专题12.2离散型随机变量的分布列、均值与方差【解析版】.docx

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1、专题12.2离散型随机变量的分布列、均值与方差【核心素养】1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，凸显数学抽象、数据分析的核心素养.2 .理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，会求简单的离散型随机变量的均值、方差，凸显数学运算的核心素养.3 .能利用离散型随机变量的均值、方差的概念解决一些简单实际问题，凸显数学运算、数学建模的核心素养.知识点一离散型随机变量的分布列1 .离散型随机变量的分布列(D随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X匕-等表示.(2)离散型随机变.量对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，

2、这样的随机变量叫做离散型随机变量.随机变量的线性关系：若J是随.机变量，=a+b,其中6是常数，则也是随机变量.2,分布列的两个性质PiO,/=1,2,w；P+P2+P=13.分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值.(2)随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率.3.常见离散型随机变量的分布列(D两点分布：若随机变量X服从两点分布，即其分布列为X01Pi-pP其中0pl,则称离散型随机变量X服从参数为P的两点分布.其中P=P(X=I)称为成功概率.(2)设离散型随机变量X可能取得值为再，xtt，X取每一个值七=1,2,的概率为P(

3、X=X)=Pi,则称表XX2-VPPlPiPiP,为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列.有时为了表达简单，也用等式P(X=XJ=R,i=1,2,表示X的分布列.知识点二离散型随机变量数字特征1 .均值若离散型随机变量的分布列为X芭X2七PPxPiPiP1,称E(X)=XPl+句%+Xe+ZP为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.若y=Y+b,其中。力为常数，则y也是随机变量，且E(Y+6)=E(X)+6.若X服从两点分布，则E(X)=p；2 .方差若离散型随机变量的分布列为XX2PPlPiPiPn则(七一E(X)2描述了王(:1,2,相对于均值E(X)的偏离程

4、度，而。(X)=(Xj-E(X)Z=I为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.称D(Ar)为随机变量X的方差，其算术平方根亚河为随机变量X的标准差.若Y=Y+b,其中凡。为常数，则丫也是随机变量，且。(Y+b)=/O(X)若X服从两点分布，则Q(X)=P(lp).3 .六条性质(1) E(C)=C(C为常数)E(OX+b)=aE(X)+b(力为常数)E(Xl+X2)=E(X1)+E(X2)如果M,A2相互独立，则E(XIXz)=E(XJE(k)O(X)=(*2)YE(X)2(6) D(aX+b)=a2D(X)200-30012345、300400和400以上.

5、X是一个随机变量，其分布为2111773.,4040404040,分布通常可用更直观的图像来表示，如下面的条形图所示.例12.(2023上高二课时练习)设离散型随机变量X的分布列为：求随机变量袱=2的分布列.【答案】答案见详解【分析】由离散型随机变量的性质，可得加=0.3,再由=牙2的对应关系可得解.【详解】由离散型随机变量的性质，可得ZM=O.3,依题意知，”的值为0,1,4,9,16.列表为：X01234X1014916从而=X2的分布列为:014916P【总结提升】求分箫列的三种方法1 .由统计数据得到离散型随机变量的分布列；(1)可设出随机变量K并确定随机变量的所有可能取值作为第一行数

6、据；(2)由统计数据利用事件发生的频率近似地表示该事件的概率作为第二行数据.由统计数据得到分布列可帮助我们更好理解分布列的作用和意义.2 .由古典.概型求出离散型随机变量的分布列；求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出才取各个值的概率.而超几何分布就是此类问题中的一种.3.由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及次独立重复试验有次发生的概率求离散型随机变量的分布列.【变式训练】变式U(2023上高二课时练习)设离散型随机变量X的分布列为：X01234Pm求随机变量=IX-Il的分布列.【答案】分布列见解析【分析】由题意随机变i5=X

7、-1的可能取值为0,1,2,3,求出对应可能取值的概率即可得解.【详解】由题可知知根=I-0.2-0.1-0.1-0.3=0.3,列表为：X01234IXT1Pm=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3,(,7=3)=P(A=4)=0.3.故二X-1的分布列为:变式12.（2023全国高二课堂例题）全班有40名学生，某次数学作业的成绩如下:分数O12345人数01312204现从该班中任选名学生，用X表示这名学生的数学作业成绩，求随机变量X的分布列.【答案】答案见解析【分析】根据古典概率公式求P（X=i）,i=0,l,2,3,4,5,然后甸得分布列.【详解】解：由题意可得P(

8、X=O)=30，P(X=I)$=0.025,312P(X = 4)P(X=2)=言=0.075,P(X=3)=本0.3,0.1.=0.5,P(X=5)=-40v740题型二：离散型随机变量的分布列性质【典例分析】例21.（2023下吉林长春高二长春外国语学校校考期中）设随机变量X的分布列为P（X=i）=i=1,2,3,则。的值为（）16D.7【答案】A【分析】由分布列中所有概率和为1求解.1 11Q【详解】由题意：+=2 487故选：A.例22.随机变量X的分布列如下，其中a,b,C成等差数列，则P(IXl=I)=M公差d的取值范围是.X-101PabC_11【答案】L?1【解析】因为a,b,

9、c成等差数列，所以2b=a+c.又a+b+c=1,所以b=；,所以即I=I)=a+c=.又aOO11191911=-d,c=-+d,所以0(一d6,0-+d-,所以一d.33333333【总结提升】1 .离散型随机变量的分布列的性质的应用(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.2 .对于分布列易忽视其性质p+.2+=1及B0，=L2,/其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确.3 .确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可

10、能取值表示的事件是彼此互斥的.4 .利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数.【变式训练】变式21.(2023下河北石家庄高二校考阶段练习)下表是离散型随机变量X的分布列，则常数。的值是()【答案】C【分析】根据分布列的性质运算求解.【详解】由题意可得：+y+-=1,解得=g故选：C.变式22.(2023上高二课时练习)若离散型随机变量X的分布列为:1 - 5A.1 - 4B.则。=()C-D32【答案】A【分析】由离散型随机变量分布列的性质，即概率和等于L得解.【详解】由离散型随机变俄分布列的性怎可.知，2+3=l,所以=故选：A.题型三：由随机变量

11、的分布列求概率【典例分析】例31.【多选题】(2023下河南周口高二校联考期中)已知离散型随机变量X的分布列为X1246Pmn则下列选项正确的是()A.m+n=0.1B.若，=0.3,则P(X3)=0.5C.若用=0.9,则=-0.2D.尸(X=I)=2P(X=6)【答案】ABD【分析】根据分布列的性质，以及概率的定义与互斥事件概率的加法公式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由分布列的性质，可得0.2+加+0.1=1,解得m+=0.7,所以A正确；对于B中，若勿=0.3,可得=0.4,则尸(X3)=P(X=4)+P(X=6)=0.5,故B正确；对于C中，由概率的定义知M070,所以C不正

12、确;对于D中，由P(X=I)=O.2,P(X=6)=0.1,则P(X=I)=2P(X=6),所以D正确.故选：ABD.【答案】【分析】【详解】例32.(2020下辽宁大连高二大连八中校考阶段练习)设离散型随机变量X的概率分布列如下:X123456789102222222223323334353637383。则P(X=IO)=.3919683由分布列中概率和为1可构造方程，结合等比数列求和公式可求得结果.2222由分布列的性质知：+铲+y+歹+m=1,xl14)I11则2二J)+北=号+加=,解得：w=-,即尸(X=Io)=五.13故答案为：至.【变式训练】变式31.(2023上高二课时练习)随

13、机变量E的分布列如下:其中26=+c,则P(归|=1)等于()【答案】D【分析】利用离散型随机变量的分布列中各概率之和为1可求.【详解】Q26=a+c,且+6+c=l,解得b=g,2.p(=)=p(=-)+p(=)=a+c=2b=.故选：D.变式32.(2023下福建福州高二校联考期中)已知随机变量X的分布列为P(X=i)=1(i=l,2,3,4,5),a则P(2X5)=()1 139A.-B.-C.-D.32510【答案】C【分析】由随机变量的分布列的性质即概率和等于1，可求得。的值，又由P(2X5)=P(X=2)+RX=9+Hx=9,计算可得答案.【详解】根据题意，随机变量X的分布列为P(

14、X=t)=(i=l,2,3,4,5),aj由分布列的性质，则有2L=1,解得。=15,故p(2x.记Vr=l)I=I前次(即从第1次到第次投篮)中甲投篮的次数为丫，求E(Y).【答案】(1)0.61+ - 3(B)E(K)=A1,j七【分析】(1)根据全概率公式即可求出;(2)设P(4)=p,由题意可得P川=04p,+0.2,根据数列知识，构造等比数列即可解出;(3)先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出.【详解】(1)记“第i次投篮的人是甲为事件4,“笫i次投篮的人是乙”为事件4,所以，P(BJ=P(ABj+RBiB2)=R力RB力+垃4层I勾=0.5(10.6

15、)+0.50.8=0.6.(2)设P()=Pj,依题可知，P(Bj=Pi,则尸(4J=P(44J+P(BMG=PH)P匕卜PTH)，即P,+=0.6p,.+(l-0.8)(l-PJ=O.4pj+0.2,构造等比数列加+4，设0+1+2=(P,+4),解得4=T,则PMT=I又P二1,n-2=J,所以是首项为，公比为3的等比数列，236IJJ65bp44x(,4(3)因为p,=()+；,i=1,2,，1-偿Y所以当n时，E(y)=p+Pz+pj,=+g=得-()+y,5tt5(n=-)H【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数列的基本知识求解.

16、【规律方法】计算均值的基本方法：已知随机变量的概率分布求它的均值，可直接用定义或公式求；已知随机变量X的均值，求X的线性函数y=aX+b的均值，可直接用均值的性质.【变式训练】变式51.(2022浙江统考高考真题)现有7张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为3则尸=2)=,Ee)=.-16125【答案】方17【分析】利用古典概型概率公式求尸(4=2),由条件求J分布列，再由期望公式求其期望.【详解】从写有数字122,3,456的7张卜片中任取3张共有C；种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有CCg种，所以产&=2)

17、=誉点，由己知可得J的取值有1,2,3,4,P(=l)=f-=i,P(*2)q,P(=3)=4=-，P=4)=-!=I7C；35v7C；35所以E()=Ix-+2-+3-+4-=,353535357故答案为：工，-y.变式52.(2022全国统考高考真题)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得。分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为05,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.求甲学校获得冠军的概率；用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.【答案】0.6；分布列见解析，E(X)=I3.【分析】(

18、1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为4民C,再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥名件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；(2)依题可知，X的可能取值为040,20,30,再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望.【详解】(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为4伉C,所以中学校获得冠军的概率为=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.(2)依题可知，X的可能取值为040,20,30,所以，P(X=O)=O.5x0.4x0.8=0.16,P(X=Io)=O.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0,5x0.4x0.2=0.44,P(X=20)=0.5

19、0.60.8+0.50,4X0.2+0.5X0.6X0.2=0.34,P(y=30)=0.50.60.2=0.06.即X的分布列为X0102030P期望E(X)=OXO.16+10x0.44+20x0.34+30x0.06=12.题型六：两点分布、超几何分布的均值【典例分析】例61.(2022下安徽高二校联考期末)为了解高三学生复习的效果，某学校进行了预测考试，随机抽查了5名学生的语文成绩与数学成绩，得到如下数据：学生甲乙丙T戊语文7689110128132数学8294135115124现从这5人中任选3人进行学习方法的分享，用X表示其中语文分数大于数学分数的人数，则上(X)【答案】12【分析

20、】随机抽查的5名学生中，语文分数大于数学分数的人有2人，则语文分数不大于数学分数的人有3人,分别利用古典概型计算出概率，由期望公式可得答案.【详解】随机抽查的5名学生中，语文分数大于数学分数的人有2人，则语文分数不大于数学分数的人有3人,=2)=则E(X)=OX-!-+Ix$+2x2=1.2.v7101010故答案为：1.2例62.(2023下山西朔州高二校联考阶段练习)已知随机变量X服从两点分布，P(X=I)=O.34,贝IjP(X=O)=,E(X)=.【分析】由两点分布的性质及期望公式即可得出结论.【详解】由两点分布可知P(X=O)=1-0.34=0.66,E(X)=00.66+l0.34

21、=0.34.故答案为：0.66;0.34.【变式训练】变式61.一个袋子中共有8个大小相同的球，其中3个红球，5个白球，从中随机摸出2个球，则取到红球的个数的期望为()3- 4 5- 4AC.4- 5 4- 3 B.D.【答案】A【解析】由题意，取到红球的个数X的取值为OI2,P(X=O)=m=兴P(X=I)=婴=岛R=2)=器Cs14Cg28Cg旦28,X012P_5_141528_3_28E(X)=O*+唠+2.故选A.变式62.(2023下浙江嘉兴高二校考期中)己知随机变量X的取值为O,1,若尸(X=O)=,则X的均值为.4【答案】-/0.8【分析】X服从两点分布，结合两点分布的均值公式

22、，即可求解.【详解】由题意可得，X服从两点分布,14P(Ar=I)=I-P(Ar=O)=I-=-,144F(A)=0-+ly=-.4故答案为：.题型七:已知均值求参数【典例分析】例71.（2023上高二课时练习）若随机变量X的分布列为【答案】A【分析】根据分布列的性质和期望公式列方程求6即可.【详解】由已知，根据分布列的性质可得:+b=l,0l,0bl,因为E（X）=1,所以OX+l+2b=l,3解得a=；,/?=；,故选：A.例72.（2023下高二课时练习）已知随机变量X的概率分布为X-2-1012P_435m120若Y=X+3,且（丫）=一曰，则a=【答案】15【分析】利用分布列的性质可

23、求得加，继而可求E（X）,再利用期望的性质可求（y）.【详解】由分布列的概率之和为1可得：m+=1,解得小二春，4=15.故答案为：15.【变式训练】变式71.（2023全国高三对口高考）设离散型随机变量J可能取的值为1,2,3,4.P(g=k)=ak+b(k=1,234).又的数学期望E(g)=3,则+b=()【答案】A【分析】由数学期望计算公式及概率和为1，构造方程组求得。力，进而得到结果.【详解】尸(J=Z)=成+6(%=1,2,3,4),A()+2x(2a+b)+3x(3fl+/)+4x(4a+/?)=30a+10/?=3(l)；又(+b)+(2+6)+(34+6)+(4+)=1Oa+

24、4Z?=1(2),由可解得:需6=0，4+b=故选：A.变式72.（2023下贵州毕节高二校考阶段练习）己知随机变量X的分布列为且E(X)=I.2,IjllJzw-W=3【答案】0.3/亦【分析】先由条件分别计算出九，从而可的结果.1+w+=1【详解】由题可得An.1.，解得00.1+lw+2i=1.2所以-=0.3.故答案为：0.3.题型八：随机变量的方差、标准差【典例分析】例81.（2024浙江温州统考一模）已知离散型随机变量X的分布列如下表所示.Xaa+4+2P0.40.20.4则D(X)=()A.0.4+qB.0.8+4C.0.4D.0.8【答案】D【分析】根据随机变显的方差公式可得.

25、【详解】由分布列可得E(X)=QAa+0.2(+1)+0.4(+2)=+1,O(X)=O.4(-lf+0.2(+1-1) , 1aA-b = 1所以。(X)=Xdg) +3(。T) iH)故选：B.【总结提升】计算方差的基本方法：已知随机变量的概率分布求它的方差和标准差，可直接用定义或公式求；已知随机变量X的方差，求X的线性函数Y=aX+b的方差和标准差，可直接用均值及方差的性质.【变式训练】变式81. (2023下浙江嘉兴高二校联考期中)已知X的分布列为+0.4(+2-1)2=0.8,故选：D例82.(2023上江苏镇江高三统考开学考试)已知随机变量X的分布列如下表所示，若E(X)=g,则D

26、(X)=【答案】B所以【分析】利用期望公式与分布列的性质得到的方程组，从而求得。力，再利用方差公式即可得解.【详解】因为E(X)=；,且各概率之和为1,C1t1-2a+Q-+b=一33则下列说法错误的是()A.P(%=0)=B.E(X)=T1C.D(X)=-D.P(X-1)=5【答案】C【分析】利用分布列的性质可求出。的值，可判断AD选项；利用期望公式可判断B选项；利用方差公式可判断C选项.【详解】对于A选项，由分布列的性质可得(+J=l,可得=?,则P(X=O)=!，A对；2633对于B选项，E(%)=-1-+Ol-=-,B对；2363对于C选项，O(X)=-1+；)x+(o+g)X卜(3C

27、错；对D选项，PXQ=+=,D对二362故选：C.变式82.(2023上高二课时练习)设0a1,随机变量X的分布列为XO12P2-a3_3b则当在(Oj)内增大时()A. O(X)增大B. D(X)减小C. D(X)先减小后增大D. O(X)先增大后减小【答案】A【分析】根据随机变量分布列的性质，结合方差的公式、二次函数的性质进行求解即可.【详解】根据随机变量分布列的性质可知+!+6=1,所以6=?。，所以E(X)=0x+lx；+2b=g(l+2a),所以0(X)=0-J(l+24)2+l-!(l+2Q)2L+2-J(l+24)2g33333342824/八，2=a+a+=(-l)+,9999

28、3因为Ol,所以。(X)单调递增，故选：A题型九：方差的性质及其应用【典例分析】例91.(2023下新疆乌鲁木齐高二乌鲁木齐市第六十八中学校考期中)己知的分布列如下表所示，设J=32,则0(/的值为()39【答案】A【分析】计算出Oe)的值，结合方差的性质可求得。(J)的值.【详解】由分布列可得Ee)=Tg+0g+l=所以,0(同-1+?XHo+Jx/(l+JX9/又因为，则。=O(M-2)=9()=9xg=5.故选：A.例92.(2023下福建厦门高二度门一中校考期末)某高二学生在参加物理、历史反向学考中，成绩是否取得A等级相互独立，记X为“该学生取得A等级的学考科目数，其分布列如下表所示，

29、则D(X)的最大值是【答案】B【分析】利用方差的期望表示可得出O(X)=-/+能+/设该生物理、历史学考获得等级A的概率分别为Pi、P2,则有P2=,利用基本不等式可求得b的取值范围，再结合二次函数的基本性质可求得O(X)的最大值.【详解】由题意可得刀2、X的分布列如下表所示：由分布列的性质可对 + b%所8 - 9=1 - 9XO12X1O14Pab9所以，E(X)=O+6+2g=b+g,E(X，=0+8+49=b+1,所以，D(X)=EpNE(X)A+北+如=/+/+?设该生物理、历史学考获得等级A的概率分别为P|、P2,则有PP2=,2I24则b=px(-P2)+P2(I-P1)=P,+

30、P2PiP2=Pi+P22jp2-=148当且仅当p=P2=g时取等号，所以，bP(X+占=4)=P(M=I)P氏=3升尸/=2尸隹=2+尸抬=3&=1,尸伍+占=IO)=P(X=5)P区=5)=去.M+工分布列:X1+X2234567891012341432125252525525252525则上乂=司占=以92、5+3*卜4、5-3,故矶乂+乂=兄乂+可乂.又以打叫丫2=(1-3八1+(2-3)2*!+(3-3)2*，+(4-3)2乂，+(5-3)2乂=2,55555+(6-6)2-+(7-6)2-+(8-6)2-+(9-6)2-+(10-6)2-=4,525252525故DX+X2=DM

31、+DX2入2分布列:X?12345P51515155又M+占可能的取值为3,4,5,6,7,8,9,P(Xl+X2=3)=P(x1=12=2p(rl=22=1iP(X+占=4)=P(X=WG=3升尸的=3,占=1)=%弋.持1 1 1 -=4 5 4P(M+*2=5)=P(X=LX2=4)+P(Y=2,%=3)+P(=3*2=2)+P(M=4*2=1)=P(Yi=4,占=5)=LX+A2分布列:Ar1+X234567891111111P三10105551010则由(1)EXl=EX2=3,EX.+X2I=3-+4-+5X-+6X-7xh+8+91,2j10105551010故期乂+工=4乂+矶

32、工.又由(1)DXl=DX2=2,- = 3,10+(7-6)2(8-6)2j+(9-6)故DX+A2QXj+QX2【变式训练】变式IOL【多选题】（2023下河北石家庄高二河北师范大学附属中学校考阶段练习）设随机变量X的分布列为其中而0.则下列说法正确的是（）XO12Pab2b2A. a + b = B. E(X) = 26C.随着b的从小到大变化，O(X)先增大后减小D.O(X)有最小值【答案】AC【分析】根据均值和方差的定义求解.【详解】.尸(X=O)+P(X=I)+尸(x=2)=l,.+g+g=l,+b=l,A选项正确；E(X)=OX尸(X=O)+1XP(X=I)+2Xp(X=2)=m,B选项错误；Q(X)=(Od尸(X=O)+0T