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1、L4.1用空间向量研究直线、平面位置关系考点01：直线的方向向量1 .若点A(TO,2), 8(1,4,10)在直线/上，则直线/的一个方向向量为()A. (1,2,4)B. (1,4,2)C. (0,2,-1)D.(0,4,12)【答案】A【分析】由方向向量的概念求解，【详解】由AB = (2,4,8), /的方向向量与AB平行，只有选项A满足题意，故选：A2 .如图，在四棱锥P-ABCo中，底面ABCO为矩形，附J_平面48CD, E为尸。的中点，AB=AP=If AD =6，试建立恰当的空间直角坐标系，求直线PC的一个方向向量.【答案】(1,3,-1)【分析】建立如图所示的空间直角坐标系
2、，根据方向向量的定义可得.【详解】如图所示，建立空间直角坐标系A一到z,则P(0,0,D, C(l,3,0), 所以尸C = (L3,-l)即为直线PC的一个方向向昂考点02:平面的法向量3 .已知A(2,0,0), 8(0,2,0), C(0,0,2),则平面ABC的一个法向量可以是()B. (1,-U)【答案】A-2x+2y = 0-2x+2z = 0【分析】代入法向量的计算公式，即可求解.【详解】AB = (-2,2,0), AC = (-2,0,2),令法向量为血= (x,y,z),则 .y = Z=X,可取 zn = (T,故选：A.4 .在棱长为2的正方体A8CZ）- ABCQ中，
3、E,尸分别为棱AA, A片的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：平面3D。西的一个法向量；平面BDEF的一个法向量.【答案】（I）AC = （-2,2,0）（答案不唯一） (2) n = (2-2-1)(答案不唯一)【分析】（1）利用线面垂直的判定定理求解法向量;（2）利用空间向量的坐标运算求平面的法向量.由题意，可得 0(0,0,0),5(2,2,0),4(20,o),C(O,20),E(Lo,2),连接AC,因为底面为正方形，所以AC/6O,又因为OA _L平面ABCD ACU平面ABC。，所以OA _L AC,且BO DD1=D,则AuL平面5。蜴， AC = (-2,2,0)为平面
4、5。心的一个法向量.(答案不唯一).(2) D = (2,2,0),DE = (1,0,2).设平面BDE尸的一个法向帛为 = (,y,z),则H-DB = Of2x+2y=0,y = ,n-DE = O,x + 2z =0, 1Z =X.2令 =2, y = -2,z = -l. = (2,-2,-1)即为平面B的一个法向量.(答案不唯一).考点03:空间向量法做直线与直线平行5 .己知正方体ABS-A/GR中，M与N分别是棱8片与对角线CA的中点.求证：MNUBD,并且MN = -BD. 2 【答案】证明见解析【分析】建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，利用坐标关系来证明.【详解】以力为坐
5、标原点，OAOCoA所在直线分别为乐XZ轴，建立空间直角坐标系，如图， 不妨设正方体的棱长为2,则B(ZZo),D(0,0,0),A(N0,2),C(020),M(224),N(l,1,1)M=(TTO) ,BD=(-2l2,0);因为60 = 2肪7，且,4 = 2近,|“冈=无，所以 MN/BD,并且 MN=38。.6 .如图，在正方体ABeQ A/CQi中，棱长为2, M, N分别为, AC的中点，证明：MN BC.【答案】证明见解析.【分析】连接阴,由中位线定理即可证明MN耳C.【详解】连接A%如图，B由正方体知四边形BBiAy是正方形，且M是AB的中点，所以 AACAB = M,即M
6、是A4的中点,又N是AC的中点，所以MN B.考点04:空间向量法做直线与平面平行7 .设直线/的方向向量为d,平面。的法向量为，Iaa,则使/ 成立的是()A. d =(2,-1,3), /=(TLl)B. d = (1,-1,2), w = (-1,1,-2)C. 3=(1,1,0) , /i = (2,-1,0)D. = (1,-2,1), n=(1,1,2)【答案】A【解析】/ a等价于”与垂直,分析选项即可得解.【详解】A 中i=(2,T,3)(TJl) = -2T + 3 = 0,所以q_L，故/“其他答案G 工O故选：A【点睛】本题考查的是空间向量的应用，较简单.8 .如图，已知
7、斜三棱柱ABCAgG ,在AG和BC上分别取点M , N ,使AM=AAC；, BN = kBC,其 中OvAl,求证：MN 平面ABgA .【答案】证明见解析【分析】用AA,、AB蓑示MN，即可得到MN与向量AB，A4共面，从而得证.【详解】证明因为a=A4G=Maa + A4 + 4g) = Ma41 + ab+AN = AB + BN = AB + kBCr所以 MN = 4N-AM =4+48 + 80)-(A8 + ABC) = ZAA+(J)A8 ,所以MN与向量，AAI共面，而MNN平面ABB A ,所以MN平面438个.考点05:空间向量法做平面与平面平行9 .若平面2夕，则下
8、面可以是这两个平面法向量的是()A.H1 =(1,2,3), Zi, = (3,2,1)B. nx =(1,2,2), n2 = (2,2,1)C.1 =(1,1,1), w2 =(-2,2,1)D. n =(l,l,l),n2 =(-2,-2,-2)【答案】D【分析】利用已知条件可知两个平面的法向量互相平行，判断选项即可.【详解】因为平面夕，所以两个平面的法向量应该平行，只有D项符合.故选：D.【点睛】本题主要考查了平面的法向量.属于容易题.DlCh BiCi10 .如图，已知棱长为4的正方体ABCo-A由/&/中，M, M E,尸分别是棱A/。/, AiBlf 的中点，求证：平面AMNll
9、平面7议).【答案】证明见解析【分析】根据题意建立空间直角坐标系，分别写出AM,N,E,E8,f,求出平面AWN与平面耳的法向 量，根据法向量与法向量的关系即可证明.【详解】由正方体的棱长为4,建立如图所示的空间百角坐标系-，z,则D(0,0,0), A(4,(),0),M(2,0,4), N(4,2,4), 3(4,40),E(0,2,4)(2,4,4)AM =(-2,0,4),V = (0,2,4), QE = (0,2,4),9= (-2,0,4),设平面AMN的一个法向量为m= (,y,z),则mAM = 0m,AN = 0-2x 4 = 02y + 4z = 0，令 z = l,解得
10、 x = 2,y = -2所以z = (2,-2,1)设平面比8)的一个法向吊:为n = (x, RZ),则/nDE = 0 j2y + 4z = 0nBF = 01-2x+4z = 0令z = l,解得x = 2,y = -2所以 = (2,-2,1)所以/n 平面AMN Il平面EFBD .考点06:空间向量法做直线与直线垂直11 .已知空间四边形ABC。中，ADLBC1ABlCDt求证：AClBD.【答案】证明见解析【分析】利用向量垂直的运算法则证明线线垂直.【详解】证明：设A8 = ,AC = 6,A。= C贝 IJBC = AC-AA =力一a,Co = Ar)-AC =。一4 3。
11、= AO-ABADLBC,AB A.CD .ADLBCyABlCD c(b-a) = Oac=b ca(c-b)O ac = ab于是可得a b = b cAC BD = h(c-a) = hc-ba = O. AC L BD 即 AeiBO12 .如图，在平行六面体48C。ASGA 中，A8 = 4, AC) = 4, AA=5, NDA8 = 60。，NBAA1 =60。，ZDAA1 =60, M, N分别为。, CM 的中点.求证：MNLACx.【答案】证明见解析【分析】利用空间向量的数量积为。的方法证明两直线垂直.【详解】证明：设A8 = , AD = k AA=。，这三个向最不共面，
12、a，b，c构成空间的一个基底，我们UUU用它们表示MN，AC1 ,则MN = MCl +CN = ga 一;b, ACi = AB + SC + CCi =a+b+ct所以 MN 4C = (；。-；/?)(4 + 力 + 0) = aa + ab+aC-ha-b b-h c=42 + 42 cos60 + 45cos60- -42 cos60-42 - -45cos60o =0.222222所以 MN _LAG.考点07：空间向量法做直线与平面垂直13.如图所示，在长方体A8C。一 ANGA中，AO = I, AB=AAJ =2, N、M分别A8、G。的中点.（1）求证：NM平面A A。”
13、（2）求证：NMj_平面AgM.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）以点。为坐标原点，DA. DC. DA所在宜线分别为、八Z轴建.空间宜角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；（2）求出平面ABlM的一个法向后，利用空间向量法可证得结论成立.【详解】（1）以点O为坐标原点，OA、DC、OA所在直线分别为x、Z轴建立如卜图所示的空间宜角坐标系,则A(l,0,0)、M(U,1)、N(IJ0)、4(122)、4(1,0,2),NM=(To, 1),易知平面A1 A。A的一个法向量为1=(0,1,0),NM m = -IXo+ 0xl + lx0 = 0,则 NM_L/n，.M
14、W(Z平面 AAoA，故 NM平面 AAoA :(2)设平面 AMM 的法向量为=(,y,z), A4=(020), AM=(TL-I), 所以，NM=n，故NMj平面ABM.小A耳=O得AM=o2y = 0-x+ y-z = O取x=-l,可得 = (T,O,1),14.如图，四棱锥尸ABQ)中，PA_L底面 ABC。，ABLAD, ACCDt ZABC = 0 PA = AB=BC = 2, E是PC的中点.求证：（1） CD1AE； （2） P_L平面【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】方法一 ：（I）以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-VZ,得到C。、AE,计算得到8
15、AE=O, 即证明COLAEUUU 1（2）先写出尸力坐标，再求出平面AeE的法向依，验证可知尸），即证明包，平面ABE方法二：（1）由PA_L底面ABCQ证明PAlCD,再结合AC_LCD可证明CD_L平面PAC.从而得到CC）_L AE.（2）由PA _L底面ABCD证明RA _L AB,再结合AB _L AD证明AB _Z平面/MO,从而得到ABJ.PD;再证明AEJ_PC.结合CZ）JLAE可证AE，平面PCZ）,得到AE_LP；最后根据线面垂百的判定即可以证 明PQJ_平面ABE【详解】方法- （1）以A为坐标原点，AB，AD, AP所在直线分别为4, ） Z轴，建立如图所示的空 间
16、直角坐标系，则 A(0,0,0) B(2,0,0), C(l,3,), Q(O,怨,1, P(0,0,2), E g,专,1 ,所以。=T当 F = fl所以cz4E = Tl +且X立+ i = o,所以CT_L4E.I2 2 )2 3 2(2)由(1),得 PQ = (O,空2 , AB = (2,0,0), AE= ,1 .(2x = 0设向量” = (,y,z)是平面ABE的法向量，则.O? ?,即IG ，取丁 = 2,贝lj =(0,2,-6)， /Z-AE = O-X + y + z = O,1123所以Po = 詈，所以PDafl,所以包，平面馋.方法二 (1) . EA底面AB
17、CQ,PALCD.又AC_L8, PA AC=A, :. Cl)_L平面PAC. AEc平面 PAC, CDLAE.(2) ,/ PA_L 底面 A3CQ, . PAAB. XABAD, PArAD = A, ABj,平面 PAO,ABlPD.由题可得RA = AC = 2,由E是PC的中点，.AE_LPC.又 CDJ. AE, PCeCz) = C, AE_L 平面PC。，. AfJLPo. AB_LPD，AELPD, A,B AE = A, PQJ_ 平面 ABE.考点08:空间向量法做平面与平面垂直15 .在三棱柱 48C-ABC 中，AA/J_平面 ABC, ABBC, AB=BC=2
18、, AAl = lf E为 88/的中点，求证:平面AEG _L平面AA/0C.【答案】证明见解析【分析】以点8为坐标原点，分别以BA, BC, 8力所在直线为X轴，)，轴，Z轴建立空间直角坐标系，利用 平面法向量之间的关系证明面面垂直.【详解】由题意知直线A3, BC, 8由两两垂直，以点4为坐标原点，分别以84, 8C, 44所在直线为X轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(2, O, O), A(2, 0, 1), C(0, 2, O), C(0, 2, 1), (0, O, y),UUU(I故4A =(0, 0, 1), AC =(-2, 2, 0), AC1 =(-2,
19、 2, 1), AE =I -2-设平面AACC的法向量为吗=(X, yl z)fit AA = 0 (z = 0则，叫CCCW1AC = O -2x+2y = 0令X=1,得y=l,故n1 =(1, 1, 0).设平面AECi的法向最为% = (, b, c),， AG= 0,即Vw2 AE - 0-2a + 2? +(? = 0-2a + -c = 02令 c=4,得 =l, b= ：L故4 =(1，1, 4).U UU因为外n2 =lll(-l) + 04=0,所以q In2 .所以平面AE。J平面AACC.16 .如图所示，ZMBC是一个正三角形，ECL平面A8C, BDIlCE,且C
20、E=CA = 28D求证：平面。EA_L【答案】证明见解析【分析】建系，分别求平面。区4、平面ECA的法向量，利用空间向量证明面面垂直.【详解】证明：建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz,不妨设CA = 2,则CE=2, BD=I,则 C(0,0,0), 4(6,1,0), 8(020), E(0,0,2), 0(021),所以 EA=(6,1l2),CE = (0,0,2),ED = (0,2,T),设平面ECA的一个法向：|5：是n1= (xpy1,z1) ,则 /EA = 6%+R-2z =0% - CE = 2zl = 0取X=1, RlJ yl =-y3,zl =0,即 4 =(1,-,O)，设平面DEA的一个法向量是%=(JWZz)，n,EA = Wx、+ y2 - 2z2 = 0则12.nx DE = 2y2 -Z2=O取x2 =G, piljy2= l,z2 =2,即j =(6,1,2),因为“I n2 =IXG+ 卜6卜1+ 0x2 = 0 ,所以I _L4 ,所以平面。EAJ_平面EcA
