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1、第四章 线性方程组,线性方程组是否有解？若有解，那么一共有多少解？怎样求出其所有解？往年考题中，方程组出现的频率较高，大致有三种类型，一是非齐次线性方程组的求解(含对参数取值的讨论)，二是齐次线性方,程组基础解系的求解与证明，再者是有解，有非零解的判定及解的结构。向量的线性表示实际上也是一个方程组求解问题，而向量的线性相关实际上是齐次方程组是否有非零解的问题。,一、齐次方程组有非零解、基础解系、通解等问题,*1.(02，3分)设A是mn矩阵，B是nm矩阵，则线性方程组(AB)x=0,(A)当nm时仅有零解；(B)当nm时必有非零解；(C)当mn时仅有零解；(D)当mn时必有非零解。,2.(02
2、，8分)设齐次线性方程组其中a0，b0，n2，试讨论a,b为何值时，方程组仅有零解，有无穷多组解？在有,无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解。,评注：把第n行的-1倍加至第i行，i由1至n-1；然后把每行的-b倍均加至第n行。,3.(03，13分)已知齐次线性方程组其中。试讨论a1,a2,an,和b满足何种关系时,(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系。,先把第1行的-1倍依次加至其余各行，然后是把i行的-ai倍加至第1行(i=2,n)，再将第1行移到最后一行。,评注：本题行列式 的计算方法特别多，不知你还会那些？你能用特征值的方法和理论
3、求出 的值吗？,*4.(04,4分)设n阶矩阵A的伴随矩阵A*0，若 是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系。,(1)不存在；(2)仅含一个非零解向量；(3)含有两个线性无关的解向量；(4)含有三个线性无关的解向量。,(96,6分)求齐次线性方程组的基础解系。,*(98,5分)已知线性方程组()的一个基础解系为(b11,b12,b12n)T，(b21,b22,b22n)T，(bn1,bn2,bn2n)T，,试写出线性方程组()的通解，并证明理由。,(01,6分)设1,2,s为线性方程组Ax=0的一个基础解系1=t11+t22,2=t12+t23,s=
4、t1s+t21，其中t1,t2为实常数，试问满足什么关系时，1,2,s也为Ax=0的一个基础解系。,(04,9分)设有齐次线性方程组(n2)试问a为何值时，该方程组有非零解，并求其通解。,(98,5分)已知三阶矩阵A的第一行是(a,b,c)，a,b,c不全为零，矩阵(k为常数)，且AB=0，求线性方程组Ax=0的通解。,综述：总体上看这一部分考得不十分理想，看来在基础解系的理解与把握上还有问题。复习时应当理解齐次线性方程组的基础解系与通解的概念，要掌握齐次线性方程组的基础解系与通解的求法，否则在特征向量的求解上还要出问题。,n-r(A)这个数有两层含义，它既表示齐次线性方程组Ax=0的基础解系
5、中有n-r(A)个解向量，又表示每个解中有n-r(A)个自由变量，搞清这个数会减少一些无谓的失误，目前考生在基础解系上解答得并不理想，希望引起重视。,从2002年，2003年考题来看，对矩阵初等变换的要求明显比往年要高。,二、非齐次线性方程组,5.(96,3分)设，其中aiaj(ij,i,j=1,2,n)，则线性方程ATx=B的解是。,6.(08，6分)设n元线性方程组Ax=b，其中,()当a取何值时，该方程组有唯一解，并求x1；()当a取何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。,这样的方程组要会解(1)设线性方程组,(1)证明：若a1,a2,a3,a4,两两不相等，则此线性方程组无解。(2)设
6、a1=a3=k，a2=a4=-k(k0)，且已知1，2是该方程组的两个解，其中,写出此方程组的通解。,评注：也可把Ax=0的基础解系简写为。,(2)(00,2,6分)设，A=T，B=T，其中T是的转置，求解方程2B2A2x=A4x+B4x+,评注：特解不是唯一，例如令 可有特解。本题得分率较低，人均1.9分，主要错误是矩阵运算不正确，不能正确建立起线性方程组，也有些考生在方程组求解时犯种种错误。反映出基本概念、基本运算不过关。,(3)已知4阶方阵A=(1234)，1,2,3,4均为4维列向量，其中2,3,4线性无关，如果=1+2+3+4，求线性 方程组Ax=的通解。,评注：因为方程组Ax=的向
7、量形式为x11+x22+x33+x44=1+2+3+4那么利用1=22-3及2,3,4线性无关可以得到,(2x1+x2-3)2+(-x1+x3)3+(x4-1)4=0(1)故知(2)于是Ax=与上述方程组同解，解此方程组就可得到Ax=的通解。,从随机抽样的情况分析，数学一本题的得分率约为54%，其中满分为27%，而零分高达18%，反映出考生习惯于常规的线性方程组，对于抽象的不知从何处入手，接口切入点不清楚；也有相当一部分考生基本运算不熟练，错,误多，例如把1=22-3代入后整理的(1)式不正确，方程组(2)的求解无论是特解还是相应的齐次方程组的基础解系都有种种谬误，这一切希望大家要引以为戒。,
8、(4)(04,4,13分)设线性方程组已知(1,-1,1,-1)T是该方程组的一个解。试求,()方程组的全部解，并用对应的齐次方程组的基础解系表示全部解；()该方程组满足x2=x3的全部解。,(5)(06,4,9分)设已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解。,()证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2；()求a,b的值及方程组的通解。,(95,7分)设线性方程组，问a为何值时方程组有解？并在求解时，求出方程组通解。,(08,6分)设n元线性方程组Ax=b，期中，,()当a取何值时，该方程组有唯一解，并求x1；()当a取何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。,综述 解线性方程组作初等行变换时要正确
9、(若在这里出错，往下还有意义吗？)作有解判断时不要遗漏。,近年来这类题目新的动向，要求考生 通过矩阵运算，自己建立起方程组然后再求解，或利用解的结构从逻辑推理的角度，或用构造同解方程组的方法来求解。这样题目的综合性、灵活性增加，对考生能力的要求提高了。,三、有解判定及解的结构,7(00,3分)设1,2,3是四元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量，且秩(A)=3，1=(1,2,3,4)T，2+3=(0,1,2,3)T，c表示任意常数，则线性方程组Ax=b的通解x=,(A)；(B)；(C)；(D)。,8(01,3分)设A是n阶矩阵，是n维列向量，若 秩(A)，则线性方程组,(A)Ax=必有无穷多
10、解；(B)Ax=必有唯一解；(C)仅有零解；(D)必有非零解。,练习题(1)(00,1,3分)已知方程组 无解，则a=。,(2)(90,1,3分)已知1,2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，1,2是对应齐次线性方程组Ax=0的基础解系，k1,k2为任意常数，则方程组Ax=b的通解必是,(A)；(B)；(C)；(D)。,(3)(97,4,3分)非齐次线性方程组Ax=b中未知量的个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则,(A)r=m时，方程组Ax=b有解；(B)r=n时，方程组Ax=b有唯一解；(C)m=n时，方程组Ax=b有唯一解；(D)rn时，方程组Ax=b有无穷多解。,(02,
11、3分)设有三张不同平面的方程ai1x+ai2y+ai3z=bi，i=1,2,3，它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2，则这三张平面可能的位置关系为,(03,8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1：ax+2by+3c=0；l2：bx+2cy+3a=0；l3：cx+2ay+3b=0试证这三条直线交于一点的充分必要条件为。a+b+c=0,(97,4,3分)非齐次线性方程组Ax=b中未知量个数为n，方程的个数为m，系数矩阵A的秩为r，则方程组Ax=b有解；,(A)r=m时，方程组Ax=b有解；(B)r=n时，方程组有唯一解；(C)m=n时，方程组有唯一解；(D)rn时，方程组A
12、x=b有无穷多解。,(01,2,3分)设方程组有无穷多解，则a=。,综述 对非齐次线性方程组要会判断何时无解？何时有唯一解？何时有无穷多解？当方程组有无穷多解时，解的性质与结构是什么？当系数矩阵没有具体给出时，如何求通解？当方程组有无穷多解或无解时，如何求参数？,四、公共解、同解,9.(00,3分)设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组()：AX=0和()ATAX=0，必有,(A)()的解是()的解，()的解也是()的解；(B)()的解是()的解，但()的解不是()的解；,(C)()的解不是()的解，()的解也不是()的解；(D)()的解是()的解，但()的解不是()的解。,评
13、注：若=(1,2,n)T，则，可见T=0=0。而T0 0。,本题有43%的考生选(D)，说明这些考生不会用左乘T的方法由ATA=0推导出A=0。,10.(05,13分)已知齐次线性方程组()()()和()同解，求a,b,c的值。,10.(07,11分)设线性方程组 与方程 有公共解，求a的值及所有公共解。,练习题(1)(94,1,8分)设4元线性齐次方程组()为，又已知某线性齐次方程组()的通解为：k1(0,1,1,0)+k2(-1,2,2,1),(1)求线性方程组()的基础解系。(2)问线性方程组()和()是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解，若没有，则说明理由。,评注：由于()的
14、通解是l1(0,0,1,0)+l2(-1,1,0,1)，()的通解是：k1(0,1,1,0)+k2(-1,2,2,1)，因此若令,只要能求出不全为0的l1,l2，则，且 是()的解，也是()的解。由此可得l1,l2,k1,k2的齐次方程组,可见当k1=k20时，有非0公共解，下略。求两个方程组的公共解的思路方法清楚吗？若()、()两个方程组均已具体给出，你如何求公共解呢？,(2)(03,1,4分)设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0，其中A,B均为mn矩阵，现有4个命题：,若Ax=0的解均是Bx=0的解 则秩(A)秩(B)；若秩(A)秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0解；若Ax=0与Bx=0
15、同解，则秩(A)=秩(B)；若秩(A)=秩(B)，则Ax=0与Bx=0同解。,以上命题正确的是(A)；(B)；(C)；(D)。,评注：请考生自己证明命题正确，举例说明命题不正确。,(3)(98,4,分)已知下列非齐次线性方程组()，()()(),(1)求解方程组()，用其导出组的基础解系表示通解。(2)当方程组中的参数m,n,t为何值时，方程组()与()同解。,评注：当把方程组()的解代入到方程组()中。求出m,n,t后，方程组()即为,可求出方程组()的通解。再与方程组()的通解相比较可知方程组()与方程组()同解。本题考查线性方程组通解的求法及两个方程组同解的概念。,(02,4,8分)设4
16、元齐次线性方程组()为，而已知另一齐次线性齐次方程组()的一个基础解系为：1=(2,-1,a+2,1)，2=(-1,2,4,a+8)+k2(-1,2,2,1),(1)求方程组()的一个基础解系。(2)当a为何值时，方程组()和()有非零公共解？在有非零公共解时，求出所全部非零公共解。,综述 所谓公共解，即它既是方程组()的解，也是方程组()的解。若两个方程组均已给出，那么把()与()联立所求出的解就是公共解；如果知道()的基础解系，则可把其,以()通解的形式代入()中来求公共解(练习题第(1)题)；如果已知两个方程组的基础解系。则可如练习题第(1)题评注所示来求公共解。,关于同解，即()的解是()的解，()的解也是()的解。由同解 系数矩阵秩相等。但系数矩阵秩相等 同解。,
