒量，而体系初态，所以任何时刻必为0，不可能出现两个粒子均“向上”的情形。(c)由式（4）可知，总自旋量子数取和的

12、几率相等，各为。由于守恒，这个几率不随时间改变(d)利用式（4）容易算出和的平均值为 （5）第九章 力学量本征值问题的代数解法91） 在8.2节式（21）中给出了自旋（）与轨迹角动量（）耦合成总角动量的波函数，这相当于的耦合。试由8.2节中式（21）写出表9.1（a）中的CG系数 解：8.2节式（21a）（21b）: （21a） （21b）此二式中的相当于CG系数中的 ，而,。因此，（21a）式可重写为 （21a）对照CG系数表，可知：当,时 ，而时，对于的（21b）式，有 92）设两个全同粒子角动量，耦合成总角动量， （1）利用系数的对称性，证明由此证明，无论是Bose子或Fermi子，都必

13、须取偶数证：由式（1），把, 利用系数的对称性 (2) 对于Fermi子，半奇数，奇数，但要求，即要求，所以必须为偶数。，（情况，只能构成交换对称态，为什么？）因此可验证：态的总数为。 。对于Bose子，整数，偶数，但要求即 ，故也必须为偶数93）设原子中有两个价电子，处于能级上，按耦合方案，（总角动量）证明： （a）必为偶数；（b）。当时，（偶）； 时，可以为奇，也可以为偶。证： 自旋的耦合：，轨迹角动量的耦合：，其中偶是对称态，奇是反对称态，总的波函数（对于交换全部坐标，包括自旋）要求反对称，所以时，时，在两种情况下，都为偶数，但对于，偶；，。可以为奇，也可以为偶讨论本题结论与题92有无矛

14、盾？（按耦合方案，似乎必为偶数）。提示：在本题中，若用耦合来分析，？是否只有一个值？两种耦合方案得出的态数是否相等？94）大小相等的两个角动量耦合成角动量为的态， 证明的几率却相等，即。提示：利用 （P235，式（23）证：Dirac符号表示，有 ， （1）在本题的情况下，。则（1）成为 （2）其中即为耦合表象中的态用无耦合表象基矢展开时的展开式系数CG 系数，其模即表示体系处于态时，测得取值（同时取值，取各可能值）的几率。由提示， （3） （4）即，对于给定的所合成的态，的几率与的具体取值无关，皆为。95）设，在态下，证明（取），证：（参剖析，8.68等）96）在表象(以为基矢)中，的子空间

15、的维数为3，求在此三维空间中的矩阵表示，再利用矩阵方法求出的本征值和本征态解：在表象中，的子空间中的基矢为，。由于。对于本题，以上方式中，不难求得。在此三维空间中的矩阵表示为表象 （1）设的本征值为，本征矢为，则本征方程为 （2）此方程有非平庸解的条件为系数行列式等于零，由此可解得本征值：. （3）将代入（2），可得， ， 。由此得 ，归一化 ，取 。 （4）同理，将分别代入（2），可求得 ； 。 第十章 定态问题的常用近似方法101) 设非简谐振子的Hamilton量表为（为实常数）用微扰论求其能量本征值（准到二级近似）和本征函数（准到一级近似）。解：已知，计算一级微扰：。（也可由（奇）直接

16、得出）计算二级微扰，只有下列四个矩阵元不为：计算：又，102) 考虑耦合振子，参 书.下册9.2（为实常数，刻画耦合强度）（a）求出的本征值及能级简并度。（b）以第一激发态为例，用简并微扰论计算对能级的影响（一级近似）。（c）严格求解的本征值，并与微扰论计算结果比较，进行讨论。提示：作坐标变换，令，则可化为两个独立的谐振子，称为简正坐标。解：（a）的本征函数和本征值可分别表为 （1）， （2）令 （3）则能量表示式可改为 ， （4）由式（3）可以看出，对于情况。能级是简并的，简并度为。（b）为第一激态（基态），能级为二重简并，能量本征值为 相应的本征函数为与（或考虑它们的线形迭加），分别记为和

17、。利用不难得出： （实） （5）代入方程 得 解之，得 因此，原来二重简并的能级变成两条，能量分别为 （6）能级简并被解除，类似还可求出其他能级的分裂，如图所示。（c）严格求解如下：令 ， （7）其逆变换为 ， （7）易证： （8）因此，S.eq: （9）变为 （10）令 ，即 （11）于是方程（10）变为 （12）是二彼此独立的谐振子，所以可以取， （13）相应的能量为 （13）当时，由（11）式，得此时 （14）（第一激发态）的情况下，可有与两种情况（二简并态），相应的能量分别为 ，能级分裂 与微扰论计算结果一致。103) 一维无限深势阱中的粒子，受到微扰作用求基态能量的一级修正。解：一维

18、无限深势阱的能量本征值及本征函数为，基态 ， ，基态能量的一级修正为 作变换，；，。代入上式完成积分，。104) 实际原子核不是一个点电荷，它具有一定大小，可近似视为半径为的均匀分球体它产生的电势为为核电荷，试把非点电荷效应看成微扰，计算原子的能级的一级微扰修正。解：.类氢离子中轨迹电子波函数为为波尔半径，能级的微扰论一级修正为由于核半径远小于原子半径，积分时可取从而求出 其中 为类氢离子的基态能级。105) 设氢原子处能级，求它的Stark分裂。提示：参阅10.2节中例1。注意能级简并度为9，考虑到微扰相应的选择定则，此9维空间可以分解为若干个不变子空间。解：加电场前，能级共对应有9个状态。

19、零级波函数形式为 （1）的9个态分别记为：；，； （2）视外电场为微扰，微扰作用势 （3） （4）将写成 ，。 （5）由于，所以作用于的结果，磁量子数不变。又因为 （6） （6）作用于，量子数将改变。因此在计算微扰矩阵元中，只有，不为零。先算径向积分：，再求出： ， 。再代入方程 ，得即 。（由，解得）（由，解得）结果，的能级分裂成五条：，。106) 设，（为实数）用微扰论求解能级修正（准到二级近似），并与严格解（把矩阵对角化）比较。解：（1）由表达式可见，微扰哈密顿的矩阵元为 ，代入能量的微扰论二级近似公式得 ，（2）直接求能量。设的本征矢为，对应的本征值为，则本征方程为即 有非零解的条件为

20、即 这是关于的二次方程，其解为以上的近似符合定态微扰论的要求，即微扰矩阵元小于能级差。上式分开号再写一步，得能级的二级近似， 这与（1）中用微扰论公式求得的结果完全一致。107) 对于一维谐振子，取基态试探波函数形式为，为参数，用变分法求基态能量，并与严格解比较。解：设基态波函数 ，归一化，得，取 ， 。 （1）由 ， 得 考虑在处要求有限的条件，取 （2）代入式（1），得谐振子（一维）基态能量与严格解求得的结果完全一致。108) 对于非谐振子，取试探波函数为（与谐振子基态波函数形式相同），为参数，用变分法求基态能量。解： （1） （2） （3）由 ，得 ，解得 （4）代入（3），得基态能量

21、（5）109) 氢原子基态试探波函数取为，（Bohr半径），为参数，用变分法求基态能量，并与严格解比较。解：1010) 设在氘核中的质子与中子的相互作用表成，（）。设质子与中子相对运动波函取为，为变分参数，用变分法计算氘核得基态能量。解：取 ， （1）归一化，得 （2）（而Hamilton量为 ）因此 （3）其中为质子中子体系的约化质量，即由极值条件，求得最佳值满足的方程： （4）给定了上式右端各参数值之后，可用数值法求出的最佳值，相应的最小值可以表成 （5）式（4）中，由式（4）求得最佳值为 （6）代入（5）式，即得 （7）氘核基态能级的实验值为，二者相差约% 。式（1）作为基态波函数的近似

22、表达式，虽不十分准确，但简明易算。例如，由式（1）易得基态最可几半径为 （8）和公认的数值基本一致。最可几半径由径向几率密度的极值条件决定，即满足 （9）由式（1）还可求出基态平均半径为 （10）第十一章 量子跃迁111）荷电的离子在平衡位置附近作小振动（简谐振动）。受到光照射而发生跃迁。设照射光的能量密度为，波长较长。求：（a）跃迁选择定则；（b）设离子原来处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的几率。112）氢原子处于基态。收到脉冲电场的作用。使用微扰论计算它跃迁到各激发态的几率以及仍然处于基态的几率（取沿轴方向来计算）。解：令 （6）初始条件（5）亦即 （5）用式（6）代入式（4），但微扰项中

23、取初值（这是微扰论的实质性要点！）即得以左乘上式两端并全空间积分，得再对积分，由，即得 （7）因此时（即脉冲电场作用后）电子已跃迁到态的几率为可直接代入 P291式（23）、P321式（15）而得下式 （8）根据选择定则，终态量子数必须是即电子只能跃迁到各态，而且磁量子数。跃迁到各激发态的几率总和为 （9）其中 （为奇宇称） （10）为Bohr半径，代入式（9）即得 （11）电场作用后电子仍留在基态的几率为 （12）113）考虑一个二能级体系，Hamilton量表为（能量表象） , ,设时刻体系处于基态，后受微扰作用， ,求时刻体系处于激发态的几率。解：时，体系 ，其矩阵表示（表象）为 （1）

24、设的本征函数为 （2）代入本征方程 （3）得到 （4）上式存在非平庸解的条件为由此解出 （5）令 ， （6）式（5）可以写成 （5）当，由式（4）求得取，即得相应的能量本征函数（未归一化）为 （7）当，类似可求得 （8）时，体系的初始状态为 （9）其中 （10）因此时波函数为 （11）以式（5）、（7）、（8）代入上式，即得 （12）体系处于态的几率为 （13）114）自旋为的粒子，磁矩为，处于沿轴方向的常磁场中，初始时刻粒子自旋向下。后来加上沿轴方向的常磁场 。求时刻粒子测得自旋向上的几率。（磁矩算符，与外磁场的的作用 ）解：粒子的磁矩算符可表示成 （1）为泡利算符，磁场对粒子的作用势为 （

25、2）在表象中，的矩阵表示为 （2）以下求的本征值和本征函数，设本征函数为 （3）本征方程为，则 （4）能级方程为 （5）令 ， ， （6）由式（5）容易解出 （7）将之值代回式（4），即可求出如下本征函数： （8）注意，这两个本征函数并未归一化。将时的初始波函数按能量本征函数展开， （9）因此，时波函数 （10）注意满足归一化条件 在时刻，测得粒子自旋“向上”的几率为 （11）本题可以视为113）题的一个实例。第十二章 散射121) 对低能粒子散射，设只考虑波和波，写出散射截面的一般形式。解： 只考虑波和波，则只取，于是， 代入上式，得其中 ，。122) 用波恩近似法计算如下势散射的微分截面：（a） （b） （c） （d） 解：本题的势场皆为中心势场，故有 ， （1） （1）（a）（b） （3）其中 （4）类似地可求得 （5）（4）、（5）代入（3），得