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1、专题1阿波罗尼斯圆及其应用微点4阿波罗尼斯圆与圆锥曲线专题1阿波罗尼斯圆及其应用微点4阿波罗尼斯圆与圆锥曲线【微点综述】有些涉及圆锥曲线与圆的综合题，其中已知条件含有阿波罗尼斯圆的背景，可以结合阿波罗尼斯圆以及圆锥曲线的几何性质解决问题.【典例刨析】221 .设双曲线看-点=1的左右两个焦点分别为A、F2,是双曲线上任意一点，过R的直线与NKP6的平分线垂直，垂足为Q,则点。的轨迹曲线E的方程；历在曲线E上，点48,0),3(5,6),则JAMl+忸Ml的最小值.【答案】X2+/=1635【分析】延长耳。与P6的延长线交于点M,计算OQ=PFi-PF2=4得到轨迹方程，取点C(2,0),1A+
2、BM=C+三BC,解得答案.【详解】如图所示：延长耳。与PK的延长线交于点M，则OQ=3m玛=Jpm一尸鸟)=；归4_2用=4,故轨迹方程为V+y2=16.取点C(2,0),则QM=QA-=5OC-AMOA故MC=IPA,AM+BM=MC+BMBC=36，当BMC共线时等号成立.故答案为：+=16;35【点睛】本题考查了轨迹方程,长度的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，取点C(2,0)证明相似是解题的关键.(2022广东梅州.高二月考)2 .希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点4B的距离之比为定值2UHI)的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以
3、他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系XQy中，A(-2,l),6(-2,4),点尸是满足；I=；的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为一；若点Q为抛物线丁=4x上的动点，。在N轴上的射影为“，则IF+PQ+QM的最小值为.【答案】(x+2)2+=41#-1+加【分析】设点尸坐标，根据题意写出关于X与N的关系式化简即可；利用抛物线的定义可知IQM=IQ月一1,进而可得(IPAl+PQ+QM)mi=AF-,即得.【详解】设点P(,y),A=I,.PAJ(X+2)2+(kI)二,丽=5=6+2)2+(D2=/(x+2)2+2=4.抛物线的焦点为点尸,由题意知尸(LO),|
4、。Wl=IaI-1,(P4+P+QM)m=(M+PQ+QP7)niin=APT=231)rF7=M.故答窠为：(x+2p+y2=4;i-l.(2022安徽黄山一模)3 .在平面上给定相异两点A,8,设点尸在同一平面上且满足品二%,当几0且ll时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.现有双曲线5-g=lS(U0),耳分别为双曲线的左、右焦点，A,B为双曲线虚轴的上、下端点，动点P满足震=2,dRS面积的最大值为4 .点M,N在双曲线上，且关于原点。对称，。是双曲线上一点，直线。例和QN的斜率满足kQM%N=3,则双曲线方程是；过6的直线与双
5、曲线右支交于C,D两点(其中。点在第一象限)，设点M、N分别为CFlF2、的内心，则M的范围是.【答案】x2-=I竽)【分析】设AQbB(O,-b),PHy),根据需j=2,求得W+(y一争=9)2,结合.PAB的最大面积得到从=3,再根据QW%n=3,得出/-1.=1,设边CGCE,尸伤上的切点分别为RST,根据内心的性质，得到MNLx轴，设直线8的倾斜角为。，在中，得到IMNI=A进而求得|网的取值范围.【详解】设40,圾B(O,-b),P(xiy),由题意知需=2,可得归B=2,即&+()，+力)2=2+()2,整理得V+(y-m2=冷2,可得圆心为(0耳),半径二?,1 4bX?y所以
6、小钻的最大面积为77x2力xr=4,解得=3,即二+j=l,2 3a3设(x,y),M(X,y),则N(-xl,-),则4+E=l,可得犬=3(4丁：),同理,2=%=Ia3a-a则=言小=流则降%=寻3(a2 -X2) 3(2 -xi2)22acr_o22一 3X -X1整理得=】，所以双曲线的方程为炉q=L如图所示，设边C%CK,K鸟上的切点分别为KS,7,则M,r横坐标相等，则?I=ICSbI耳M=I耳r,内Sl=I耳r,由闭TA玛I=2,即ICRI+1跃I-(ICS|+|SEI)=2,即ImITSq=2,即国7-|玛刀=2,即点M的横坐标为为,则T（%,0）,于是为+C-(C-Xo)=
7、2,可得XD=1,同样内心N的横坐标也为1,则MNJ_X轴，设直线8的倾斜角为内则NOKN=NMKO=90gAMll-一在MF1N,MN=(c-)tan-+tan(90-)=(c-a)(1+卷).22sin+cos-2=()J。J=J)sincos22由双曲线的方程，可得=l,b=L则C=JT/=2,2可得IMNl=，sm6又由直线8为双曲线右支上的点，且渐近线的斜率为2=6,倾斜角为60,a万可得6（）99O,即N-5-25/2【点睛】关键点点睛：（i）问解题的关键是根据阿氏圆的定义，得“满足IMq=（2）问解题的关键是当过点M的圆的切线与直线小平行且离直线FC近时，MC+F取得最小值.（2
8、022湖北武汉新洲区城关高中高二开学考试）5,阿波罗尼斯（古希腊数学家，公元前262-190年）的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（20,且女工1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆5+*4=1（。力0）,A,8为椭aIrMA圆的长轴端点，C,。为椭圆的短轴端点，动点/满足标=2,zMA8面积的最大值为6,AWCO面积的最小值为1,则椭圆的方程为【答案】+=92【分析】求得定点M的轨迹方程（X-手尸+丁=IL可得;2g=6,；x26x：a=l,解得。，b即得解.【
9、详解】设4（一。，0），83,0）,M（x,y）,动点M满足器=2,则J（X+/）2+y2=W（-a）2+y2,化简得*-，）2+y2=警zM4B面积的最大值为8,ZXMCQ面积的最小值为1,/.2=6,-2b-a=,解得/=,b=五,椭圆的方程为生+亡=192故答案为：+=l.92（2022河北衡水二中高二期中）|PQQ-BQ6.公元前三世纪，阿波罗尼斯在圆锥曲线论中明确给出了椭圆的一个基本性质:如图，过椭圆上任意一点P（不同于48）作长轴AB的垂线，垂足为。，则为常数匕若T，则该椭圆的离心率为【分析】设椭圆方程为AJ2F=1、P(X,y)并确定 4B 坐标，可得 I PQl=IylJAQl
10、=CHHlBQl=a-x,代入题设等式，结合椭圆参数的关系列方程求离心率即可.【详解】设椭圆方程为5+%=】且若尸(x,y),A(-。,0),8(4,0),则I?QI=IyI,IAQl=+x,8Q=-x,所以湍总11S?”而丁=宗（春），即=-2,7.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作圆锥曲线一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点用与两定点Q,尸的距离之比7才=4俱0,4工1）,义是一个常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ上.己知动点”的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为V+/=%定点分别为椭圆U*=l（bO）的右焦点尸与右顶点A,且椭圆
11、C的离心率为e=g（2022江苏高二单元测试）（2）如图，过右焦点尸斜率为左卜0）的直线/与椭圆C相交于8,D（点8在X轴上方），点S,T是椭圆C上异于B,。的两点，SF平分ABSD，TF平分NBTr.求扁的取值范围；将点S、F、T看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若aSF7外接圆的面积为蜉，求O直线/的方程.【答案】+=l;（2）仔1）；y=更X叵.86U722【分析】（1）方法1,利用特殊值法，求得椭圆方程，方法2,利用定义整理得一+八22%+书：2=0,再根据条件列式求得椭圆方程；方法3,利用定义进行整理，由留为常数，求得系数，得到椭圆方程；（2）首先由面积比值求得BSBFbf13渴=谒，令
12、描=则利用坐标表示向量，求得4=5-.，再求范围；由阿波罗尼斯圆定义知，S,T,尸在以B,。为定点得阿波罗尼斯圆上，BF Zr- BF 由几何关系列式得扁=G11_求得，再根据前一网求得小,y0,即可计算直线方程.【详解】方法特殊值法,令M（2,0）,信=置且K解得C?=?/=8,b2=a2-c2=6.椭圆C的方程为+!=】oO方法（2）设M（X,y）,由题意无才=A (常数),rfrrnza222x-2a(iC八整理得：X+y+=x+；=0,-lZ2-I2c-2a2八故，-J2_1-二0122,，又一=7，解得：a=22C=y/l2a2-c2,a2;=-4A2-I/,2=2-c2=6,椭圆C
13、的方程为三+1=1.oO方法(3)设(*,y),则f+y2=4.由题意MF焉为常数宕=/又鸿,解得：心8,?=2,故/Y椭圆C的方程为+=OO(2)由沁 .SDFSinZBSFsin NDSFBFDF,.-7=7（或由角平分线定理得）DSDFBF_.z令国=4，则8户=2尸力，设。6，%），则有3+4为2=24,又直线/的斜率20,贝IJXOeh2,), =2(t+l)-x0代入3/+4),2_24=0得:32(l+)-2xo2+42yo2-24=O,即(4+1乂5义一3内)=0,由知,sb tb bf珂一同一由阿波罗尼斯圆定义知,S,T,产在以8,。为定点得阿波罗尼斯圆上，设该圆圆心为G,半
14、径为，与直线/的另一个交点为N,111BFNBl1H11BFIr-叫皿日r-I1则伺DFNDf即DF2r+DFt所付：画一网os281_9.11-22又s*=s=1，故“运一.国一网=丁又IOFl=J(XO-)+为2=x0-y2j+6-x02=22-x0,11_11_5-y2x01_2-_25/2国一网=舸T网=3(2&一黑)一2fJ3(2逐一京J丁解得：%=一与=6jo2=-*，k=尢=,直线/的方程为y=4一，【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹问题，考查直线与椭圆的位置关系，以及外接圆，新定义的综合应用，属于难题，本题的关键是读懂题意，并根据几何关系进行消参，转化与化归，是本题的关键也是难点
15、.【针对训练】（2022安徽皖北联盟高二联考）8 .古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用面积为128的矩形ABCO截某圆锥得到椭圆汇，且r与矩形ABCQ的四边相切.设椭圆在平面直角坐标系中的方程为4 +a= l(b0),下列选项中满足题意的方程为(A.y2B.C.+ = 1256 16D.工+匕= 64 32【答案】A【分析】由题得必=32,再判断选项得解.【详解】解：矩形ABq)的四边与椭圆相切，则矩形的面积为为2b=128,所以必=32.只有选项A符合.故选：A(2022河南新蔡一
16、中高二月考)9 .古希腊数学家阿波罗尼斯的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数以%。且ZHl)的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆现有椭圆八4+=1(八0),48为椭圆了长轴的端点，C力为椭圆丁短轴的端Crb点、,E,尸分别为椭圆了的左右焦点，动点M满足后=2MAB面积的最大值为。面积的最小值为,则椭圆T的离心率为()A.亚B.同C.立D.在3322【答案】A【分析】由题可得动点M的轨迹方程(X-沙+/=铮，可得x2ax%=4#,-2b-c=2,即求.23【详解】设May),E(-c
17、,0),F(c,0),由偶上2，可得J(X+cf+y2=2(x-Cp+y2=2,化简得(V)2+),2=*面积的最大值为面积的最小值为,A-2a-c=46,-2b-c=2f2323:.e应.3故选：A.(2022北京八一中学高三期末)10.古希腊数学家阿波罗尼斯的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数%(%0且4WI)的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆，现有椭圆: +方= l(60),A、8为椭圆长轴的端点，C、。为椭MA圆短轴的端点，动点“满足砺=2.348的面积的最大值为8,S的
18、面积的最小值为1,则椭圆的离心率为.【答案】立2【分析】设点M(X,y),根据7万=2可得出点M的轨迹方程，根据已知条件可得出关于。、6的方程组，解出。、b的值，求出C的值，进而可得出椭圆的离心率的值.【详解】设点M(x,y),设点A(Y,0)、B(a,0)t由关=2可得IMAI=2MB,即J(+)2+y2=2j-)2+y2,整理可得f+V一与+。2=0,即卜一胡所以，点M的轨迹是以点(学,0)为圆心，以g为半径的圆，41442点M到X轴的距离的最大值为；明则4MAB的面积的最大值为L2xM=丝-=8,3233解得。=6；点M到y轴距离的最小值为5-=则AMS的面积的最小值为3=,可得力=运2
19、.c=万=逑，因此，椭圆的离心率为e=立.2a2故答案为：也.2【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：(1)定义法：通过已知条件列出方程组，求得。、C的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；(2)齐次式法：由已知条件得出关于、C的齐次方程，然后转化为关于-的方程求解；(3)特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.(2022广东广州高二期末)11.在平面上给定相异两点A,Bt点尸满足品=4,则当几0且41时，P点的轨迹是一个圆，我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知椭圆Wg=l(b0)的离心率a2be=*,A,B为椭圆的长轴端点，C,Z)为椭圆的短轴端点，动点P满足匿=3,若a%
20、B的面积的最大值为3,则aPCD面积的最小值为.【答案】1IpI【分析】先根据扁=3求出圆的方程，再由AaS的面积的最大值结合离心率求出。和6的值，进而求出.PCZ)面积的最小值.【详解】解：由题意，设A(TZ,0),W&0),尸(,y)因为侬=31.JyylPBl即J(x+4+y2=3gaf+y2两边平方整理得：(Ha)+f0)所以圆心为(54,)半径r=因为小/?的面积的最大值为313所以52”丁=3,解得：a=2因为椭圆H=I（稣b0）的离心率e=3ab2即=苴,所以C=Ga2由/=从+。2得：Zj=I1 ，53、53所以&PCD面积的最小值为：S=-2b-a-a=-2-2=l2 V44
21、J44故答案为：L【点睛】思路点睛：本题先根据已知的比例关系求出阿波罗尼斯圆的方程，再利用已知面积和离心率求出椭圆的方程，进而求得面积PCD的最值.（2022湖南益阳箴言中学高二月考）12 .阿波罗尼斯的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数&（k0且女工1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有BC,8。=6,新8=3而。,则以8。的面积最大值为,此时AC的长为.【答案】1225【分析】建立直角坐标系，根据条件将B点轨迹转化为阿氏圆的问题来解决.如上图所示，以BC的中点为原点，8C边
22、所在直线为X轴建立直角坐标系,因为BC=6,所以8(-3,0),C(3,0),设点A（x,y）,因为SinC=2sin8,由正弦定理可得：c=2b,即IM=2A。，所以：（x+31+y2=4（x-3丫+4已化简得：（x-5p+y?=%,且XH1,XH9,圆的位置如上图所示，圆心为。（5,0）,半径r=4,观察可得，三角形底边长BC不变的情况下，当A点位于圆心力的正上方时，-ABC的高最大，此时工A8C的面积最大，此时A点坐标为（5,4）,./8C的面积最大值为：64=12,所以AC=J（53）2+42=26故答案为：12；25.（2022浙江高三开学考试）13 .公元前3世纪，阿波罗尼奥斯在圆
23、锥曲线论中明确给出了椭圆和圆的一个基本性质：如图，过椭圆（或圆）上任意一点P（不同于A,B）作长轴（或直径）AB的一条垂线段,垂足为。，则仄堤百为常数八若此图形为圆,则A=;若女=p则此图形的离心率为.所以IPQf =M0忸 Ql【答案】1立2【分析】若图形为圆，根据相似三角形可解；当图形为椭圆时，建立坐标系，将问题坐标化，然后计算可得.【详解】若为圆，贝LABQ为直角三角形，IPQl18。因为PQSAB,所以，4P。SAPBQ,于是有场=访，当为图形为椭圆时，如图建立平面直角坐标，设椭圆方程为+1=1,点Pa几）,a2b2贝JAQ=m+4,忸=。一肛|尸0=，所以IAa忸=/一相2又4+=1
24、,得2=从一再，即归2=从一缚crbac2,2b2m2所以，MABa2-m2a22故答案为：1,也.2(2022.湖北荆门龙泉中学二模)14.历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯(公元前375年-325年)，大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线/表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆C的中心在坐标原点，焦点为6(-C,O),用(GO)(C0),由耳发出的光经椭圆两次反射后回到6经过的路程为8c.利用椭圆的光学性质解决以下
25、问题：(1)椭圆。的离心率为(2)点P是椭圆。上除顶点外的任意一点，椭圆在点P处的切线为/,每在/上的射影”在圆V+y2=8上，则椭圆C的方程为.【答案】-#0.5+4=,286【分析】(1)由题意得到关于AC的等式,然后结合离心率的定义即可确定椭圆的离心率;(2)由题意利用几何关系求得a,b的值即可求得椭圆方程.【详解】设椭圆C的长轴长为为30),则由尸/发出的光经椭圆两次反射后回到经过的路程为2+2t7=4=8c,从而e=；如图示：延长6/7/P,交于点尸。.在4户鸟州中,P乩LR)尸2,由反射角等于入射角，可得：/鸟尸”二N与P,则归玛I=IPKl且H为FJo中点.在A单中=；恒闻=；(
26、|阂+|啕)=；(附卜附|),贝IHP制+归周=4=2a,*a=22,c=2yh2=a2-c2=82=6,所以椭圆方程为t+E=LoO故答案为：I；=1.(2022北京朝阳高二期末)15.古希腊数学家阿波罗尼斯发现:平面内到两个定点A,8的距离之比为定值4Ul)的点的轨迹是圆.人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点A(TO),B(2,0),动点M满足借肃=g,记动点M的轨迹为曲线W,给出下列四个结论：曲线卬的方程为*+2)2+V=4；曲线W上存在点及，使得。到点(U)的距离为6；曲线W上存在点E,使得E到点A的距离大于到直线X=I的距离；曲线W上存在点F,使得尸到点8与点(-2,0)
27、的距离之和为8.其中所有正确结论的序号是.【答案】IMAI1【分析】设M(X,y),根据M满足扁=5,利用两点间距离公式化简整理，即可判断是否正确；由可知，圆上的点0到(1,1)的距离的范围为加-2,加+2,进而可判断是否正确;设E(%),根据题意可知/，卜。-1|,再根据E(0,%)在曲线W上，可得k07,化简可得媪+4o0,又靖=7。2_4/，所以-4xo+4x0O,即o,故假设不成立，故不正确；对于中,假设存在这样的点尸，使得F到点B与点(-2,0)的距离之和为8,则产在以点8与点(-2,0)为焦点，实轴长为8的椭圆上，即尸在椭圆上十亡=1上，易知椭圆1612f=1与曲线WNx+2f+y2=4有交点，故曲线W上存在点尸，使得尸到点B与1612点(-2,0)的距离之和为8；所以正确.故答案为：.
