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1、第Ol讲一锐角三角函数辅导讲义（教师版）主讲内容锐角三角函数特殊角的三角函数值第Ol讲锐角三角函数教师版知识精讲一.锐角三角函数的定义在口/BC中，ZC=90,我们把4的对边与斜边的比叫做4的正弦，记作sin4,即sin4=竺孚辿=巴；斜边C我们把4的邻边与斜边的比叫做4的余弦，记作cos%,即CoS力一曾边=；斜边C我们把4的对边与邻边的比叫做4的正切，记作tan/,即tan4=幺黑辿=巴.邻边b二.锐角三角函数的计算在直角三角形中利用三角函数的定义，结合勾股定理求解锐角三角函数值.j三点剖析一.考点：锐角三角函数概念，求解三角函数.二.重难点：锐角三角函数概念，求解三角函数.三.易错点：注
2、意锐角三角函数的名称和图形对应关系.例题1如图，在RtAABC中，ZBAC=90o,AD_LBC于点D,则下列结论不正确的是（）AsinB =二 sinB=-zz-D-SinB=-TT-【答案】C【解析】在RIZXABC中，ZBAC=90SinB=AC，VADBC,sinB=&,ABSinB=SinNDAC=Dc，综上，只有C不正确2如图所示，ABC的顶点是正方形网格的格点，则SinA的值为（）【答案】B【解析】如图：在B点正上方找点D,使BD=BC,连接CD交AB于O,根据网格的特点，CDAB,在RtZXAOC中，CO=12+12=2；AC=Jl2+32=同;则SinA=生=M=号AC105
3、故选：B.3如图，在AABC中，ZACB=90o,ZCAB=30o,与C重合，EF为折痕，则NACE的正弦值为（DDbsa（图）CA（图）CJ-11A.7B【答案】B【解析】.ABC中，ZACB=90o,ZBAC=30o,AC=Ja,BC=a；ABD是等边三角形,如图，将四边形ACBD折叠，使D3J-1C.12D.6设AB=2a,VABD是等边三角形，AD=AB=2a；设DE=EC=X,则AE=2a-X；在RsAEC中，由勾股定理，得：（2a-x）2+3e17AE=-,EC=-cr,44.八5AE1.SinZACE=-=.CE7故选：B._随练4如图，AB是。的直径，C是。上的点1SinNE的
4、值为（）JbeA.B.返22【答案】A【解析】连接oc,CE是。O切线，OCCE,YNA=30,ZBOC=2ZA=60o,I2=X2,解得X=ZQ；4,过点C作。的切线交AB的延长线于点E1若NA=30。，则C返d,返23王俞梓勋的专属讲义ZE=90o-NBoC=30,sinZE=sin30=.半径为1的弧交坐标轴于A,B两点，P是第上一点(不与A,B重合)，连接OP,设)C.(cosa,Sina)【答案】C【解析】过P作PQ_LOB,交OB于点Q,在Rt)PQ中，OP=I,ZPOQ=a,B.(cosa,D.(sina,cosa)cosa).*.sina=pQ,cosa=OPOQ，即PQ=Si
5、na,OQ=cosa,OP则P的坐标为(cos,sina),COsHBELCD ,垂足为点E.己知力C = 15,56如图，在RSABC中，NNCB=90。，D是AB边上的中点,(1)求线段CD的长；(2)求SinNQBE的值.25【解析】(I)C=15,CosJ=-I.,.cosJ=.,.AB=25,5AB5.JC8为直角三角形，。是边48的中点，.CO=12.5.(2)V BC2 = AB2 - AC2 = 4QQ ,二.设 DE = x, EB = y t/+x2AD = BD = CD = YlS ,：=625 V25 0-)(x + -)2+y =400;-.-J余弦例题7如图，点A
6、为Na边上的任意一点，作AC_LBC于点C,CD_LAB于点D,下列用线段比表示COSa的值，错误的是()ADAC【答案】C【解析】VACBC,CDAB,/.Z+ZBCD=ZACD+ZBCD,AZa=ZACD,只有选项C错误，符合题意.8如图，直径为10的。A经过点C(0,5)和点0(0,0),B是y轴右侧。A优弧上一点，则CoSNOBC的值为()【答案】【解析】连接CD,如图所示：YZCOD=90o,JCD为圆A的直径，即CD过圆心A,又/CBO与ZCDO为所对的圆周角,ZCBO=ZCDO,又YC(0,5),OC=5,在RtZXCDO中，CD=10,CO=5,根据勾股定理得：OD=VcD2-
7、OC2=53,：cosZCBO=CosZCDO=.CDIO2故选BSinC=-sinC = = AC = AB = 4 = x25【答案】飞一SinC=AC=Ad=7、X【解析】过点A做/CBC交BC于D,设/O=,则AC5,即SillC,由勾股定理得，在R“DB中，DB=JAB2AD2=y5x2-x2=2x,_随练10如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=IO,AB=12,以BC为直径作。交AB于点D,交AC于点G,DFlAC,垂足为F,交CB的延长线于点E.(1)求证：直线EF是。的切线;(2)求COSNE的值.【答案】(1)见解析(1)如图方法L连接OD、CD.:BC是直径，CDAB.V
8、AC=BC.D是AB的中点.0为CB的中点，0DAC.VDFAC,0DEF.JEF是圆。的切线.方法2：VAC=BC,，ZA=ZABC,VOB=OD,ZDBO=ZBDO,ZA+ZADF=90o：ZEDB+ZBDO=ZA+ZADF=90.即NEDO=90,ODEDEF是圆。的切线.(2)连BG.BC是直径，AZBDC=90.CD=4AC1-AD2=8.ABCD 96 48BG*.*ABCD=2Sabc=ACBG,AC105/14：,CG=JBC2-BG2=VBGAC,DFAC,：BG/7EF.AZE=ZCBG,.cosNE=cosZCBG=BC25正切11如图，力、B、。三点在正方形网格线的交点
9、处，若将绕着点/逆时针旋转得到46C,则tand的值为()图1bIA.-2【答案】B【解析】暂无解析12如图，已知AD是等腰4ABC底边上的高，且SinB=4点E在AC上且AE：EC=2:3.则tanNADE等于【解析】如图.作EFCD交AD于F点.；设AD=4x,则AC=5x,CD=3x,7AE_AF_AD-DF_2ECzzDFizDF=3FD=,AF=炉.557AFEFZEF=心.5，tanNADE=EFDF2故选：D.13如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O,分别过点C、D作CEBD,DEAC,CE和DE交于点E.（1）求证：四边形ODEC是矩形；（2）当NADB=60。，AD=
10、2J时，求NEAD的正切值.【答案】（1）见解析（2）昱7【解析】（1）证明：VCE/7BD,DEAC,，四边形ODEC是平行四边形.又Y菱形ABCD,ACBD,：ZDOC=90o.四边形ODEC是矩形.(2)如图，过点E作EF_LAD,交AD的延长线于F.VACBD,ZADB=60o,AD=23,0D=3,A0=0C=3.四边形ODEC是矩形，DE=0C=3,ZODE=90o.又,/ZADO+ZODE+ZEDF=180,：NEDF=30.ftRtDEF,ZF=90o,ZEDF=30o,1 3AEF=-DE=-.2 2n3J.DF=2在RsAFE中，ZDFE=90o,FFEFAD+ DF/.t
11、anZEAD=AF随练14矩形ABCD中，AB=3,AD=5,点E在BC边上，AADE是以AD为一腰的等腰三角形，则tanNCDE=【答案】士或工33【解析】在矩形ABCD中，AB=CD=3,BC=AD=5,NC=NB=90。，当DE=DA=5时，如图1所示：.CE=yDE2-CD2=4,CE4AtanZCDE=-=-;CD3当AE=AD=5时，BEJAE2-AB2=4,CE=BC-BE=LCE1AtanZCDE=-=-;CD315如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，BCE沿BE折叠为aBFE,点F落在AD上.(1)求证：ZABFsaDFE;(2)若SinNDFE=1，求tanNEBC的值
12、.【解析】3）证明：四边形ABCD是矩形NA=ND=NC=90,YBCE沿BE折叠为aBFE,ZBFE=ZC=90o,ZAFB+ZDFE=I80o-ZBFE=90o,又.NAFB+NABF=90,ZABF=ZDFe,ABFDFE,（2）解：在RtADEF中，SinNDFE=DfrEF3设DE=a,EF=3a,DF=J，VBCE沿BE折叠为ABFE,CE=EF=3a,CD=DE+CE=4a,AB=4a,NEBC=NEBF,又由（1）ABFDFE,AFg=_DT2V2a=V2,BFAB4a-2AtanZEBF=FE=&，BF2tanZ.EBC=tanZ.EBF二特殊角的三角函数值/知识精讲一.特殊
13、角的三角函数角三角曲收、30*4560SinQ2五2OMa互22LMicrI)三点剖析一.考点：特殊角三角函数值的运算二.重难点：熟记特殊角三角函数值，熟练计算含30。、45。、60。角的三角函数运算式三.易错点：1 .sin260o=sin60osin60o=(sin60o)2；sin2600+cos260o=l为任意角)2 .为了避免记忆错误，做题时最好用三角形推导一下.H30。例题16计算(1)-2+12-2cos30+(万一3.14)【答案】53【解析】原式=22+26-2、巫+1=4+26-/+1=5+6217求下列各式的值：(1)3sin300-4cos300+3sin30otan
14、30o(2)2cos30o-4sin230+!tan30(3) COS30。11 +sin230ocos30+tan30o【答案】(1)-3.(2)23-l.(3)0*【解析】由特殊角三角函数值sin30。，cos30=-,tan30=223(1)Jgt=3-4立+3X与一62223(2)原式=2立-4x(+4-=3-l+3=23-l.22)&T3(3) 原式=-Z-1 2323.-F=产=O3355卜2 3随练18在用A45C中，ZC=90SAB=IBCt先给出下列结论中：OsinJ=-；cos8=,22tan5=3,其中正确的结论是(只需填上正确结论的序号).【答案】【解析】/在RZA4B
15、C中，NC=90,AB=2BC.sin4=立，错误.AB2.ZJ=30a.tanA=,正确.N8=60:.cos=,正确2.IanB=VJ，正确.20先化简，再求值:2x 1x* 2-l x + 1 其中 X = 2 tan 450 . x-1452x X + 1 X 2x X X【解析】原式=【答案】2(X-I)(X+1)1x-1x-1x-1x-1当x=2tan45。时，则原式=221已知是锐角，且sin(+15)=等，i+7-4cosa-(-3.14)0+tana+的值.【答案】3【解析】因sin(a+15D=3,则。+15。=60。，故a=45。.2所以原式=20-4、也-1+1+3=3
16、2O随练22已知是锐角，若tan(+150)=1,则Gtan%+。SaI-Sina【答案】竽【解析】Vtan(a+15o)=l.,a=302昱原式S愕+y手痒然260例题23计算下列各式的值：(1 ) sin260o+ cos60o-tan45o/,、23sin60o tan60o 33 + tan 450 2 sin 30o 2cos60o(2) 2cos30 - tan45-(l-tan60o)2【答案】(1)-;(2)0；(3)4【解析】(1)A=-+-=-424(2)原式=G-J(TJ-I)=OJ+3=223-AAa(3)原式=L2_9+9=T_3+l11+124在J8C中，/4、/8
17、均为锐角，fitan-3+(2sin/l-3)2=0,试确定A48C的形状.【答案】等边三角形【解析】由卜anB-VJ卜（2Sin4-6）2=0得，tanB=-73,sinA=.所以N8=60。，乙4=60。.则A48C为等边三角形.25如图，MBC是等边三角形，P是N/18C的平分线上的一点，PELHB于点E,线段BP的垂直平分线交Be于点尸，垂足为点Q.若BF=2,则PE的长为.【答案】3【解析】.AABC是等边三角形.P是ZABC的平分线BD上的一点,.NFBQ=/EBP=邓.在直角帖FQ中,BQ=BFCOSNFBQ=2与=小,又.0尸是BP的垂直平分线，.8P=280=2J.直角BPE
18、中，NEBP=30。P=BP=3.随练26课外活动小组测量学校旗杆的高度.如图，当太阳光线与地面成30。角时，测得旗杆48在地面上的影长8C为24m,那么旗杆AB的高度约是（）A. 12/hB, 83w【答案】B解析】AB = tan 30oBC = 83C. 243wD. 24m27 已知 Ct 是锐角，若 tan( +15) = 1,则 JJtan? +.I-Sina【答案】矩3叵r =旦_1332【解析】丁 tan(a +15o) = 1/. a = 30.原式=TJX )+-28 在48C 中，若 cos4-+(l-tan8)2 =0 ,贝IJNC =.2【答案】75。【解析】 由 C
19、oSN-L+(l-tan8)2 =0 ,得cos/= LtanB = I ./% = 60。,NB = 45。 ZC = 75.2229 在四JBC 中，ZC = 90o, AB = 2BC,先给出下列结论中：sinJ = -；cos8 =； tan=； 223tan5 = 3 ,其中正确的结论是 (只需填上正确结论的序号).【答案】【解析】/ 在用&48。中，ZC = 90o, AB = IBC :. sinJ = -=,错误.AB 2:.Z.A - 30o .,. tan A -,正确./8 = 60。. cosB = 正确. tan8 =百，正确. 3230计算下列各式:(3)(4)co
20、s 60，tan 450 + sm 45sin 30cos2 45o -tan 45o + 3 tan 30o - 23 sin 30o3tan60o 一(%一 2016 )0+8-1-2 + (-)2(cos60o, (-l)2,6 + 2-8-(sin450-1)0【答案】【解析】(1)I；(2)；(3)12+2；(4)2(1)原式=1-1+1=1(2)(3)(4)原式=-l + 3 - - 2 石 = - 2322j=33-l + 22-2+l + 9 = 12 + 2j=2l + 22-2-yl = 22-2(2-l) = 231 规定sin(-S) = SinaCOS尸-SinSCo
21、S ,则Sinl5。= 答案近二立4【解析】 令 = 45。,夕= 30。则 sin(-夕)= sin(45-30半一;必: .32 先化简再求值：(二一- l)22x + 1 ,其中 X= tan60。-1. X + 2X -4【答案】3-l解析原式=f 2)(；2)=三x + 2(x + l)x + 1当X = 6一 1 时，原式=厂3 =-(1 - 6) = Q-I333 在AZBC 中， cos/4-i +(l-tan)2 = 0 ,则NC 的度数是()2A.45oB.60oC.75o【答案】C【解析】由题意，得cos4 = 1, tan5 = 1 2/. ZJ = 60 , /8 =
22、 45,： ZC = 180o-ZJ-Z5 = l80。-60-45 = 75 .D.105o 15。O例题34 如图，/0 = 90。，BC = Io , NCBD = 30。，4 = 15。.(1 )求Co的长；(2 )求tan/的值.【答案】(1)5(2) 2-3解析】 该题考查的是利用三角函数解直角三角形.CD(1 )在 RIABOC 中，ZP = 90o, ZC5P = 30o , , sin 30 = .BC CD = Csin30o = 10- = 5 2 分222(2)在RtBDC中，NO=90o,ZCBD=30ozvcos300=BC；BD=BCcos30=10当=56.ZC
23、BD=30o,=150A=ZACB.AB=CB=W.ERtCJD,tanA=!-f=2-6.AD10+532+y3随练35规定sin(-夕)=sinacos夕一Sin夕COSa,则Sinl50=【答案叵述4【解析】令=45y=30则sin(-)=sin(45-30)=孝X孝=一一22.5。O例题36如图，在等腰直角三角形心J6C中，ZC=90o,AC=BC=2,AD2?ZCAB,求Nc4。的正切值.【答案】2-l【解析】如图所示，过点。作Z)E_L4B于E则ZMa=A4EO设。E=X则CO=OE=E6=x.BD=2x.C=BC=(2+l)x.tanACAD=/二=2-lAC(2+l)xO随练拓
24、展37如图，28是。的直径，CO是弦，且CRM8,BC=6,AC=S,那么SinN/8。的值是（）DA.-B.-C.-D.-3455【答案】D【解析】由垂径定理可知，ABD=ZABC,sinZABD=sinAACD.8为。的直径，N4C5=90。，：AB=Jac?+BC?=10./.sinZJBC=-=-.故选DAB538如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DE上，点A,D,G在同一直线上，且AD=3,DE=L连接AC,CG,AE,并延长AE交CG于点H.(1)求SinNEAC的值.(2)求线段AH的长.(2)I10【解析】(1)作EM_LAC于M.Y四边形ABCD是正
25、方形，ZADC=90o,AD=DC=3,ZDCA=45o,在RTZXADE中，VZADE=90o,AD=3,DE=I,AE=AD2+DE2=IO，在RTZEMC中，VZEMC=90o,ZECM=45o,EC=2,.EM=CM=，在RTZXAEM中，sinZEAM=-=-=.AE105(2)在aGDC和aEDA中，DG=DEZGDC=ZEDaDC=DAGDCEDA,ZGCD=ZEaD,GC=AE=VlO,VZEHC=ZEDA=90o,AHGC,VSagc=-AGDC=-GCAH,22.143=-10AH,22AH=10.39在RSABC中，NC=90。，AB=I3,BC=5,求SinA,cosA
26、,tanA.【答案】SinA=9,CoSA=2，tanA=131312【解析】由勾股定理得，AC=/AB2-BC2=13757=12,CAJJl2CosAAB13,a_BC_5td11AAC12【答案】D40如图延长直角8C的斜边AB到点D,使BD=4B,连接CD,若CotNBCD=3,则tan4的值是（）C.9dI则 图.=.dAD AE【解析】解：如图，做。EJ./C于E,那么BCDE,MBCMDE即丝=”AB+BDAC+CE*又由力8=60,因此NC=CE.根据BCAC,Z.BCE=90o,tanZ.DCE=cot/.EDC=cotZBCD=3,直角三角形DCE中，tanNZ)CE=匹=
27、3,CE直角三角形ADE中，tanNN=匹=匹=3,AE2CE2故选D.41矩形ABCD中，AB=4,AD=3,以AB为直径在矩形内作半圆.DE切。O于点E(如图)，则tanNCDF的值为.【答案】12【解析】根据矩形的面积得NA=NB=NC=90。，CD=AB=4,AD=BC=3,则可判断AD、BC与半圆相切，根据切线长定理得到DA=DE=3,BF=EF,设CF=x,则BF=EF=3-x,在RtZDCF中利用勾股定理得至J2+4?=(6-x)2,解得x=g,然后根据正切的定义求解.解：四边形ABCD为矩形，ZA=ZB=ZC=90o,CD=AB=4,AD=BC=3,VAB为直径，ADBC与半圆
28、相切，而DE切。O于点E,DA=DE=3,BF=EF,设CF=x,则BF=EF=3-x,DF=DE+EF=6-x,在RtDCF中，YCF2+CD2=DF2,.*.x2+42=(6-x)2,解得x=,5/.tanZCDF=.41242如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=2,BC=5,CD=3,则tanC=,【解析】连接BD,E、F分别是AB、AD的中点,EF7BD,且等于BD,2BD=4,VBD=4,BC=5,CD=3,BDC是直角三角形,JtanC=BIj=4，CD3故答案为：&43如图，ZABC中，ADBC,垂足是D,若BC=14,AD=12,tanZBAD=-,
29、求SinC的值.4【答案】13【解析】在宜角aABD中，tanNBAD=处=2AD4BD=ADtanZBAD=12-=9,4ACD=BC-BD=14-9=5,/.AC=AD2+CD2=122+52=13,.CAD12AC1344如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点B作AC的平行线交DC的延长线于点E.(1)求证：BD=BE;(2)若BE=IO,CE=6,连接OE,求tan/OED的值.(1)见解析【答案】(2)- 9【解析】AC=BD,(1) V四边形ABCD是矩形, ABCD,XVBE/AC,四边形ABEC是平行四边形，AC=BE,BD=BE;(2)如图，过点O作OF_LCD
30、于点F,四边形ABCD是矩形，ZBCD=90o.VBE=BD=IO,CD=CE=6.同理，可得CF=DF=LCD=3,2EF=9.在直角aBCE中，由勾股定理可得：BC=8.VOB=OD,AOF为aBCD的中位线，0F=-BC=4,2OF4EF 9；在直角OEF中，tanZOED=-.45若为锐角，且Sina是方程2/+3x-2=O的一个根，则COSa=()A.-2【答案】C解析原方程可化为(2x一I)(X+2)=0.,.2x-l=0cx+2=0.X=!或一22.是锐角.Sina=L2., CoSa =则a=3(246若为锐角，且Sina是方程2-+3x-2=0的一个根，则COSa=().A1
31、BYCT(222【答案】C【解析】原方程可化为(2x-l)(x+2)=0.2x-l=0或x+2=0.x=或一22,.a是锐角/.Sina=L则a=30o.,.cosa=.2247计算(-2)2+3(tan60o-1)+(-)-2-8tan45。+(万一3.14)0.【答案】12-6-2应【解析】原式=4+3(3-1)+4-8x11=4+3-+4-25+1=12-枢-2应.48如图，ND=90,BC=IO,NeBo=30,NN=15.(1)求CO的长；(2)求tan4的值.V sin 30 = . BC(2)在 RtABQC 中，Nz) = 90。, NC8。= 30。，. cos 30BD正【
32、答案】5；(2)2-3【解析】(I)在即ABOC中，NO=90。,NC8。=30。，:.CD=BCsin30o=10-=5.2住5人.NCBD=300，Z4=15oNA=NACB.AB=CB=IO.在 RSC40 中,tan A =CD 5110 + 53 - 2 + 349如图，在等腰直角三角形RfANBC中，ZC=90o,AC=BC=2,49平分NC48,求Nej。的正切值.【答案】2-l【解析】如图所示，过点。作。E_L48于E,则&4CO主&4EO设。E=X则CD=DE=EB=x:.BJD=0x:.AC=BC=(2+l)x.tanZCAD=-=-=2-1.)AC(2+1)50如图所示，
33、以O为圆心，任意长为半径画弧.与射线OM相交于点力,再以/为圆心，04为半径画弧，两弧相较于点8,画射线08,则COSNJOB的值等于.【答案】1连接AB,由图可知：OA=OB,OA=AB.OA=OB=AB,即加%8为等边三角形.ZJOB=60.cos/.AOB=cos600=251在心M6C中，ZC=90,且5也30=,5由45=也，5由60=且，cos300=-,cos45=,cos600=-;222222观察上述等式，请你写出正弦函数值与余弦函数值之间的等量关系式；因为NX与互余，所以请你写出正弦函数与余弦函数一般关系式.【答案】sin30=cos600=sin45v=cos45u=si
34、n60=cos30o=；/.B；SinNN=CoS（90-4）,222v7cosZA-sin（9（T-ZJ）.【解析】从题中观察出：sin30=cos60=sin45c=cos450=-,sin60=cos30=；222vZJ与Z.B互余.,.Sinz=CoS（90-ZJ）,CoSZJ=Sin（90-4）.52如图将正方形纸片对折折痕为El-展开后继续折叠使点A落在EF上折痕为GB则NABG的正切值是.【答案】2-3【解析】该题考查的是特殊角的应用.设正方形边长为4,AG=X,将正方形纸片对折,折痕为EF.*.BF=2,AB=4,GE=2xl：.AF=yAB2-BF2=23,J=4-23,在RthAGE中，AE2+GE2=AG2,(4-23)2+(2-x)2=x2,解得：=8-43,ZABG的正切值是：tanZABG=i拽=2-6.AB419计算：(；尸-(J一2)0+4cos45。-人.【答案】2解析(),-(3-2)0+4cos45o-瓜=3-l+4-222=2.
