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1、 习 题 三1.正常情况下,某炼铁炉的铁水含碳量.现在测试了炉铁水,其含碳量分别为.如果方差没有改变,问总体的均值有无显著变化?如果均值没有改变,问总体方差是否有显著变化?解 由题意知,.当已知时,设统计假设.当时,临界值,拒绝域为.,所以拒绝,接受,即认为当方差没有改变时,总体的均值有显著变化.当已知时,设统计假设.当时,临界值,拒绝域为.,所以拒绝,接受,即均值没有改变时,总体方差有显著变化. 2.一种电子元件,要求其寿命不得低于.现抽取件,得其均值.已知该种元件寿命,问这批元件是否合格?解 由题意知,.设统计假设.当时,临界值,拒绝域为.,所以拒绝,接受,即认为这批元件不合格.3.某食品
2、厂用自动装罐机装罐头食品,每罐标准质量为,现从某天生产的罐头中随机抽测罐,其质量分别为(单位:),假定罐头质量服从正态分布.问机器工作是否正常?能否认为这批罐头质量的方差为?解 设表示用自动装罐机装罐头食品每罐的质量(单位:).由题意知,方差未知., ,设统计假设.,临界值,拒绝域为.,所以接受,拒绝,即认为机器工作正常.当已知时,设统计假设.当时,临界值,拒绝域为.,所以接受,拒绝,即为这批罐头质量的方差为.4.某部门对当前市场的鸡蛋价格情况进行调查,抽查某市个集市上鸡蛋的平均售价为,标准差为.已知往年的平均售价一直稳定左右,问该市场当前的鸡蛋售价是否明显高于往年?解 由题意知,.设统计假设
3、.当时,临界值,拒绝域为,所以拒绝,接受,即认为市场当前的鸡蛋售价是明显高于往年.5.已知某厂生产的维尼纶纤度,某日抽测根纤维,其纤度分别为,问这天生产的维尼纶纤度的方差是否明显变大了?解 由题意知,.设统计假设.当时,临界值,拒绝域为.,所以拒绝,接受,即这天生产的维尼纶纤度的方差明显变大了.6.某种电子元件,要求平均寿命不得低于,标准差不得超过.现从一批该种元件中抽取个,测得寿命均值为,标准差.设元件寿命服从正态分布。试在显著性水平下,确定这批元件是否合格.解 设表示这批元件的寿命,由题意知,.设统计假设.当时,临界值,拒绝域为.,所以接受,拒绝,即认为这批元件平均寿命不得低于.设统计假设
4、.当时,临界值,拒绝域为.,所以接受,拒绝,即认为这批元件标准差不超过.所以这批元件合格.7.设为来自总体的样本,已知对统计假设的拒绝域为.当时,求犯两类错误的概率与;证明:当时,.解 ,.,.,.,8.设需要对某一正态总体的均值进行假设检验取检验水平,试写出检验的统计量和拒绝域.若要求当中的时犯第类错误的概率不超过,估计所需的样本容量.解 .拒绝域为,统计量为., .所需的样本容量.9.设来自总体的样本,为已知,对假设,其中,试证明.解 由题意知,且为已知,故,拒绝域为.,所以 ,即.10.设为来自总体样本,对假设的拒绝域.求犯第类错误的概率和犯第错误的.解 由题意知,查表得;,查表得.11
5、.设总体的密度函数为,统计假设,.现从总体中抽取样本,拒绝域,求:犯两类错误的概率.解 当成立时,;当成立时,.12.设总体,根据假设检验的基本原理,对统计假设:;,试分析其拒绝域.解 因为,所以,即,当时,即,所以拒绝域为.因为,所以,即,当时,用作为的近似,则,即,所以拒绝域为.13.设总体根据假设检验的基本原理,对统计假设:;,试分析其拒绝域.解因为,当时,即,所以拒绝域为.因为,当时,即,所以拒绝域为.14.从甲乙两煤矿各取若干个样品,得其含灰率为甲:, 乙:假定含灰率均服从正态分布且.问甲、乙两煤矿的含灰率有无显著差异?解 设分别表示甲乙两煤矿的含灰率.由题意知:.,.问甲、乙两煤矿
6、的含灰率有无显著差异,因此,可进行以下假设检验。 统计假设, 当时,临界值为拒绝域为由于所以,接受,即认为甲、乙两煤矿的含灰率无显著差异.15.设甲、乙两种零件彼此可以代替,但乙零件比甲零件制造简单,造价也低。通过试验获得他们的抗拉强度分别为:甲: 乙:假定两种零件的抗拉强度均服从正态分布且.问甲种零件的抗拉强度是否比乙种的高?解设分别表示甲乙两种零件的抗拉强度.由题意知:,.问甲种零件的抗拉强度是否比乙种的高,因此,可进行以下假设检验。 统计假设, 当时,临界值为拒绝域为由于所以,接受,即认为甲种零件的抗拉强度比乙种的高.16.甲、乙两车床生产同一种零件.现从这两车床产生的产品中分别抽取个和
7、个,测得其外径为:甲:乙:假设其外径都服从正态分布,问乙车床的加工精度是否比甲车床的高?解 设分别表示乙甲两种车床加工零件的外径.由题意知:,.问乙车床的加工精度是否比甲车床的高,因此,可进行以下假设检验。 统计假设, 当时 拒绝域为由于所以,接受,即认为乙车床的加工精度是比甲车床的高.17.要比较甲、乙两种轮胎的耐磨性,现从甲、乙两种轮胎中各取个,各取一个组成一对,现再随机地选取架飞机,将对轮胎磨损量数据列表如下:4900522055006020634076608650487049304900514057006110688079305010试问对这两种轮胎的耐磨性有无显著差异?假定甲、乙两种
8、轮胎的磨损量分别满足,且两个样本相互独立.解设甲乙两种轮胎的磨损量分别为,.由题意知:,.此题假设检验问题是比较两总体的均值与方差.首先对两总体的方差进行检验:统计假设 ,由于未知总体的均值,所以当时,拒绝域为,落在接受域内,所以接受原假设,即无明显差异.再对两种体的均值进行检验 设立统计假设, 由于,所以当时,临界值,拒绝域为.由于,所以接受,可以接受这两种轮胎磨损量无显著差异的结论.18.设总体,总体,由两总体分别抽取样本; 能否认为? 能否认为?解 由题意知,设立统计假设,当时,临界值,拒绝域为,由于,所以接受,可以接受.统计假设 ,由于未知总体的均值,所以当时,拒绝域为,落在接受域内,
9、所以接受原假设,即.19.从过去收集的大量记录发现,某种癌症用外科方法治疗只有的治愈率.一个主X化学疗法的医生认为他的非外科方法比外科方法更有效.为了用实验数据证实他的看法,他用他的方法治愈个癌症病人,其中有个治好了,这个医生断言这种样本中的治愈率足够证实他的看法.试用假设检验方法检验这个医生的看法;如果该医生实际得到了治愈率,问检验将证实化学法比外科方法更有效的概率是多少?解 设采用化学疗法的治愈率为.设立统计假设检验. 由于是大样本,所以当时,拒绝域为由题意知 ,落入接受域中,所以接受原假设,即在显著性水平为5%下,认为采用化学疗法比采用外科方法更有效.由于是大样本,所以,由题意知,.20
10、.在某公路上,之间,观察每内通过的汽车辆数,得下表:通过的汽车数量(辆)01234数量9268281110问能否认为通过的汽车数量服从分布?解 设表示每次观察时通过的汽车数量,分布函数为,统计假设是 .选择检验统计量;将的取值划分为若干区间,; 在成立的条件下,计算参数的最大似然估计值,通过计算得; 在成立的条件下,的概率理论估计值为, , ,; 拒绝域为; 计算的样本值,计算过程见表3.3.4.1920.44932989.86580.05068452680.35946371.89260.21076343280.14378528.770.02060824110.0383437.66861.44
11、72296510.009081.8160.36666072001.00002002.0959由于样本值为落在接受域内,因而接受,所以通过的汽车数量服从分布.21.对某厂生产的汽缸螺栓口径进行次抽样检验,测得数据分组列表如下:组限频数582034组限频数17664试检验螺栓口径的检验值的分布是否为正态分布.解 设表示某厂生产的汽缸螺栓口径,分布函数为,统计假设是.选择检验统计量;将的取值划分为若干区间,; 在成立的条件下,计算参数的最大似然估计值,通过计算得,; 在成立的条件下,的概率理论估计值为 拒绝域为; 计算的样本值,计算过程见表3.3.4.1130.144614.460.14741352
12、200.192119.210.03248823340.246524.653.54655174170.211321.130.8072361560.125912.593.44941226100.07967.960.5228141001.00001008.5059157由于样本值为落在拒绝域内,因而拒绝,所以螺栓口径的检验值的分布不为正态分布.22.检查产品质量时,每次抽取个产品检验,共抽取次,得下表:次品数012345678910频数35401851100000问次品数是否服从二项分布?解 设表示每次检查产品时的次品数,分布函数为,统计假设是 .选择检验统计量;将的取值划分为若干区间,; 在成立的
13、条件下,计算参数的最大似然估计值,通过计算得; 在成立的条件下,的概率理论估计值为, , ; 拒绝域为; 计算的样本值,计算过程见表3.3.4.1350.348678334.867830.0005012400.387420438.742040.04084613180.193710219.371020.09703649470.07019117.019110.0000521001.00001000.1384355由于样本值为落在接受域内,因而接受,所以每次检查时次品数服从.23.请人比较两种型号电视机的画面好坏,认为好的有人,认为好的有人,拿不定主意的有人,是否可以认为的画面比的好?解 设表示型号
14、电视机的画面,表示型号电视机的画面.用符号检验法:由题意知 ,当时,拒绝域为,落入拒绝域内,故拒绝,即认为的画面比的好.24.为比较两车间(生产同一种产品)的产品某项指标的波动情况,各依次抽取件产品进行测量,得下表:甲1.131.261.161.410.861.391.211.221.200.621.181.34乙1.211.310.991.591.411.481.311.121.601.381.601.84问这两车间所生产的产品的该项指标分布是否相同?解 设表示甲车间生产的产品的某项指标的波动,表示乙车间生产的产品的某项指标的波动.用符号检验法:由题意知 ,当时,拒绝域为,落入拒绝域内,故拒
15、绝,即认为两车间所生产的产品的该项指标分布显著不同.25.观察两班组的劳动生产率(单位:件/小时),得下表:第1班组283339404142454647第2班组344041424344464849问两班组劳动生产率是否相同?解 设表示第1班组的劳动生产率,表示第2班组的劳动生产率.1)用符号检验法:由题意知,当时,落入拒绝域内,故拒绝,即认为两组劳动生产率不同.2)用秩和检验法:由题意知,数据的秩见下表.秩1245.57.59.51314.516731组数据283339404142454647秩35.57.59.5111214.51718982组数据344041424344464849,当时,
16、落入接受域内,故接受,即认为两组劳动生产率相同.26.观察两样本值如下:2.363.147.523.482.765.436.547.414.384.256.543.287.216.54问这两样本是否来自同一总体?解 设表示第组样本值,表示第组样本值.用秩和检验法:由题意知,数据的秩见下表.秩1314528101356数据2.363.147.523.482.765.436.547.41秩76104121049数据4.384.256.543.287.216.54,当时,落入接受域内,故接受,即认为这两样本是否来自同一总体.27.某种动物配偶的后代按体格的属性分为三类,各类的数目是:按照某种遗传模型
17、其比率之比应为:,问数据与模型是否相符?解 设表示某种动物配偶后代体格的属性,分布函数为,由题意知,统计假设是 .选择检验统计量;将的取值划分为若干区间,; 在成立的条件下,计算参数的最大似然估计值,通过计算得; 在成立的条件下,的概率理论估计值为, , 拒绝域为; 计算的样本值,计算过程见表3.3.4.1100.11215912.2253310.40506862530.445483948.5577450.4063953460.44235848.2170220.10193881091.00001090.9134024由于样本值为落在接受域内,因而接受,所以数据与模型相符.28.在某地区的人口调
18、查中发现:个男人中有个是聋哑人,个女人中有个是聋哑人.试检验“聋哑人与性别无关”的假设.解 设表示某地区人口的聋哑情况,表示某地区人口的性别情况.如下表:男女合计聋哑349730726569正常157257481679595932521707合计157292451679903132528276由题意知,当时,落入拒绝域内,不能认为“聋哑人与性别无关”.29.下表为某药治疗感冒效果的联列表:年龄疗效儿童成年老年一般583832128较差284445117显著2318145510910091300是问该疗效是否与年龄有关?解 设表示某感冒药的疗效,表示调查人口的年龄.如下表:年龄疗效儿童成年老年一般583832128较差284445117显著2318145510910091300由题意知,当时,落入拒绝域内,即认为药的疗效与年龄有关.30.某电子仪器厂与协作的电容器厂商定,当电容器厂生产的一批产品的不合格率不超过时以高于的概率接收,当不合格率超过时,将以不低于的概率接受。试问验收者制定验收抽样方案.解 由题意知代入下式得到,解得.因此,抽样方案是:抽取件产品,如果抽得的不合格品,则接受这批产品,否则拒绝这批产品.21 / 21