《高等数学电子教案.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学电子教案.ppt（49页珍藏版）》请在课桌文档上搜索。
1、第三节 幂 级 数,前面我们已经研究了常数项级数，下面将继续研究函数,一.函数项级数的一般概念,设u1(x),u2(x),.un(x).都是定义在某一区间I上的函数序列,项级数.这是比常数项级数具有更加广泛意义的级数。,则表达式u1(x)+u2(x)+.+un(x).(1)称为在I上的函数项级,数,记为,对于I上的任一定点x0,函数序列就成为数列,此时函数项,级数,u1(x)+u2(x)+.+un(x).(1),就成为,u1(x0)+u2(x0)+.+un(x0).(2),这个级数(2)就是常数项级数,对于I上的不同的点,就有不同的常数项级数,所以函数项,级数和常数项级数的关系是一般和特殊的关
2、系.这样我们可,以把常数项级数的有关理论和审敛法的知识应用到函数项,级数中来.,级数(2)可能收敛也可能发散.如果(2)收敛,我们称点x0是函,注意:I上的点若不是收敛点就是发散点,收敛域可能是区间,数项级数(1)的收敛点;如果(2)发散,我们称点x0是函数项级,数(1)的发散点,函数项级数(1)的所有收敛点的全体称为它的收敛域,所,有发散点的全体称为它的发散域.,也可能是孤立点,还可能是空集.,对应于收敛域内的任意一个数x,函数项级数成为一收敛,我们仍把rn(x)=S(x)-Sn(x)叫做函数,项级数的余项(当然,只有x在收敛域rn(x)才有意义),于是有,的常数项级数,因而有一确定的和S.
3、这样在收敛域上,函数,项级数的和是x的函数S(x),通常称S(x)为函数项级数的和,函数,这函数的定义域就是级数的收敛域,写成,S(x)=u1(x)+u2(x)+.+un(x).,把函数项级数(1)的前n项的部分和记作Sn(x),则在收敛,域上有,判断函数项级数的收敛性仍然和常数项级数一样,有,(1)和函数极限的存在性.,(2)比值判别法,(3)根值判别法,例1 讨论下函数项级数的收敛域并求和函数,解:函数项级数的定义域是(-,+)当|x|1时,由公比,为x的等比数列求和公式,可得到,的收敛域,利用比值判别法,比值判别法失效,但由,例2 讨论函数项级数,级数收敛,且绝对收敛,知级数发散,故收敛
4、域为,二 幂级数及其收敛性,函数项级数是比较复杂的,这是因为它的每一项都是比,其中常数a0,a1,a2,.an.叫做幂级数的系数.,都是幂级数,例如,较复杂的函数.但这些函数都是幂函数时,它在理论上和形,式上都很简单,却应用很广泛的一类级数,称为幂级数.,幂级数的一般形式是,幂级数之所以简单而重要,首先在于它的部分和Sn(x)是,幂级数收敛域的研究由Aber得到,关于x的多项式,尽管它的和函数S(x)可能是很复杂的函数,当它总是可以用多项式来近似地表达,而且只要n充分大,时,这种近似表达可以达到任意指定的精确程度,其次幂级,数的收敛域有比较简单的形式.,幂级数发散,证明:先设x0是幂级数(3)
5、收敛点,即级数,收敛.根据级数收敛的必要条件,这时有,定理(Aber)如果级数,当x=x0(x00)时收敛,则适合,不等式,|x|x0|的一切x使这幂级数绝对收敛,反之,如果级数,当x=x0,时发散,则适合不等式|x|x0|的一切x使这,于是存在一个常数M,使得,这样级数(3)的一般项的绝对值,因为当|x|x0|时,等比级数,所以级数,绝对收敛,定理的第二部分可用反证法证明.若幂级数当x=x0时发散,收敛,也就是级数,而有一点x1适合|x1|x0|使级数收敛,则根据本定理的第一,部分,级数当x=x0时应该收敛,这和所设矛盾.定理得证.,定理1告诉我们,如果幂级数在x=x0处收敛,则对于开区间,
6、设已给幂级数在数轴上既有收敛点(不仅是原点)也有发散,(-|x0|,|x|)内的任何x幂级数都收敛;如果幂级数在x=x0处发,散,则对于闭区间-|x0|,|x|外的任何x幂级数都发散.,点.现在从原点沿数轴向右方走,最初只遇到收敛点,然后就,只遇到发散点.这两部分的界点可能是收敛点也可能是发,散点.从原点沿数轴向左方走情况也是如此.两界点在原点,的两侧,且由定理1可以证明它们到原点的距离是一样的.,o,R,-R,p,p,从上面的几何说明,我们知道,幂级数的收敛域是以数轴上,原点为中心的对称区间.这里的特殊情况是整个数轴,或仅,有数轴的原点是收敛域.,且当|x|R时幂级数发散.,对于任何幂级数,
7、如果都存在一个非负数R,0R+,关于幂级数的收敛半径求法,有下面的定理:,特殊地,如果R=+,则幂级数在(-,+,)内收敛;如果R=0,则幂级数仅在x=0处收敛.,这个数R称为幂级数的收敛半径.(-R,+R)叫做收敛域.由,幂级数在x=R处的收敛性,就可决定它在区间(-R,+R)上的,收敛情况.,如果它的系数满足,定理2 设有幂级数,证明:由任意项级数的比值法,得到,例2 求幂级数,的收敛半径,解:因为,在x=+1的端点,级数成为,级数收敛,在x=-1的端点,级数成为,级数发散,所以它的收敛半径为(-1,1,例3 求下幂级数的收敛区间,解:,所以收敛半径R=+,收敛区间是(-,+),例4 求级
8、数的收敛区间,解:,所以收敛半径R=0,级数仅在x=0处收敛,例5,求级数的收敛半径和收敛区间,所以收敛半径为e,通项不趋于0,级数发散,所以原幂级数的收敛半径为e,收敛区域为(-e,e),例6,求级数的收敛半径和收敛区间,本幂级数x的奇次幂的系数a2n+1=0,故不能用公式法求收,敛半径.这里有二种解法,解法一,利用正项级数的比值法考察,解法二 令x2=t,原级数化为t的幂级数,所以原级数的收敛半径为,当t=1时,当t=-1时,收敛区间为-1t 1,即-1x-11,所以收敛区间为(0,2,的收敛区间,例7 求,解:令t=x-1,上述级数变为,因为,所以收敛半径R=1,三 幂 级 数 的 运
9、算,设有幂级数,的收敛域分别为(-R1,R1)及(-R2,R2),其中R10.R20,则对,R=minR1R2,在(-R,R)内,两个幂级数可作加法,减法,乘,法运算即,对于两个幂级数相除,这里设b00,为了求出右端的式子,我们把上式写为,采用系数待定法解出C0,C1.,有了前面幂级数的四则运算,现在我们研究在收敛域内,1)幂级数,的和函数S(x)在其收敛域内是一个连,续函数,的幂级数的和函数,关于幂级数的和函数的性质和幂级数的分析运算有如,下结论:,且求导前后的两个级数有相同的收敛半径R.,2)幂级数,的和函数S(x)在其收敛域内是可导的,并有逐项求导公式,反过来,和函数在收敛域内具有任意阶
10、的导数.,并有逐项积分公式,逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径,3)幂级数,的和函数S(x)在其收敛域内是可积的,有了和函数的分析性质,我们就不必每次用定义求和函数,在利用幂级数的可以逐项微分,逐项积分性质求幂级数,的极限,而是利用一些已知的幂级数的和函数(这些幂级,数即是:等比级数,sinx,cosx,ex.的幂级数的展开式)来,求另外一些和函数.,的和函数时,会提出如下的问题:在何种情形需逐项微分?,又在何种情形需逐项积分?,下面几点可作为解题时的依据:,除了上面两条原则外,把幂级数斥成几个级数的代数和或,(1)若幂级数通项的系数是n的有理分式,一般可用逐项微,分的方法求和函
11、数.,(2)当幂级数通项的系数是n的有理整式时,一般可用逐项,积分的方法求和函数.,提出公因子,也是求幂级数的和函数常用的技巧.,两边对x求导便得到S(x),解:,的收敛域及和函数,分析:这两个幂级数通项的分母都是阶乘,这种情形,一般,例9 求幂级数,可用逐项积分的性质求和函数,且要利用和函数为正余弦,函数或指数函数的幂级数求和公式.,利用幂级数的和函数求收敛常数项级数的和,收敛,并求其和,分析:此级数为幂级数当x=1/3时的值.此时幂级数为,其收敛半径为1.,例10 证明级数,和函数为:,的和,该级数利用根值判别法证明它收敛,例11 求常数项级数,此级数可看成幂级数,在x=1/2时所得到的级数.,时得到的级数,但这幂级数的和函数还是不容易得到,现在我们把它看成,幂级数,在,利用阿贝尔定理讨论幂级数的敛散性,定理1告诉我们,如果幂级数在x=x0处收敛,则对于开,区间(-|x0|,|x|)内的任何x幂级数都收敛;如果幂级数在,x=x0处发散,则对于闭区间-|x0|,|x|外的任何x幂级数,都发散.,x=4处是否收敛,若收敛,是绝对收敛还是条件收敛?,分析:由阿贝尔定理可知,级数在x=-1处收敛,则对于一,例12 若幂级数,在x=-1处收敛,问此级数在,切适合不等式|x-2|-1-2|=3即(-3x-23-1x5)的x,该级数都收敛,故所给的级数在x=4处收敛,且绝对收敛,
