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1、4.2一次函数与正比例函数一、课标要求：（一）内容标准：结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式；理解正比例函数；能用一次函数解决简单实际问题.（二）能力目标：经历一次函数和正比例函数概念的抽象过程，能根据所给条件写出正比例函数和简单一次函数的表达式；九大核心素养在本节课中突出培养的是模型思想、符号意识，应用意识.二、教材与学情分析（一）教材分析：本节内容是本章第二节课，在上一节明确了函数概念的基础上，从本节开始，将研究一个较为简单的函数一次函数，希望通过学习一次函数，使学生了解函数的有关性质和研究方法，并初步形成利用函数的观点认识世界的意识和能力；同时也为后续进一步
2、学习反比例函数和二次函数等做好铺垫，还为高中学习解析几何做好准备，同时也是济南市学业水平考试的热点之一.一次函数和一元一次方程、一元一次不等式及二元一次方程组有着密切的联系.一次函数的概念是一个较为“形式化”的概念，可以通过实例、概括、归纳，逐步形成，并引导学生发展由特殊到一般的推理方法.同时，也与其他数学知识相联系，逐步形成运用模型解决问题的意识.（二）学情分析学生在七年级下期已经探索了变量之间关系，在此基础上，本章前一节继续通过对变量关系的考察，让学生初步体会函数的概念，能判断两变量之间的关系是否可看作函数.本节课进一步研究其中最简单的一种函数次函数.由于有前面内容的铺垫，学生已经会建立变
3、量之间的关系，可能有部分学生表述上还不太规范、分析实际问题中的数量关系存在一定困难、忽略k#0这个条件是个易错点，在教学中，教师要注意纠正学生的一些错误习惯、帮助学生分析实际问题中的数量关系、讲清为什么强调k0这个条件.三、教学重难点本节课让学生理解一次函数和正比例函数的概念，能根据已知信息写出简单的一次函数表达式，并初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力，所以确定：教学重点：1、从具体情境中列出相应的一次函数表达式，从而抽象出一次函数的概念；易错点是容易忽略k#0这个条件.2、在实际问题中分析数量关系确定一次函数表达式并解决简单的实际问题.教学难点:在实际问题中分析数量关系确定一次函
4、数表达式并解决简单的实际问题，例2的第三问如何确定个人工资、薪金不超过5000元.突破重点、突破难点的教学策略：加强学生审题能力的培养，从题目中获取有效信息，找到题目中的等量关系，然后列出关系式即函数表达式；进一步强化学生的运算能力，体会模型思想，发展符号意识.四、教学目标：1 .理解一次函数和正比例函数的概念；2 .能根据所给条件写出简单的一次函数表达式；3 .经历从实际问题中得到函数关系式这一过程，并解决简单的实际问题，发展学生的数学应用能力.五、当堂检测A组：1.下列函数中，一定是一次函数的是（）A.y=（m-3）x3B.y=-C.y=3x2+2D.y=2x-12 .已知函数尸（2力人+
5、253.（1）此函数为一次函数时，m;（2）此函数为正比例函数时，m=.3 .如图，ZVLBC的边BC长是10,BC边上的高是6,点。在BC运动，设8。长为X,请写出aACO的面积y与X之间的函数关系式.4 .某日通过高速公路收费站的汽车中，共有3000辆次缴了通行费，其中大车每辆次缴费20元，小车每辆次缴费10元.设这一天小车缴通行费的辆次为X,总的通行费收入为y元.（1）试写出y关于X的函数关系式；（2）若小车缴通行的辆次为1200,这天的通行费收入是多少元？B组:5 .某商店卖钢笔，规定：买5支以内，每支10元，超过5支，超出的钢笔每支打八折。(1)请求出买钢笔的钱数y元与钢笔的支数X枝
6、之间的函数关系式.(2)小明买了8支钢笔应付多少钱？(3)如果小亮付了90元钱买了几支钢笔？设计意图：教学结束，应针对教学目标的层次水平，进行评价，对尚未达标的学生进行补救，以消除错误的积累，从而有效地控制学生学习上的两极分化，通过1、2题评价目标1的达成情况，3题评价目标2的达成情况，4和B组题评价目标3的达成情况.六、教学过程：(一)构建动场观看中国古代漏刻计时的视频设计意图:通过视频讲解中国古代漏刻激发学生的学习兴趣,引出本节课的内容。(二)自主学习活动一：某弹簧的自然长度为3cm.在弹性限度内，所挂物体的质量X每增加1kg,弹簧长度y增加0.5cm.(1)完成下表：x/kg01234y
7、/cm(2)你能写出y与X之间的关系式吗？(3)y是X的函数吗？活动二：某辆汽车油箱中原有汽油60L,汽车每行驶50km耗油6L.(1)完成下表：汽车行驶路x/km050100150200300耗油量y/L(2)你能写出耗油量y(L)与汽车行驶路程X(km)之间的关系式吗？(3)你能写出油箱剩余油量Z(L)与汽车行驶路程X(km)之间的关系式吗？设计意图：学生通过独立解决两个实际问题，分析数量关系确定出函数表达式.思考:在上面的情境中，得到几个函数关系式：，y=3+0.5x,y=0.12x,z=60-0.12x请同学们找出这些关系式的共同点，并回答问题：(1)这些函数中自变量分别是什么？因变量
8、分别是什么？(2)这些函数关系式中自变量的次数是几次的？(3)观察关系式右侧的式子，能否写成统一形式？一般地，若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k,b为常数，k0)的形式,则称y是X的一次函数(Iinearfunction)(x为自变量,y为因变量).特别地，当b=0时，称y是X的正比例函数.正比例函数是一种特殊的一次函数.设计意图：学生通过观察分析以及老师的引导，得出一次函数的一般式，掌握定义.跟踪练习L判断下列函数关系式中，y是否为X的一次函数？是否为正比例函数？(1)y=2x(2)y=-4(3),二(4)y=x2-3x(5)y=-X+4(6)y=JX-222.(D对于函数
9、)=(Z-3)x+k+3,当k=时，它是正比例函数；当k时，它是一次函数.(2)函数y=(mRXMT+5是y关于的一次函数，则m=.设计意图：学生通过解决问题深化对一次函数、正比例函数定义的理解，并培养学生分析问题的能力，强化整体思想。例L写出下列各题中y与才之间的关系式，并判断:y是否为X的一次函数？是否为正比例函数？汽车以60(km/h)的速度匀速行驶，行驶路程为y(km)与行驶时间x(h)之间的关系；(2)圆的面积y(cm2)与它的半径X(CnI)之间的关系；某水池有水15(m3),现打开进水管进水,进水速度为5(m7h)(h)后这个水池内有水y（m3）；随堂练习某种大米的单价是2.2元
10、kg,当购买xkg大米时，花费为y元.y是X的一次函数吗？是正比例函数吗？设计意图：进一步巩固学生在实际问题中分析数量关系确定出函数表达式的能力.（三）交流探究例2.2021年，我国新的个人所得税的计算方法是:月收入在1-5000元之间的，包括5000元，预扣预缴税款为0%：月收入在5000-8000之间的，包括8000元,预扣预缴税款二（月收入-5000）x3%；如某人月收入取得6000元，他这笔所得应预扣预缴税款（6000-5000）X3%=30（元）（1）当月收入超过5000元但不超过8000元时，写出劳务报酬所得税预扣预缴税款y（元）与月收入X（元）之间的关系式.（2）某人月收入为65
11、00元，他这笔所得应预扣预缴税款多少元？如果某人某月的预扣预缴劳务报酬所得税为75元，那么此人这个月的收入是多少元?设计意图：学生通过自主思考、小组交流分析数量关系，得出函数表达式，对（3）的解决注重培养学生的分类讨论的意识。中国古代漏刻课后延伸日常生活中，人们常常利用一次函数解决实际问题，时间的计量就是一个例子.普通钟表的指针转动的角度是所用时间的一次函数.在古代，许多民族与地区使用水钟来计时.其中容器泄水的流量也是时间的一次函数.图4-2水钟在中国古代叫“漏刻”或“漏壶图4-2是一种原始漏刻的示意图：水从上面的贮水壶慢慢漏入下方的受水壶中.受水壶中的浮子上竖直放置一根标尺（称为“漏箭”）.
12、假设漏水量是均匀的，受水壶中的浮子就会均匀升高，也就是说浮子升高的高度力与所经历的时间/成正比：力（A为比例常数）.利用这一关系.在漏箭上标上适当的刻度,就可以用来计时了（中国古代天文学家通常将一昼夜分为IOO刻）.当然，古人注意到陵着贮水壶中水的减少，漏水速度会变慢，因此就出现了设置多个伫水圭（所谓补偿壶）的多级型漏壶，使水逐级下漏，以保证最后漏入受水壶的水流的均匀性（图4-3为唐代制造的一种四级漏设计意图：与构建动场的视频相呼应，通过本节课的学习学生能清晰的理解中国古代的漏刻计时原理，提升文化素养，提高民族自豪感.链接中考：（2021年济南市中考数学第17题）H.漏刻是我国古代的一种计时工
13、具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对国数思想的创造性应用。小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位为（CB）是时间上（am）的一次函数。下表是，、明记录的部分数据，其中有一个人的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当力为8s时，对应的时间f为mm设计意图：引导学生多关注文化素养的题型，加强对基础知识的深入理解。（四）综合建模：1 .请概括本节所学知识及思想方法。2 .通过本节课的学习你还有什么困惑。设计意图：通过学生的回顾与反思，强化学生对一次函数、正比例函数的理解,发展学生分析问题、解决问题的能力，加深对由特殊到般、整体思想的理解.（六
14、）作业布置：A组：1 .下列函数中，是一次函数的是（）A.y=7x2B.y=x-9C.y=D.y=L.xx+12、某商店售货时，其数量X与售价y关系如表所示：数量X(kg)售价y(元)18+0.4216+0.4324+0.4则y与X的函数关系式是（）A.y=SxB.y=8x+0.4C.y=8.4xD.y=8+0.4x3. y=（ZW-I）+37表示一次函数，则相等于（）A.1B.-1C0或-1D.1或-14 .甲乙两地相距264千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶24千米，t小时后，停在途中加水，则所剩路程S与行驶时间t之间的关系式,S是t的函数.5 .写出下列各题中X与y之间的关系式，并
15、判断：y是否为X的一次函数？是否为正比例函数？（1）某种大米的单价是2.2元/依，当购买X依的大米时，花费为y元；（2）一个在斜坡上由静止开始向下滚动的小球，其速度每秒增加3孙小球的速度y（mk）与时间，（S）之间的关系；（3）周长为Ioa%的长方形的一边长为XcTn,其面积y（cm2）与x（cm）之间的关系.B组：6.某电信公司手机的A套蒯攵费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须交月租费12元，另外，通话费按0.2元加%计算.B套餐收费标准如下：没有月租费，但通话费按0.25元JmE计.（1）分别写出A类、B类套餐每月应缴费用y（元）与通话时间XCmin）之间的关系式；（2）某手机用
16、户使用A套餐，这个月通话时间为180疝，他应缴费多少元；（3）如果该手机用户本月预缴了100元的话费，那么该用户使用A套餐本月可通话多长时间？（4）若某手机用户每月平均通话时间为30”，你觉得使用哪种套餐更划算？（5）每月通话多长时间，按A,B两种套餐标准缴费，所缴话费相等？设计意图：作业分必做题、选做题，体现分层思想，通过作业，内化知识,检验学生掌握知识的情况，发现和弥补教学中遗漏与不足.（七）板书设计一次函数与正比例函数知识：一、定义思想方法：由特殊到一般一次函数：y=kx+b（k,b为常数，k0）整体思想注意：1.自变量的系数（整体）不为02 .自变量为一次整式3 .当b=0时，y=kx（k0）称y是X的正比例函数二、二者关系正比例函数是一种特殊的一次函数但一次函数不一定是正比例函数。模型
