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1、本科毕业论文（20届）级数敛散性判定方法的研究所在学院专业班级数学与应用数学学生姓名学号指导教师职称完成日期年月要：级数是研究函数性质及进行数值计算的有力工具，并且在其他学科以及生活中的应用也很广泛，但是对于数项级数的敛散性的判定较难.因此本文的重点是综述级数敛散性的判定方法，主要有KUmmer判别法，奇偶项判别法，阶估计判别法等。关键词：级数；敛散性；判定法TheStudyontheJudgmentofConvergenceandDivergenceofSeriesAbstract：Seriesisusedforresearchingthefunctions,properties,andis
2、goodfornumbercalculation,andseriesiswidelyusedinotherdisciplinesandourlife.Whereas,itsdifficulttojudgetheconvergenceanddivergenceofseries,so,thisarticlefocusonthesummarizingthejudgmentsoftheconvergenceanddivergenceofseries-MainlyhastheKummerJudgment,theParityJudgment,theOderEstimatesJudgment,andsoon
3、.Keywords：Series;Convergence;Judgment1引言12级数的概念及相关性质13数项级数的敛散性判别法及其应用33.1 P级数判别法33.2 2Kummer判另IJ法53.3 一类正项级数收敛判断的推广73.4 奇偶项判别法83.5 优拉高判别法113.6 达朗贝尔、拉贝、对数、比值判别法的推广143.7 阶估计判别法183.8 一般项级数的敛散性判别法203.9 数项级数敛散性判别的一些技巧223.9.1 9.1利用不等式法223.9.2 利用泰勒展式法223.9.3 拆项法234函数项级数的敛散性判别法23致谢错误!未定义书签。参考文献251引言级数是研究函数性
4、质及进行数值计算的有力工具，并且在其他学科以及生活中的应用也很广泛，但是对于级数的敛散性的判定较难.因此本文重点对数项级数的敛散性进行讨论.人们很早以前其实就已经接触到无穷级数了.在中国古代的庄子天下中所说的“庄子切棒”问题：“一尺之锤，日取一半，万世不竭”中所含有的极限思想，用数学形式表达出来就是无穷级数.虽然在古希腊的数学中出现了无穷级数，但是由于希腊人惧怕无穷，因此总是用有限和代替无穷和，近代数学正是在突破这种禁忌的基础上发展起来的.芝诺(Zen。ofEIea)的二分法涉及了把Illl1分解成无穷级数一+r+-+-+的形式.亚里士多德(AriStOtlC)也认为这种无穷级2222324数
5、的和存在，因为这是公比小于1的几何级数.阿基米德(ArChinledeS)在他的抛物线图形求积法一书中，用几何级数求出了抛物线的弓形面积.在十五、十六世纪，对无穷级数的研究以休赛特和奥雷姆的方式进行，即认为几何级数有两种可能性，当公比大于1时，无穷几何级数的和是无穷；当公比小于1时，无穷级数的和是有限的.但是由于局限于文字叙述和几何方法，因此没取得重大进展.尽管如此，中世纪的这种承认无限的思潮仍旧为十七世纪关于无穷级数与无限过程的重要工作开辟了道路.2级数的概念及相关性质定义给定一个数列“,对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式U+么+(1)称为数项级数或无穷级数(也常简称级数)，其中，4称
6、为数项级数(1)的通项.00数项级数(1)也通常写作：“，或简单写作数项级数(1)的前项和，记为00Sn=4=4+4+，(2)A=I定义2口给定一个定义在数集上的函数列4,(X),表达式+&(X)+Un(X)+,XD(3)称为定义在上的函数项级数，简记为(Nq,()/2=1Sn（X）=ZUk（%）,XeD,n=1,2,（4）=1为函数项级数（3）的部分和数列.定义3若数项级数（1）的部分和数列S收敛于S（bjIimS=S）,则称数项级数（1）收敛，称S为数项级数（1）的和，记为Su+u+或S=）、u.12nn若s,发散，则称数项级数（1）是发散的.定义4闭若X。夕，数项级数q（0）+4（）+（
7、/）+C）收敛，即当7?OO时部分和S.（x0）=Zq（XO）的极限存在，则称级数（3）在点Xo收A=I敛，怎称为级数（3）的收敛点.若级数（5）发散，则称级数（3）在点X。发散.若级数（3）在后的某个子集D上每点都收敛，则称级数（3）在D上收敛.级数（3）在D上每一点X与其所对应的数项级数（5）的和S（X）构成一个定义在上的函数，称为级数（3）的和函数，并写作S（X）=4+U2+Un（X）+,xD即IimSn（x）=S（x）,X由此可见，函数项级数（3）的收敛性等价于它的部分和函数列（4）的收敛性.性质1同设级数纥与女都收敛，且其和分别为S与S,则/7=10=ICO（1）a,R,级数Z（a纥
8、+/2）也收敛，且有n=l0088（+儆）=GLari+Bfbii=aS+尸S；=1=1/?=1OOOO（2）若ab（nN）,则，aV?,nn+/nn=1=l性质2在一个级数中，任意删去、添加或改变有限项，该级数的敛散性不变.性质3间设级数a收敛，则必有IimH=0./J=I8但是Iinla=0不是级数a收敛的充分条件，如调和级数./?=!3数项级数的敛散性判别法及其应用目前:比较为我们所熟悉的判定级数敛散性的方法主要有定义法、柯西（CaUChy）法、比较法、比式法、根式法以及利用性质来判定等等，然而，以上各种方法在不同程度上都有着各自的局限性,无法得到很广泛的应用，为了弥补上述不足，本文通过
9、查阅各种资料，特整理出了一些比较新的级数敛散性的判别法，下面逐一介绍.3.1 P级数判别法0级数判别法是通过建立正项级数与夕级数之间的一种关系，由）级数的敛散性来判断该正项级数的敛散性的方法.夕级数判别法1卜】设Z（为一正项级数，z（p0）为夕级数，1. 3N,当M时，U1时，正项级数，u收敛.00nP/心一n2. 3/V,当M时.，U.则当0PU发散.夕级数判别法2设E为一正项级数，Ko）为P级数，且Iimnpu=X,则70on1.当0X1时，正项级数Z4收敛.2.当04+8且0Pl,J由夕级数判别法2知，级数Z2+ 1n + T?2 + 1收敛.十2/7+1法2y为一正项级数,Jn+/?+
10、12/7+12n+2n400,。=62一Z?且存在某自然数nnnn_/;+10及常数4,L当“时，有9Nk0,级数为收敛./?=1、1.2.当M时，有CO,且Iin=+8，则级数a发散.0n7ocJAJAyDk-1在Kummer判别法1的基础上可得到Kummer判别法2.8Kummer判别法2设Z4为正项级数，且存在某自然数A及正数4,/7=11.当4时,成立不等式1、a+1a)nZn6,则级数a发散.n+12.当M时，Z成立不等式/71al+1a)(1+)S则级数a收敛.n+1+k念在Kummor判别法2的基础上可得到下面著名的拉贝(Raabe)判别法.8拉贝（Raabe）判别法设/2=1Z
11、为正项级数，且存在某自然数及常数,1.当凡时，成立不等式、a1+1ajn/0NO时，成立不等式a+1a,n/0L则级数Z2,收敛/?=1其中，KUmmOr判别法1虽是比RaabC判别法和比式判别法更广泛更一般的判别法，但是由于它的过程是无限的，因而具有一定的局限性.8例4用Kummer判别法判断级数n=l(2)在S=1,3时的敛散性.a解：若用比式判别法，则对于S=1,3,都有lim3=L所以无法用比式判别法-+82n来判别原级数的敛散性.下用Raabe判别法.2 4（2+2）13（2+1）1,3（21）2,4（2，）a则3an2/7+12/7+2/771-、aan/771-所以原级数在S1时
12、发散2.2n2/7/2+1万+co（2/7+1）（2+2）J13（2-1）（2）J1-2/7+ 1+18 + 7）（2/7+ 2）3所以原级数在S=3时收敛.3.3一类正项级数收敛判断的推广这部分内容主要从一类正项级数rn=ian n=i之间的收敛的关系+aLn出发，得出一些新的正项级数敛散性判别法.推广法1网若R41,Trn为收敛的正项级数,8由推广法2可知，正项级数E/7=1F+牙+.+4收敛.3.4奇偶项判别法一般而言，利用传统的比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法和高斯判别法等来判断级、1nT、Xn数ZSXy和z的敛散性都显得异常困难，由此，下面给出了几个新的判别法来解=in决这项难
13、题.主要是利用偶数项、奇数项与一般项的关系：a,ypa.a,y1qa(p+q0,+1)来实现.奇偶项判别法1如果对于充分大的，a0,a9Spa,a.&qa豆n2n,n2/7+1,+1OOp+q0,a,pa,a.qa,且n2n4n2/?+l/2+1OOP+Q1,那么级数Z4发散，其中夕，。0.=1奇偶项判别法3冈（极限形式）设d0IIim=p（可为+）,n&naIinI-2l-q（可为+o）,OO1 .若0+01,则Z发散;=lOO3 .若夕+。=L则Eq,可能收敛也可能发散.n=l奇偶项判别法3实际是奇偶项判别法2的极限形式.试判断级数E（Xn.0）的敛散性.解：由斯特林公式：n!=2nF）e
14、屈（0Oxe1x-同理可得0 X e1X -0,q-Iim-,t2+,从而有:（1）当00）收(2)当X1二一时,ep+q=亚1,此时级数XSXy(X0)发散;/?=1n(3)当X1一时,e+oo8、1fj1,此时级数ZLX)”(2=n.0）发散.Q试判断级数0,S0）的敛散性.解:O,a/p-Iim=IimnnnXn(2ns=Iim-n2525+,aq=Iim-aj2a+1=Iimn2/2+1,A=Iim70(2+1)/+1)xnO,2s+,(1)当0V X 1 时，p + q = 0,= ls0)收,此时级数1,则 0)发散.单调，且从而得到:敛;(2)当x=l时，,+q=-,若0vsl8
15、O0Y发散；若s=l,则0+q=l,此时级数一发散；若SMnMnp+q1时，。+。=+1,此时级数(X0,S3.5优拉高判别法我们知道，对于判别正项级数敛散性的拉贝判别法和高斯判别法是建立在数列U当77OO时，一有一定的渐进式的基础上的，如果破坏了这种单调性，那么这两种判别法将无效.基于此，下面给出的判别法将克服上述不足，并称这类判别法为优拉高判别法.001= ,那么u .判别法1网对于正项级数，如果IiIIn-8=l00判别法2对于正项级数Z4,如果存在常数1及N,当时，有/7=1则级数收敛；如果存在“，使得当NHJ-,有nInn及N,当?N时，有=lJInnI-nC1亚丁一,InJInIn
16、7?则级数收敛；如果存在/V,使得当N时，有1,InnInz/JInin/2则级数发散.OC判别法4叫对于正项级数Z如果/?=1Inn 1 nInIn n则当/1时，级数收敛;当，1时,级数收敛，当二1时,级数发散.当=1时,令n=2,3,4,n不妨设2In7?(),则)In/7+（充分大）In（充分大）所以当充分大以后,1-Inn8由优拉高判别法2知，级数E=2发散,从而级数OO=23.6达朗贝尔、拉贝、对数、比值判别法的推广除上述判断级数敛散性的方法外，我们还有下述方法.8达朗贝尔判别法的推广凹对于正项级数“，若存在某一正整数夕，有/2=1IimOO那么：I.当TIfbh级数Z4发散./?
17、=1Iim例9判断级数S廿/7= 1!的敛散性.2解：令。=2,由于4,2H723+ (-1)2+22n3+ Iim7CC23+ =Iim 70022rL因而原级数收敛.当夕=1时，上述定理即为达朗贝尔判别法.拉贝判别法的推广回8对于正项级数EuJ若存在某一非负整数夕，有/2=1/Iim1 -20CUn+P则，1.当r 1时,00级数Z4发散./?=1例10判断级数CO的敛散性.、3解：ZV为一正项级数，令夕=2,则72=155:.Iim1 -200、%+2=Iimpo5n+23(1 3Iim 1 -Z7052J空1,25接着看对数判别法的推广形式.OC对数判别法的推广罔对于正项级数ZUj若存
18、在某一非负整数夕，有/7=1InIim72OOInn8则，1.当T1）的敛散性.解：令0=0,YUnInIn(lnIn丫”/.=InIn(in2),InnInnL对V。O,37o,使得当时，InIn(In1+。，因此原级数收敛.比值判别法的推广网设E%为正项级数，4单调递减，g(x)为满足=1g(x)x(x1,此)且单调递增的整系数多项式，如果(1)存在1,+oo)上的单调递减的连续可微函数F(x),有广=1, 2, 3,),使得g(x)r(g(x)为单调函数;(2)Iim gt一87)7an则，1.当/1时，级数Z4发散；/7=1003 .当/=1时，级数4可能收敛，也可能发散.=1、1例1
19、2判断级数1的敛散性.=2Jn I In 7? IF(X)=riF在P+Oeo满足:7X(InXj（1）单调递减；（2）连续可微；（3）f（77）=ai,（77=1,2,3,）,二y2InXIn2x)且，）2n(In二Iim2“TOO2n(In 2 J8从而级数Z =23.7 阶估计判别法阶估计法是指通过估计级数的通项的阶，来简化级数的敛散性的判定法，它可以不受级数的通项的繁琐程度的影响，从而为级数敛散性的判定提供了一种比较简便的方法.下面来认识一下这种方法.8阶估计判别法11，4）设正项级数EU1,=1(1)如果nnp11J（夕81),则级数Z 4收敛;/7 = 1(2)如果n81),则级数
20、Z 发散./J = I阶估计判别法2闾设U,为非负数，则nn88（1）当U,=O（匕）时，级数Z4与Z匕,敛散性一致;/2=1/2=1(2)当U= O V 时，如果V收敛，那么y u收敛;nnn-n-(3)当UN匕J时，如果Z匕J发散，那么ZUn发散./7=1/?=!T、2门9例13用阶估计法来判断级数ZI ”=1 7732 +=的敛散性.22/7-9/ -I23解：,一1/ - 73t7 + 2/32/7-9ny3n + 22/7 9I与级数 一下具有相同的敛散性,后者为P级数, 37 + 2=i #且此时例14解:2/7 9知其发散，从而级数 /也发散.n=】y3n + 28用阶估计法判断
21、正项级数级数ZU1的敛散性.已知对任意自然数，有/7=1】n u 1 Iim=L 1 - cos 一n/11(77 n2n21 rfu:.Iim700JT，U1- cos Iim=12n2+pOO当2+夕1时，即0一1时，级数Z收敛；=18当2+01时，即。一1时，级数Zu,发散.n=以上介绍的是正项级数的敛散性判别法，对于一般项级数的敛散性，我们将讨论以下方法：3.8 一般项级数的敛散性判别法对于任意的数项级数Z，若对它的项进行某种重组，级数的敛散性会收到一定的影响./7=1请看下面的判别法：重组判别法1同当不改变级数项的排序，只对级数的项加括号来进行重组，那么：1 .若原级数是收敛的，则重
22、组后的级数也是收敛的，并且它的和不变.2 .若原级数的敛散性是未知的，则重组后的级数即使是收敛的，原级数的敛散性仍不能确定.3 .若重组后的级数是发散的，则原来的级数一定是发散的.重组判别法2网当改变级数项的顺序对其进行重新组合，将所得的新级数称为原级数的更序级数，那么：L若原级数是绝对收敛的，那么其更序级数仍然是绝对收敛的，并且和不变.2 .若原级数是条件收敛的，那么其更序级数的敛散性不能判断，不同的重组，收敛其和一般也是不同的.003 .若级数是条件收敛的，则总是可以适当更换原来的次序而组成一个级数，使此更序级数/?=1可以收敛于任何预先给定的数S（包括8的情形）.综上所述，对于绝对收敛的
23、级数，任意对其项进行重组不改变级数的敛散性及和；对于非绝对收敛的级数，情况会复杂很多，对于条件收敛的级数，总可以通过对其项进行适当重组（更序）而使其变为发散级数，而对于某些发散的级数，通过适当的重组又可以使其变为收敛级数.11111例15判断级数1H7=-j=H-j=H-/=-j=+的敛散性32574解：不改变原级数的项的顺序，只对其项加括号，得到的新级数如下:32j5+74+(1ijQO=/2=14?-314-l4-l2-12ny2n、J4/7- 3yj4/7 18例16已知级数Z= l也是收敛数e1、.月一产发散,会G8因而Xn=l由重组判别法可知，原级数发散.11也是收敛，现求此更序级数
24、的和.解:+)+1n(*2)1-18(1)+(2)，得:-12=1+i-1+71+11_1一+.的和为-2. 11621Illll从而级数1-+325743.9数项级数敛散性判别的一些技巧数项级数敛散性的判别方法多样，技巧性也很强，往往需要多种方法结合使用，常用到的方法有不等式法、导数法、定积分法、泰勒公式法、洛比达法则等，下面将介绍其中几种.3.9.1利用不等式法在利用不等式来判别级数的敛散性过程中，经常要用到的不等式有:1. In77/72. In(I+x)X3. e4.abI (a2 +加产例17QO判别级数Z/7=1-InIn77+ 1、解：由不等式In(I+ x)0,3V=F了1单调
25、递减，1 +/)2 -XnI+1,当77N时，VxC(-8,+8),有/A1x/C(1+X、()T+3综上所述，由DiriChIet判别法知,y，I上一致收敛于0.原级数是一致收敛的.参考文献1王绵森，马知恩.一元函数微积分与无穷级数M.北京：高等教育出版社.2004：227-237.2WalterRudin.PrinciplesofMathematicalAnalysistM,北京：机械工业出版社.2004：143-152.3高建福.无穷级数与连分数M.合肥：中国科学技术大学出版社.2005：12-56.4孙仁平.正项级数的敛散性的P级数判别J.高校教育研究.2008,(14)：219.5郑
26、兴媛.判定级数条件收敛的一些方法J.西安电子科技大学.2008,(15)：11-13.6郑红婵，林希.数项级数的重组及其对级数敛散性的影响J.高等数学季刊.1988,(2)：38-39.7魏正刚.数项级数与无穷广义积分J.科技资讯.2010,(12)：250.8戴振祥.数项级数敛散性的判别法J.浙江万里学院学报.1999,(2)：35-56.9胡晶地.对KUmmer判别法的讨论J.株洲师范高等专科学校学报.2003,(5)：54-56.10徐国进，徐国安.一类正项级数收敛判断的推广J.孝感学院学报.2010,(3)：23-25.11洪勇.一个新的正项级数敛散性判别定理及应用J.四川师范大学学报
27、.2004,(3)：245-247.12张俊祖，葛键.关于正项级数收敛性的一个判别准则J.陕西教育学院学报.2001,(2)：57-59.13刘昌茂,刘如艳.正项级数敛散性判别法的推广J.吉首大学学报.1999,(2)：53-54.14齐紫薇，罗俊芝，董玉才，易良海.阶估计法在判定敛散性方面的应用J.高等数学研究.2010,(3)：4-5.15刘启年.无穷级数比值判别法的推广J.荆州师范学院学报.2001,(2)：25-26.16王静，谭康，任秀娟.判别数项级数敛散性的一些方法和技巧J.高等数学研究.2010,(3)：33-34.17AntoniZygmund.TrigonometricSer
28、iesM.北京：机械工业出版社.2004：3-10.文献综述级数敛散性判定方法的研究一、前言部分级数是研究函数性质及进行数值计算的有力工具，并且在其他学科以及生活中的应用也很广泛，但是级数的敛散性的判定较难.因此我们将重点研究级数敛散性的判定方法，在此基础上写出一篇较好的毕业论文.级数可以分为数项级数与函数项级数，下面将依次给出各有关概念：.定义1旧给定一个数列应,对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式ul+u2+un+（1）称为数项级数或无穷级数或简称级数，其中，称为数项级数（D的通项.0数项级数（1）也通常写作：W?9,或简单写作z一n=I数项级数（1）的前项和，记为OOS=Z%=%+%
29、+,+，（2）Jt=I定义2若数项级数（）的部分和数列sj收敛于S,即=S,则称数项级数（1）收敛，称S为数项级数（1）的和，记为s=%+.+.+/+.或S=Z%.若sj发散，则称数项级数（1）是发散的.定义3同给定一个定义在数集。上的函数列（x）,表达式u（X）+巩（X）H-Un（X）H,XD（3）OO_称为定义在。上的函数项级数，简记为或.称=1Sn（x）=Z%（x）,xD,=l,2（4）4=1为函数项级数（3）的部分和数列.定义4国若4O,数项级数%（x0）+%（x）+/（x0）+（5）收敛，即当8时部分和S（X0）=Z%（X0）的极限存在，则称级数（3）在点X。收敛，无。A=I称为级数
30、（3）的收敛点.若级数（5）发散，则称级数（3）在点儿发散.若级数（3）在。的某个子集E上每点都收敛，则称级数（3）在E上收敛.级数（3）在E上每一点X与其所对应的数项级数（5）的和S（X）构成一个定义在E上的函数，称为级数（3）的和函数，并写作S(X)=U(x)+w2(x)H-Un(X)H,XEIimSn(%)=S(x),xE函数项级数（3）的收敛性等价于它的部分和函数列（4）的收敛性.现有的一些关于级数收敛性的结论有：88结论1网设级数Z里与Za都收敛，且其和分别为S与S,则n=l/1=18(1)广a,eR,级数Z(0,+)也收敛,且有=180000(aan+0b=OZ+/Ea=aS+S.=l/:=1/:=18QC若q2(M),则2XZ=1ZJ=I结论2同在一个级数中，任意删去、添加或改变有限项，不改变该级数的敛散性.8结论3网设级数收敛，则必有Iima=0.二1二、主题部分人们很早以前其实就已经接触到无穷级数了.在中国古代的庄子.天下中所说的“庄子切棒”问题“一尺之锤，日取一半，万世不竭”含有的极限思想，用数学形式表达出来就是无穷级
