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1、第三章线性方程组1消元法一、线性方程Ia的初等变换现在讨论一般线性方程组.所谓一般线性方程组是指形式为a1.1.v1+12x2+1.x11=Z),产A+3?+-+如户”=4.(1)4M1.+.C+，/=瓦的方程组,其中x,q,.,代表”个未知量，s是方程的个数，“Ji=12,s;/=1.2,称为线性方程组的系数.%(/=1,2,.s)称为常数项.方程组中未知量的个数“与方程的个数S不一定相等.系数4的第一个指标i表示它在第i个方程，第二个指标J表示它是乙的系数.所谓方程组的一个解就是指由个数用,心，,儿组成的有序数组出A，)，当4,而，匕分别用,代入后，U)中每个等式都变成恒等式.方程组(1)
2、的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出它全部的解，或者说，求出它的解集合.如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的.显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组就根本上确定了.确切地说，线性方程组(1)可以用下面的矩阵，I125”仇、21ai2jb2.yB=b.其中=av，i=2,$,)=2.,这样解方程组(1)的问题就归结为解方程组心.q+=H的问题,显然(4)的一个解，代入(3)的第一个方程就定出土的值，这就得出(3)的一个解：(3)的解显然都是(4)的解.这就是说，方程组(3)有解的充要条件为方程组(4)有解，而(3)与(1)是同解的，因之，方程组
3、(1)有解的充要条件为方程组(4)有解.对(4)再按上面的考虑进行变换，并且这样一步步作下去，最后就得到一个阶梯形方程组.为了讨论起来方便，不妨设所得的方程组为CUx+e,2x,+6/，+ChtXiI=&，e2ix1.+-+c2rxr+c2ax1.1.=d2,O=40=0,其中%=0,/=1,2/、.方程组(5)中的“0=0”这样一些恒等式可能不出现，也可能出现，这时去掉它们也不影响的解.而且与是同解的.现在考虑(5)的解的情况.如(5)中有方程0=d,“，而4“w这时不管.和x”取什么值都不能使它成为等式故(5)无解,因而(I)无解.当d,“是零或(5)中根本没有“0=0”的方程时,分两种情
4、况：1) /=.这时阶梯形方程组为f1.1.X,+C12X2+-+CuX11=rf1.,C22X2+-+C211X11=d2,其中C1.rWoj=I,2,.由最后一个方程开始，m的值就可以逐个地唯一决定了.在这个情形，方程组(6)也就是方程组(I)有唯一的解.例1解线性方程组2.v1.-x2+3.vj=1,-4.v1+2,2+5*3=4,2ai+x2+2.v1=5.2) r这时阶梯形方程组为+%x?+GMUXz+-+CE,=4，%与+j,+c=&，3+c,jt1.x,t1.+CrwX11=d,其中(,“0,”|,2.把它改写成JX1.+c1.2x,+-+q=d1.-C1.ft1.Xft1.CI
5、I1.XIt，c22.q+c2fx,=d2-C2ruXft1.c21.,xx,(7)CrrXr=r。,#“为1-一,由此可见，任给XE.,乙一组值，就唯一地定出玉.,X,的值，也就是定出方程组(7)的一个解.一般地，由我们可以把司,士,匕通过,S表示出来，这样一组表达式称为方程组(1)的一股解，而X,.,X11称为一组自由未知量.例2解线性方程组2.r1.-X2+3/=1.41-2.r,+5x=4.2x1.-x2+4xj=-1.从这个例子看出，一般线性方程组化成阶梯形，不一定就是(5)的样子，但是只要把方程组中的某些项调动一下，总可以化成(5)的样子.以上就是用消元法解线性方程组的整个过程.总
6、起来说就是，首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组,把最后的些恒等式“0M)”(如果出现的话)去掉.如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等一非零的数，那么方程组无解，否那么有解.在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数，等于未知量的个数，那么方程组有唯一的解：如果阶梯形方程组中方程的个数r小于未知员的个数,那么方程组就为无穷多个解.定理1在齐次线性方程组1.1.x1.+12x2+1.wA11=O,21x1.+a22x2+2nx=0,凤西+?+=。中，如果*，那么它必有非零解.矩阵f1.n2,f1.U:i七2.,i%A、b2(IO)称为线性方程组(1)的增广矩阵.显然，用初等变换化方程组(
7、1)成阶梯形就相当于用初等行变换化增广矩阵(10)成阶梯形矩阵.因此，解线性方程组的第一步工作可以通过矩阵来进行，而从化成的阶梯形矩阵就可以判别方程组有解还是无解，在有解的情形，回到阶梯形方程组去解.例3解线性方程组2x1.-X2+3巧=1,-4.r1.-2x2+5xy=4,2*-X2+4与=O.2维向量空间定义2所谓数域/，上个维向量就是由数域夕中个数组成的有序数组(1.,.1,)(1)。,称为向量(I)的分量.用小写希腊字母,八来代表向雄.定义3如果维向量a=(1.,2,1.t),=(b1.,b,bu)的对应分量都相等，即=b(/=1.2,).就称这两个向量是相等的，记作a=/7.”维向量
8、之间的根本关系是用向量的加法和数fit乘法表达的.定义4向世7=(f1.1.+h1.ai+bi,au+bn)称为向母a=(ai，2,-,),=(b,bi,ba)的和，记为-ajr由定义立即推出：交换律，cr+/?=+a.(2)结合律：a+(J+)=(a+)+y.(3)定义5分量全为零的向员(0.0.0)称为零向量，记为0；向量(-,-a八,-M)称为向量，4)的负向量，记为-显然对所有的,都有+0=.(4)cr(-s,那么向量组区必线性相关.推论1如果向量组区,4,巴可以经向量组用,火.民线性表出，且。,线性无关，那么rs.推论2任强+1个维向量必线性相关.推论3两个线性无关的等价的向量组，必
9、含有相同个数的向S1.定理2的几何意义是清楚的：在三维向量的情形，如果s=2,那么可以由向量四.用线性表出的向址当然都在川,外所在的平面上，因而这些向量是共面的，也就是说，当2时,这些向量线性相关.两个向量组4,出与/力,女等价，就意味若它们在同一平面上.二、极大线性无关组定义13向量组的个局部组称为个极大线性无关组，如果这个局部组本身是线性无关的，并且从这个向量组中任意添一个向量(如果还有的话)，所得的局部向量组都线性相关.一个线性无关向量组的极大线性无关组就是这个向量组本身.极大线性无关组的一个根本性质是，任息一个极大线性无关组都与向量组本身等价.例4看PwJ向量组a1=(1.0.0),=
10、(),1.,03=(1.1.0)在这里(3.)线性无关，而4=%+%,所以,是一个极大线性无关组.另一方面，4.%,a1,ai)也都是向量组(q,%,4的极大线性无关组.由上面的例了可以看H1.向星组的极大线性无关组不是唯的.但是每一个极大线性无关组都与向量组本身等价，因而，一向址组的任意两个极大线性无关组都是等价的.定理3一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量.定理3说明，极大线性无关组所含向员的个数与极大线性无关组的选择无关，它直接反映了向量组本身的性质.因此有定义14向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.一向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量的个数相同.每
11、一向域级都与它的极大线性无关组等价.由等价的传递性可知，任意两个等价向量组的极大线性无关组也等价.所以，等价的向量组必有相同的秩含有非零向量的向量组一定有极大线性无关组，且任一个线性无关的局部向量都能扩充成一极大线性无关组.全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关组.规定这样的向量组的秩为零.现在把上面的概念与方程组的解的关系进行联系，给定一个方程组“uM+12+-+f1.111.=4，(A1)2x+Ii22X2+a2nx1.1.=d2,(A1)”+4/2+%。=4，（八）各个方程所对应的向量分别是=(。”吗2,M1.八4)。2=(.o21.a22,-,a21.,d2),=(,.,2,.4,.
12、d,).设有另个方程1.x,+b2x2+-+bnxn=d,(砂它对应的向量为夕=(仇也.也那么是,%,M,的线性组合,=1.1.at+1.2a2+-+/,当且仅当(/O=1.（八）+/式&)+/,（八）,即方程(B)是方程（八）,(4),()的线性组合.容易验证，方程组.(AJ的解定满足(B).进步设方程组bnx1.+b1.2x2+-+bt1.,xn=c1.(B1)优臼+%x?+b21.,xn=c2,(B2)内+,/2+3.=Cr,(比)它的方程所对应的向量为4.网,氏.假设4,用可经四,.-.at线性表出，那么方程组（八）,(&b,（八）的解是方程组,(8,)的解.再进一步，当四,出，4与4
13、.四等价时，两个方程组同解.例5(1)设,4，4线性无关，证明+。2，。1+。2+4也线性无关;对个线性无关向量组外.n,以上命题是否成立？(2)当。|。2，出线性无关，证明+?./+外,4+%也线性无关，当%,%，4线性无关时，+%,。2+%，。g+11,%+是否也线性无关？例6设在向量:组.4,“中，=*。且每个,都不能表成它的前i-1.个向垃%。2,的线性组合，证明%。2，Mn线性无关.4矩阵的秩一、矩阵的秩如果把矩阵的每行看成个向量.那么矩阵就可以认为是由这些向量组成的.同样，如果把每一列看成一个向量，那么矩阵也可以认为是由列向量组成的.定义15所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩：
14、矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩.例如，矩阵门13102-14，=0005、0000；的行向盘组是6=(1.1.3J)M2=(02-1.4)=(0。05)a,=().().().()它的秩是3.它的列向量组是=(1.0,0.0),.7,=(1,2.0.or.Z?,=(3.-1.0.or,i=(1.45.0)，它的秩也是3.矩阵A的行秩等于列秩，这点不是偶然的.引理如果齐次线性方程组处内+叫科+%”。，%内+32+，“=0,x+,2x2+rax=0的系数矩阵，11124、A=%221%， 、.1,2.的行秩r”，那么它有非零解.定理4矩阵的行秩与列佚相等.因为行秩等于列秩，所以下面就统称为矩阵的
15、秩.二、矩阵的秩与行列式的联系定理5“X矩阵an1.2%的行列式为零的充要条件是4的秩小于“.推论齐次线性方程组111+,2X2+n=0,a21,v1.+A22Ar2+-+2nx=0,auixi+av2x2+-+a,uxn=O有非零解的充耍条件是它的系数矩阵1112A=?.2的行列式等于零.定义16在一个s矩阵A中任意选定人行和A列，位于这些选定的行和列的交点上的代个元素按原来的次序所组成的&级行列式，称为4的个A级子式.在定义中,当然有人nin(s,),这里min(s,)表示s,中较小的一个.定理6一矩阵的秩是，的充要条件为矩阵中有一个r级子式不为零，同时所有r+1.级子式全为零.从定理的证
16、明可以看出，这个定理实际上包含两局部，一局部是，矩阵A的秩r的充要条件为有一个r级子式不为零；另一局部是，矩阵的秩Mr的充要条件为的所有r+1级子式全为零.从定理的证明还可以看出，在秩为r的矩阵中，不为零的，级子式所在的行正是它行向地组的一个极大线性无关组，所在的列正是它列向量的一个极大线性无关组.三、矩阵的秩的计第在前面，作为解线性方程组的一个方法，对矩阵作行的初等变换，把矩阵化成阶梯形.实际上，这也是计算矩阵的秩的一个方法.首先，矩阵的初等行变换是把行向量组变成一个与之等价的向地组,等价的向量组有相同的秩，因此，初等行变换不改变矩阵的秩.同样初等列变换也不改变矩阵的秩.其次，阶梯形矩阵的秩
17、就等于其中非零的行的数目.上面的讨论说明，为了计算一个矩阵的秩，只要用初等行变换把它变成阶梯形，这个阶梯形矩阵中非零的行的个数就是原来矩阵的秩.以上的讨论还说明，用初等变换化一个线性方程组成阶梯形，最后留下来的方程的个数与变换的过程无关，因为它就等于增广矩阵的秩例利用初等变换求下面矩阵的秩：rI1257I23710*=134913.J45I1.16;5线性方程组有解判别定理设线性方程组为a1.1.x1+12x1+1.wx11=,%内+%M+%”1.=8,i+2+-+w=fc.于是线性方程组(1)可以改写成向量方程(3)XIa1.+22+Xaa1.1.=.显然,线性方程组有解的充要条件为向量R可
18、以表成向旧组名此的线性组合.用秩的概念，线性方程组(I)有解的条件可以表达如下：定理7(线性方程狙有解判别定理)线性方程组(I)有解的充要条件为它的系数矩阵rtI1.ai2iia21.a22a2na=.Ia,2,与增广矩阵1112-kbj.=21.a2i2n2(、Ia,2m瓦,有相同的秩.应该指出，这个判别条件与以前的消元法是致的.用消元法解线性方程组的第步就是用初等行变换把增广矩阵彳化成阶梯形.这个阶梯形矩阵在适当调动前列的顺序之后可能有两种情形：或者%0%C22C1.rC2,(4Q.4出00(Crr-J凡0000000000000.00其中Jx=,2,x在前一种情形，原方程组无解，而在后一
19、种情形方程组有解.实际上，把这个阶梯形矩阵最后一列去掉，那就是线性方程组(I)的系数矩阵A经过初等行变换所化成的阶梯形.这就是说，当系数矩阵与增广矩阵的秩相等时，方程组有解：当增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩加I时，方程组无解.以上的说明可以认为是判别定理的另一个证明.根据克拉默法那么，也可以给H1.股线性方程组的个解法.设线性方程组(1)有解，矩阵人与X的秩都等于，而。是矩阵A的一个不为零的级子式(当然它也是耳的一个不为零的子式)，为J方便起见，不妨设。位FA的左上角.显然，在这种情况下，彳的前r行就是个极大线性无关组，第r+1.,s行都可以经它们线性表出.因此，线性方程组(1)与i1x,+1.
20、rxr+1.x1,=仇，由内+%,*,+31.=瓦,af1.x1.+-+anxr+-+anxn=br同解.当，=时，由克拉默法那么，线性方程组(4)有唯一解，也就是线性方程组(1)有唯一解.当时，将线性方程组(4)改写为a1.1.x1.+1.rr=Z1.-1.,r4x,t，3+仰,芭=b2-2,r41.xr.13,(5),11+xz=br-arf11.xft1.amx1.,.(5)作为”,为的一个方程组，它的系数行列式,由克拉默法那么，对于吃,X”的任意一组值，线性方程组(5),也就是线性方程组(I),都有唯的解r,.r,就是线性方程组(I)性质.对于齐次线性方程组，综合以上两点即得，解的线性
21、组合还是方程组的解.这个性质说明了，如果方程组有几个解，那么这些解的所有可能的线性组合就给出了很多的解.基于这个事实，我们要问：齐次线性方程组的全部解是否能幡通过它的有限的几个解的线性组合给出？定义17齐次线性方程组(1)的一-解玛称为U)的一个根底解系，如果I)(I)的任一个解都能表成，小的线性组合：2)7,小,.,线性无关.应该注意，定义中的条件2)是为了保证根底解系中没有多余的解.定理8在齐次线性方程组有非零解的情况下，它仃根底解系，并且根底解系所含解的个数等于这里表示系数矩阵的秩(以下将看到，1.r也就是自由未知量的个数).定理的证明事实上就是一个具体找根底解系的方法.由定义容易看出,
22、任何个线性无关的与某个根底解系等价的向量组都是根底解系.二、一般线性方程组的解的结构如果把一般线性方程组a1.,x1+w1,x2+-+1.sx11=1,a21.x1.+a2ixi+-+a21.txn=bi,(g)。“司+4科+。,3=的常数项换成0,就得到齐次线性方程组(1)齐次线性方程组(1)称为方程组(9)的导出组.方程组(9)的解与它的导出组U)的之间有密切的关系：1 .线性方程组的两个解的差是它的导出组(1)的解.2 .线性方程组(9)的一个解与它的导出组(I)的一个解之和还是这个线性方程组的一个解.定理9如果九是线性方程组(9)的个特解，那么线性方程组(9)的任个解/都可以表成r=r
23、(+n其中是导出组(I)的一个解因此，对于线性方程组(9)的任一个特解冷，当取遍它的导出组的全部解时，(10)就给出(9)的全部解.定理9说明j,为r找出一线性方程组的全部解，只要找出它的一个特殊的解以及它的导出组的全部解就行了.导出组是一个齐次线性方程组，在上面已经看到，一个齐次线性方程组的解的全体可以用根底解系来表示.因此，根据定理我们可以用导出组的根底解系来表出一般线性方程组的一般解：如果y。是线性方程组(9)的个特解,7.生是其导出组的/、根底解系,那么(9)的任个解y都可以表成V=九+自小+儿推论在线性方程组(9)有解的条件解是唯一的充要条件是它的导出组(1)只有零帆线性方程组的理论
24、与解析几何中关于平面与直线的讨论有密切的关系.来看线性方程组1.1.x1+122+d,3x3=1.（三）CT21X1+(1.22X2+,sx=b2.(11)中每个方程表示个平面，线性方程组(ID有没有解的问题就相当于这两个平面有没有交点的问题.我们知道，两个平面只有在平行而不重合的情形没有交点.(11)的系数矩阵与增广矩阵分别是A=p每与;(=卜阳b2122%J1.21a22/b2)它们的秩可能是1或者2.有三个可能的情形：1 .秩A-秩W=I,这就是的两行成比例，因而这两个平面平行,又因为Ji的两行也成比例，所以这两个平面重合.方程组有解.2 .秩八二1,秩A=2.这就是说，这两个平面平行而
25、不重合.方程组无解.3 .秩A=2.这时彳的秩一定也是2.在几何上就是这两个平面不平行,因而一定相交.方程组有解.下面再来看看线性方程组的解的几何意义.设矩阵A的秩为2,这时一般解中有一个自由未知量，器如说是与，一般解的形式为,+痔(12)X2d2+C2X3.从几何上看,两个不平行的平面相交在条直线.把(12)改写下就是宜线的点向式方c如果引入参数，令公=，（12）就成为fx1.=d1.+c,t.r2=d2+c2t,（13）卜1=/这就是直线的参数方程.（11）的导出方程组是f1.1.x1+12x,+ux3=0.（14）（i2ix1.+a22x2+,jx=0.从几何上看，这是两个分别与（11）
26、中平面平行的I1.过原点的平面，因而它们的交线过原点且与直线（12）平行.既然与直线（12）平行，也就是有相同的方向，所以这条直线的参数方程就是XI=c1.Gx2=c1t,（15）X3=/.（13）与（15）正说明了线性方程组（11）与它的导出组（14）的解之间的关系.例1求线性方程组xi-x2+5xi-X4=0.x1.+x2-2x3+3x=0,3x1-X2+8x5+x=0,i+3.v,-9xj+7X4=0的一个根底解系.例2设线性方程组xi+3x,-X3+2x4-xs=-4.3.t+x2+2xy-5x4-4x5=-1,2xi-3x2-X3-xi+x5=4,-4.v1.+16.v,+x3+34
27、-9x$=-21.用它的导出齐次方程组的根底解系表示它的全部解.7二元高次方程组一、结式的概念引理设f(x)=4.r+f1.,x*1.+,(I)g(x)=&xf尸+是数域P上两个非零的多项式，它们的系数4,也不全为零.于是f(x)与g(x)在PUI中有非常数的公因式O在P中存在非零的次数小于m的多项式与次数小于的多项式v(x),使w()(x)=Vu)g(x)下面把引理中的条件改变一下.令u(x)=u9xn1.+utx2+J,V(x)=Vox1.+v1.x2+%.由多项式相等的定义，等式“(x)f(X)=V(X)g(x)(5)就是左右两端对应系数相等，即即=b0v0,a1.u0+auu1.=v0
28、+bnvi.(6)a2u0+a1.u1.+avu2=b2vu+b1.v1.+buv2.CU+=31.2+2IV1.1.如果把(6)看成一个关于未知量的方程组，那么它是一个含个未知量，个方程的齐次线性方程组.显然，引理中的条件:“在KN中存在非零的次数小于”的多项式“(用与次数小丁的多项式1仆)，使(5)成立”就相当于说，齐次线性方程组(6)有非零解.我们知道，齐次线性方程组(6)有非零解的充要条件为它的系数矩阵的行列式等于零.把线性方程组(6)的系数矩阵的行列式的行列互换，再把后边的行反号.取行列式就得Q/4会明54IW仃J.%|明hIbjo“行fu瓦久仇。bv对任意多项式f(x)=a0x+a
29、1.x1.,+n,g(x)=bi1.xmb1.xm-+(它们可以为零多项式)，我们称上面的行列式为它们的结式，记为K(.g)综合以上分析,就可以证明定理10设“x)=%x+Z+f1.n,g(x)=b0xa+btx+bm是HxJ中两个非零的多项式，于是它们的结式?(Ag)=O的充要条件是/(x)与g(x)在卅N中有非常数的公因式或者它们的第一个系数为,全为零.当户是复数域时，两个多项式有非常数公因式与有公共根是一致的.因此对复数域上多项式/(),g(x),(/*)=0的充要条件为/).gtv)在复数域中有公共根或拧它们的第一个系数全为零.例1/1取何值时，多项式f/(.v)=r+32a+22+3
30、.I9(X)=2(%-1.)x+22+3有公根.二、二元高次方程组的解法结式还提供了解二元高次方程组的一个一般的方法.设/(X,是两个复系数的二元多项式，我们来求方程组/(.v,)=0g(x,y)=0在笑数域中的全部解.r,)，),g(x,y)可以写成f(x.y)=a0(y)x,t+1.(y)x,+-+,(y),g(x,y)=()x,+b1.(y)xn+-其中,(y)(y).i=0.1.，J=0.1,加是)，的多项式.把f(x,y),g(V)看作是K的多项式，令()1.(y)an(y)o(y),(y)*(y)RZ#=o(.y)(y)%(，)(y)AU)i(j)be(y)b%(,)仇(y)fM这
31、是一个y的星系数多项式.定理11如果a.%)是方程组(7)的一个复数解，那么X,就是&Cg)的一个根；反过来，如果均是R,(,g)的一个安根，那么，1.(yo)=%(yo)=。或者存在一个曳数与使(质,小)是方程组(7)的一个解.由此可知，为J解方程组，我们先求高次方程6(.g)=0的全部根，把E(.g)=O的每个根代入(7),再求X的值.这样，我们就得到(7)的全部解.例2求方程组f(x,.y)=y2-7y+4+13-2.y-3=Og(x,y)=y2-14xv+9x2+28,v-4y-5=0的解.第三章线性方程组（小结）一、.向量的线性关系1 .根本概念：维向量，向量的线性运算，线性组合，线
32、性表出，线性相关，线性无关，极大线性无关组，向量组的秩，向量组等价，向量组的秩.2 .主要结论：I）向贵组,（s22）线性相关的充要条件是其中有一个向垃是可以由其余的向量的线性表出.2）设向fit4,%，线性无关，而向At组,%，A线性相关，那么可由%,如,线性表出，而且表示法唯.3）设向量组%.外,。，中每一个向量都是向员组用.外,戊的线性组合，而且rs,那么向量组q,4,.ar必线性相关.3 .向地组线性相关的判定：1）根据定义：2）计算以向量组为行（列）的矩阵的秩：二、矩阵的秩1 .矩阵的秩矩阵的秩=矩阵行（列）向量组的秩，即矩阵的行（列）秩.=不为零的子式的最大级数.2 .矩阵的初等变换D初等变换不改变矩阵的秩：2）用初等变换计算矩阵的秩；三、线性方程组的解的情形1 .线性方程组有解的判定：1.1.v1+i2x2+-+u,.r1,=bt,%内+%2G+%X=2（1）4向+凡/?+，*“=A有解的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩.2 .线性方程组的解的个数
