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1、解析几何中若干经典结论及其应用结论部分一、定点类结论结论1设AB是圆锥曲线。的弦，点A关于X轴的对称点A(点4,8不重合)，且48过点P(/,0).(1)若曲线C为椭圆W+E=l(A),则直线AB过定点Q(Q,O);ab(2)若曲线C为双曲线W-二二l(4O,Z0),则直线AB过定点Q(Q,0)；ab-t(3)若曲线。为抛物线y2=2px(p0),则直线AB过定点Q(,0)结论2过圆锥曲线上的一个定点M(X,九)任作两条互相垂直的弦MP,MQf若曲线为非等轴双曲线，则直线PQ必过定点；若曲线为等轴双曲线，则直线PQ斜率为定值.(1)若M在椭圆W+E=l(4bO)上，则PQ过定点(小名与，一GW
2、%);(2)若M在双曲线一与二l(40,人0)上，erb当白时，PQ过定点(今4”。L5哆%)；当时，PQ的斜率为；(3)若M在抛物线b=2px(p0)上，则PQ过定点(M+2p,-%).结论3A,B是抛物线丁=2p(p0)上异于顶点的两动点，点M(Xo,%)为抛物线上一定点，过M作两条弦MA,MB.(1)若kMAkMB=in(非零常数)，则直线AB过定点0-女，-%)；(2)若ZMA+Kws=(非零常数)，则直线AB过定点(事-生,空一%)；(3)若直线MA,例8的倾斜角分别为,且+4=6(0v6)为定值，当口,变化时，直线48过定点(%-2汉-2p,tan。tan9)一般结论：A,B是圆锥
3、曲线上两动点，点”为其上一定点，MA,的倾斜角分别为,则以下条件均可得出直线AB过定点：MMB=祖(非零常数)；kMA+kMB=(非零常数);+万=6(0eZO),过椭圆内X轴上一点(w,0)任作两条相互垂直的arb-弦48,CD,设M,N分别为A8,C。的中点，则直线MN必过定点(,?)，Ob二、定值类结论2.1与，有关的结论结论8(1)已知M,N是椭圆马+4=1(。人0)上关于原点对称的两动点，P是椭圆上aZr异于M,N的一点,若直线PM,PN均存在斜率，则ZaAf%,=-4；a(2)己知M,N是双曲线-4=l(a0,0)上关于原点对称的两动点，P是a-Zr双曲线上异于M,N的一点，若直线
4、尸M,PN均存在斜率，则“%v=4.a结论9(1)已知M,N是椭圆W+W=l(bO)上的两动点，P是线段MN的中点，a-h-O为坐标原点，若直线OP,MN均存在斜率，则%wv=-;a(2)已知M,N是双曲线百一g=l(O,0)上的两动点，P是线段MN的中crb2点，。为坐标原点，若直线OP,MN均存在斜率，则%p%w=4.a结论10已知M(X,y1),N(X2,M)是椭圆r+=l(h)上的两动点，的面ab积为S,点M,N均不在坐标轴上，O为坐标原点，则以下五个命题等价: k。MkON=xf +xj=a2iS=ab；QM2+OM=a2+b2,若尸为椭圆上一点，ROP=AOM+ONt则储+/Z=1
5、.结论11已知圆锥曲线：/(Hy)=A+Cy+。+与，+尸=0上一定点P(沏，N),过P作倾斜角互补的两条直线PM,PN分别与交于异于P的两点M,N,则直线MN的倾斜角为定值.注：若曲线为椭圆K+C=l(bO),贝I%N=4,即改.=不；abaay0若曲线为双曲线W-E=l(O,60),则3n=-4,即&N=aba若曲线为抛物线y2=2px(p0),则2.=一.%该命题的逆命题也成立.证明：当点P在曲线：/*,y)=A+cy2+D+sy+尸=o的对称轴上时，直线MN的倾斜角为0或90,结论显然成立；当点P不在曲线的对称轴上时，直线PM,PN,MN的斜率均存在且都不为零,此时条件可设为即M=Z,
6、怎N=-&，设(,K),N(x2,y2),则/(知NO)=0,/(X，乂)=，f&，y2)=由/(X，J)-(%)=0,两边同时除以-不，得C(y1+yo)+F+D+A(x1+)=0，同理。(必+%)+可(一口+。+4+$)=0，+0,得以(y-%)+A+x2)+2O+2=0，得A(K-X2)+C%(y+%)+2次+2Cbb=O，所以X+x2=y(y-2)+2x0，X+%=Mx-占)+2%K代入，得(+如y-j2) = -(2D + 4x0),(a + j(x1-x2) = -(2E + 4Q0),两式相除，得A.=当=器誉(定值).所以当小，吟哈。时，2悬2,262当)二=一一1=。时，k“
7、N=r-2:abay当/3y)=y2-2px=0时，kMN=-.%2.2与/有关的结论结论12已知曲线氏W=1(0,0)的左右顶点为A(-a,0),8(,0),点Q(m,)aZr(三0,z0)不在曲线七上，QA,QB分别交E于C,D,直线Co交X轴于点尸，则有。POO=。？.注：曲线E可以表示焦点在X轴或y轴上的椭圆，也可表示双曲线，结论一致.结论13(1)己知A,8为椭圆C+5=l(h0)上两动点且关于X轴对称，P为X轴上ab一定点，连结附交椭圆于点M,则3M恒过定点Q,且有OPoQ=/；(2)己知4,8为双曲线-二=l(O,b0)上两动点且关于X轴对称，P为Xarb轴上一定点，连结而交双曲
8、线于点M,则恒过定点,且有OPOQ=/.(3)已知A,B为抛物线V=2p(p0)上两动点且关于X轴对称，P(a,0)为一定点，连结附交抛物线于点M,则恒过定点。且有OPOQ=一6.结论14(1)设A,B是椭圆W+4=l(b0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)，外abi部的两点，若过A点引直线(直线不与坐标轴垂直)与椭圆相交于P,Q两点，且NPBA=NQR4,则点A,B的横坐标满足4/=/；(2)设A,8是双曲线5-太=l(4O,h0)实轴上分别位于双曲线一支内(含焦点的区域)，外部的两点，若过A点引直线(直线不与坐标轴垂直)与双曲线的这一支相交于P,Q两点，且NPBA=NQ84,则点A,B的横
9、坐标满足=22.3焦半径公式结论15(1)已知椭圆g+=l(4b0)中，弦A8过左焦点尸，且倾斜角为仇crb2点4在X轴上方，则4尸二一-7,BF=一.-ccos+ccos9(2)已知双曲线m-4=130,0)中，弦AB过左焦点尸，且倾斜角为仇crtr点4在“轴上方，则A尸二匕力，BF=-+ccosJa-ccos(3)已知抛物线y2=2px(p0)中，弦AB过焦点F,且倾斜角为仇点A在工轴上方，则A尸=1P丁，BF=,Pq.1-cos1+cos注：在(1)(2)中易得48=,2婆若左焦点改为右焦点，其他条件不变,a2-C2cos2结论16(1)设直线/过椭圆W+4=l(b0)的一个焦点凡且与椭
10、圆相交于P,Qa-b-两点，若PF=m,FQ=nt则上+1=4(J+l=2).mnbmnep(2)设直线/过双曲线W=150,。0)的一个焦点况且与双曲线的同一a-b-支相交于P,。两点，若PF=m,FQ=n,贝口+人普.tnnb(3)设直线/过抛物线y2=2pNp0)的焦点F,且与抛物线相交于P,。两点，若PF=m,FQ=n,则JL=2.innp注：以上结论利用结论15极易获证.结论17在圆锥曲线中，设过焦点尸且不垂直于坐标轴的弦为A8,其垂直平分线和焦点所在坐标轴交于点R,则g=5AB22. 4与垂直有关的结论结论18(1)已知O为原点，P,。为椭圆g+W=l(AO)上两点且OP_LoQ,
11、则arb-+4=+,。到一Q的距离为-J”.。产OQ2a2b2之(2)已知。为原点，P,。为双曲线W-二=I(OeaV3上两点且OP_LOQ,则a-b2工+Jb=4-,。到尸。的距离为Jb。产0Q2/b2N而二7结论19已知。为原点，P,。为抛物线y2=2px(p0)上两点且OP_LO0,则S.24户.结论20(1)若A8,。是过椭圆+二=l(hO)焦点的弦，且AB_LCZ),a-b-则+=2.jABCD2ep,(2)若A8,Co是过双曲线W-E=l(O,人0)焦点的弦，且AB_LCZ),orb-则;+=iA(3)若A8,8是过抛物线V=2px(p0)焦点的弦，且A8_LCz),则II=IAB
12、CD2p注：其中e为圆锥曲线的离心率，为焦点到相应准线的距离.三、定轨类结论结论21已知(,l),N(X2,%)是椭圆二+上r=l(b)上的两动点，O为坐标原ab点，则生/(W=-4与以下命题等价：a线段MN中点的轨迹方程为马；ahr2若动点P满足OP=OM+ON,则尸点的轨迹方程为+二=无+/?.CTb注：命题与结论10中六个命题均等价.结论22设定点Q(*,No)不在圆锥曲线A+如v+Cy2+f)+fy+尸=0上，过。作直线交曲线于M,N两点，P为动直线MN上异于Q的另一点，且满足嚣=畏,则夕点的轨迹是直线40+6生产+Cyy+D与E巧互+F=0或其局部.证明：设M(XI,y),N(x2,
13、y2)fP(x,y),则AxfBxiyl+Cyf+Dxa+Ey+F=0,Ax+Bx2y2Cy?Dx2+Ey2+F=0l + 和 )1+2乃xi+Ax2不妨设。在圆锥曲线外部所以-x+3W三+Q,y+O号+E号+尸_Ar12-A2X2Bxa,-2Bx,y2Cyf-2CylDx-2Dx2Eyi-A2Ey2F-X1F=-2+-1-2+1-2+1-2+-1-+1-=(Ax；+BXIy+Cy12+DXl+Eyi+F)2(Ar；+Bx2y2+Cyl+Dx2+Ey2+F)J=T-22=0此时P点的轨迹是直线做x+8汽纶+Cyy+。主尹+七滋+F=O在曲线内的部分.同理易证得，当点Q在曲线内部时，P点轨迹为直
14、线本身.结论23过椭圆W+W=l(bO)外一点P向椭圆作两条切线出，PB,若雨_LP8,则点尸的轨迹方程为/+产=/+6(蒙日圆).结论24过抛物线y2=2px(p0)外一点P向抛物线作两条切线附，PB,若B4_LP8,则点P的轨迹为抛物线的准线.结论25(1)已知长轴为AlA2的椭圆+马=1(。60)上有一动点P(不与4,4重合),crb2直线孙I，网2分别与右准线/交于点M，N,右焦点为F,则NMFN=5；(2)己知长轴为/Mz的双曲线-=1(。0,h0)上有一动点P(不与A,A2a-b重合)，直线PAPA2分别与右准线/交于点M,N,右焦点为F,则NMFN吟；(3)已知抛物线V=2px(
15、p0)上有一动点尸(不与顶点。重合)，直线夕。与准线/交于点“，P向准线作垂线，垂足为M右焦点为凡则NW=5四、极点与极线极点与极线是圆锥曲线内在的几何特征，在解析几何中必然有所反映，有所体现.极点与极线定义：已知圆锥曲线：Ar2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0,则称点P(%,%)和直线/：伙)工+06+。*+与)+4丫+%)+产=0是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以x替换V,以号替换x(另一变量y也是如此)即可得到点P(0,%)极线方程.极点与极线作法：如图，P是不在圆锥曲线上的点，过。点引两条割线依次交圆锥曲线于四点E,F,G,H,连接EH,FG交于N,连接EG,FH
16、交于M,则直线MN为点P对应的极线.若P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线.由图1可知，同理PM为点N对应的极线，PN为点、“所对应的极线.MNP称为自极三点形.若连接MN交圆锥曲线于方点A,B,则勿，PB恰为圆锥曲线的两条切线.事实上，图1也给出了两切线交点P对应的极线的一种作法.结论26(1)当P在圆锥曲线上时，则极线/是曲线在P点处的切线；(2)当在外时，则极线/是曲线从点P所引两条切线的切点所确定的直线(即切点弦所在宜线)；(3)当P在内时，则极线/是曲线过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.证明：(1)由极点极线的定义，对于曲线:A5+qy2+2DX+2或+产=O的方程，两边求
17、导得2Av+2Cy,2D+2Eyf=0,解得/=-等W,Cy+E于是曲线在P点处的切线斜率为k=-学E，Cyo+ E故切线/的方程为y-%=-生上。*-毛)，化简得Ax0x+Cy0y-Ax02-Cy+Dx+Ey-Dx0-Ey0=0(*),又点尸在曲线上，故有Aro2+C%2+2ATO+2f+F=0,从中解出仇2+c%2,然后代入(*)式，可得曲线在点P处的切线为/：Ax0x+Cjty+D(x+)+E(y+y0)+F=O.(2)设过点P所作的两条切线的切点分别为M(3,y),Na2,当)，夕*则由(1)知，在点M,N处的切线方程分别为Axr1+Cyy+O(Xl+x)+E(y+y)+F=0N和Ax
18、x2+Cyy2+D(x2+x)+E(y2+y)+F=0,又点P在切线上，所以有AVI+CyOy+(3+%)+E(M+yo)+F=O,和心声+必+以毛+/)+七(必+为)+/=0,观察这两个式子，易知点Af(X1,y),N(x2,%)都在Ax0x+Cyfiy+O(X+x0)+Ey+%)+F=0上,又两点确定一条直线，故切点弦MN所在的直线方程为Ajx+Qoy+D(x+xo)+E(y+yo)+F=O.(3)设曲线过P(x,%)的弦的两端点分别为Sa,y),T(X2,y2)Q(m,n)则由(1)知，曲线在这两点处的切线方程分别为Axxl+Cyy1+D(x1+x)+E(y1+y)+F=O和Axr2+C
19、yy2+D(x2+x)+E(y2+y)+F=O,设两切线的交点为Q(m,)，则有Axm+Cyin+D(xi+ni)+E(yl+/2)+F=O,Ax2m+Cy2+O(X2+6)+七(、2+w)+F=0,易发现S(N,y),T(x2,%)均在直线A口+。以+5%+7)+后(丁+)+产=0上，又两点确定一条直线，所以直线ST的方程为Axm+Cyn+D(x+m)+E(y+n)+F=0,又直线ST过点P(XU,y0),所以Avw+Cy0w+D(Xo+tri)+E(NO+h)+F=0,因而点。(祖，n)在直线Arx+Cyoy+D(x0+x)+E(%+y)+F=0,所以两切线的交点的轨迹方程是AqX+Cy0
20、y+O(XU+x)+E(NO+y)+F=O.结论27若圆锥曲线中有一些极线共点于点P,则这些极线相应的极点共线于点P相应的极线，反之亦然.餐P的极线图 4 (1)图4(2)即极点与极线具有对偶性如图4(1)(2)所示.结论28设AB,Co是圆锥曲线过焦点尸的两动弦，弦端点连线AGBD交于点M,则动点M的轨迹是圆锥曲线的相应准线.注：直线AO,8C交点的轨迹也是圆锥曲线的准线.当焦点弦48,CO重合时，直线AC8。退化为圆锥曲线的两条切线.推论设AB是圆锥曲线的动焦点弦，过弦端点A,B分别作圆锥曲线的切线，则两切线交点的轨迹是圆锥曲线的准线.第一讲解析几何经典结论选证例1设A8是椭圆+=l(”O
21、)的弦，点A关于X轴的对称点A(点A,B不重合),a-b-且AB过点P(f,0),求证：直线48过定点Q(%0).分析：欲证明直线A8过定点，可设出直线A3的方程：ykx+m,接下来的目标为根据条件寻找亿?的关系式.条件A8过点PC,0),可转化为APA5,从而有(f-x1)(y+必)=凶(七一XJ，消去，)空得2公洛+(6一内)(3+“2)=2而，以下进入设而不求的套路.证明：设A(X1,y),B(x2,y2),则A(N,-y),设直线A8：y=kx+tn,将其代入二+二=1消去y并整理，得(K/+y2+2kma1+a2m2-a2b2=0,abmr.r2kma2r_a2n2-a2b2j,2-
22、k2a2+b2,因为直线A8过点P0),所以APA5,所以(f-x1)(y+必)=乂(七一%)，消去y,J2得2kxxx2+(/W-z)(x1+x2)=2nt,即2kH-k喷哈化简得竽+，所以T，所以直线AB：y=k-=k(x-)f所以直线AB过定点0咛，0).点评：本结论也可通过设A(JV乂)，B(x2,y2),得A(%，-,)，从而直线AB的方程为：y+y=&入&_/)，所以点P的坐标为(豆殳山L,0),同理求出。点坐标，以下通过消去加，12,容易证出PQ的横坐标乘积为/，获证.例2过抛物线y2=2px(p0)上的一个定点M(X0,%)任作两条互相垂直的弦MP,MQ,求证：直线尸。必过定点
23、.分析：先设出P%),将弦MP, MQ互相垂直转化为MPMQ=0,将其表示成y+必，Y%的关系，代入直线PQ的方程化简即可获证.证明：设P力* M，呜，讣因为M尸MQ=O,所以MP MQ =即(另+ %)(% +由(*)式，y%=-4PjyO(M+必)-%2，又%2=2p0,代入上式化简得,(y+%)(y+yo)=2p(x-见-2p),显然直线尸。必过定点（+2p,-.注：也可设直线P。的方程是=?，+，代入抛物线方程消去X,由韦达定理，可求出占+52=2/，乂），2=-2代入（*）式，化简可得=+毛+2，从而获证例3已知AB是过圆锥曲线的焦点尸的弦，E是与焦点尸相对应的准线/和圆锥曲线对称轴
24、的交点，点C在/上，求证：直线AC过线段律的中点的充要条件是8CEE证明：充分性：如图，设直线AC与E尸交于N,过A作AO_1/于D由唠啜啮号喘由圆锥曲线的定义，有竺=&=eADBCU丁LADBFADBCAF-BC从而NE=e=FN.ABABAB必要性：由Ao尸E,FN=NE,连结80,mlNEECFNFB则=，=ADDCADABPCFR所以把=-,所以尸EBC.DCAB例4已知椭圆+=l（bO）中，弦A8过左焦点F,且倾斜角为仇点A在X轴上crb方，求证:AF =从-CCOSBF =b2 + ccos 64 +CCOS 6证明：如图，PF=Jc,FM=AFcos0fC所以d=PM=止-c+A
25、Fcos。，c又AF=G/,所以d=AE,e所以正c+A尸cos，=妊=幺&,cec所以A尸二七一用夕+替换6,得BF=a-Ceos说明：该结论用圆锥曲线的极坐标方程上缶稍作变形即可证明.例5已知M（X,y1）,N（X2，月）是椭圆J+与=1（。人。）上的两动点，。为坐标原点，abk=E，求证：线段MN中点的轨迹方程为+=aab2证明：设线段MN中点为PaO,%）,则由题意可得2,222+普=1,号+普=1,且芭+w=2，乂+），2=2%，abad因为自“=-4，所以/匹=-4，所以警+斗=0，axlx2aab所以、十_+/YI（y+%）2一1国十AE父2x2I2%必）_帆以/+从-4fl24
26、b24a2b2+a2b2+a2+b22f所以线段MN中点、P的轨迹方程为+W=.ab2练习I在椭圆，号W。）中，设过焦点尸且不垂直于坐标轴的弦为，其垂直平分线和焦点所在坐标轴交于点心求证：器专证明：如图，不妨设直线AB的倾斜角。为锐角 则尸M = A尸一 AM = A尸一竿=善铲E（不为锐角时可类似证明）,2a-ccosa + ccos（结论15）_ yCCoSea2 - c2 cos2 O 所以 fr=i%= I-ECaCOSe er - c2 cos2 ，又 AB =Iab2a2 - c2 cos2 所以FR _ c _e AB = 2a = 2 练习2已知椭圆AA130）过椭圆内X轴上一
27、点50）任作两条相互垂直的弦A8, CD,设M, N分别为A5, C。的中点，求证：直线MN必过定点（消詈,0）.证明：当直线AB的斜率不存在或为零时，易知直线MN与X轴重合，显然成立;当直线AB的斜率存在且不为零时，设直线AB的方程为：产则直线Co的方程为：y = -（x-7w）,设Aa ,y), B(x2 , y2),将月小代入+二 a- b-1,得(a2k2 +b2)x2 -2a2k2mx + a2k2m1 -a2b2 =0 ,所以y+yia+W-2M =-黑为所以Mg,一悬庐）,同理Nb2kn a2+b2k2若MNLr轴，即k=l时，直线MN过定点（消暮，0）；若MN不与X轴垂宜时，k
28、l,及kmI及km+护k?2&2+2=十62)ka2k,ma2(1-A:2)a2+b2k2a2k2+b2练习3设A,8是椭圆十?叱）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，若过A点引直线（直线不与坐标轴垂直）与椭圆相交于P,Q两点，所以直线MN的方程为y =占（且I Kx-f）,显然过定点,0且NPBA=Z.QBA.求证：点A,B的横坐标满足xaxb=c.证明：设PQ:X=+m,(m,0),代入椭圆方程得：(a2+b2t2)y2+2b2mty+b2(m2-a2)=0,hill v + v _ 2b2mt vv _b2(m2-a2)J%+%- +/，一 /+若 NPBA = NQBA,则
29、kBo + 攵=0,即一2-十 为oV arY 人14B 人2 人BO,所以 乂（。2+?78）+ %（职 +zw-） = * 所以 2%+（，”4）（）； +刈）=，诉旧 2h2t(m2 - a2) 2b2nu(m - xb )/VP -A 7 J一 彳 12 2cr + br a +btO,所以 2b2t(fir -a2)- 2b1mt(m - x) = O,即 nrt- crt- m2t + mtxB = O ,所以,=M，从而a b = m% = .练习4已知Ma , y）, N（x2,必）是椭圆毛+ = l（bO）上的两动点，O为坐标Zr原点，若%n=-% 动点P满足OP = 2OM
30、 + ON ,则尸点的轨迹方程为2222证明:由题意可得哈+a，设点蛆3则X = xl+ xv y = yyr因为“，所以 = f ,所以竽+等O,驾+区+弊+/ b1 a2所以0+1=亚军+3空a2bCb2为2切5占2/)，|)，2P7br21+/21+2O=A2+/2,所以尸点的轨迹方程为，第二讲解析几何结论在高考与模考中的应用一、有关定点类结论的应用例1(2017年全国卷1第20题)已知椭圆C：W+E=l(b0)上四点Pl(1,1),a-b-P2(0,1),P3(T,事,尸4。，尊)中恰有三点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程：(2)设直线/不经过B点且与C相交于4,8两点.若直线BA与直
31、线B8的斜率的和为-1,证明：/过定点.解：4+/=1(过程略)；4(2)设直线尸泊与直线的斜率分别为M,攵2，如果/与X轴垂直，设/：x=t,由题设知，工0,且|“0.设4(X1，),B(X2，”)，则X+X2=一一8?_,XX2=-4k2+142+1w-_y1-1y2-1_lcx+m-kx2+m-_2kxxx1+(tn-1)(+x2)1111k+K=+=+L=.l.III.XxX2XX2XxX2由题设4+k2=-,故(2k+l)XX2+(w-1)(+x2)=0.Fine4”-4I、SkinAWZEi.zw+1即(2k+l)r一(n-l)-Z=0,解得左=.4k+14K+12当且仅当?一1时
32、，(),欲使/：y=-怨x+m，即“1=一等(-2),所以/过定点(2,-1).注：本题为结论3的特殊情形.我们可以得出弱于结论3的较一般情形：已知椭圆C：5+=l(4b0)的上顶点为B,动直线/不经过短轴端点且与椭圆C相交于M,N两点，则直线与BN的斜率之和为定值4(/1=0)的充要条件是/过定点卜学同学们课后可以尝试证明.二、有关定值类结论的应用丫221例2在平面直角坐标系中，已知椭圆+方=1(。0)的离心率为,AB为椭圆的一条弦(不过坐标原点)，直线y=匕(20)恰过弦AB的中点且与椭圆交于P,PQR的面积为2,求椭圆的方程.Q两点，过尸作X轴的垂线，垂足为凡若直线AB和直线QR倾斜角互
33、补，且两两斜率均有关系，PQR的面积即点。的横纵坐标之积，本题将不难求解.分析：注意到题中出现的三条直线AB,QR,PQ解:设弦AB的中点为(Xo,%)，Aa,y),B(X2由与+4=1且三+g=l,两式相减得，+=0,ababab即竺=一邑立三=一反.M,X-Wa2y,+y2a2%因为占二21二21,%=国，所以女二一与，即板=_%x1-x2x0aikal因为椭圆的离心率为即C=,所以=噂，即=-印为定值.2a2a24设Q(Sj)(S0,r0),则P(-s,),R(r,0),所以直线。R的斜率为A二女人因为直线AB和直线QR倾斜角互补，所以直线QR的斜率为所以Tz=-K.*V=-,SLkQt
34、所以2=乎.因为/QR的面积为Sf=2#,而=酉，所以s=2,=6,即。(2,卡).s2从而4+昌=1,又=有，解得=2J,b=3.所以椭圆C的方程为M+=1a2ba2129例3(2012年江苏卷第18题)如图，在平面直角坐标系Xoy中，椭圆与+9=1的左，右焦点分别为B,B设4,8是椭圆上位于X轴上方的两点，且宜线Aa与直线平行,AB与交于点P.尸A_(1)若A4-3鸟=乎，求直线AB的斜率；zZSS芟(2)求证：PG+尸名是定值.(fo-Fi)X分析：题中出现的线段A,AF2,BF,8鸟均为椭尚的娘堆里野Mb,16及三角形相似知识容易求解.解：设直线AK与直线的倾斜角为仇则AF1=-5=-
35、=-!，BK=_=(结论15).a-Ceos2-cos6a+ccosy2+cos(1)所以居=J产=理，所以COSe=2，tan6=g.2-cos62cos62#2所以直线AFl的斜率为孝.(2)证明：设AK=m，86=，则L+J=券=2(结论16).mnb因为AR5&，所以暮=坦，所以普=一强一，PBnBFxn+n所以3(2_)，同理/玛=-(2_加)，n+nm+nm+n所以百+P居=24-2=24-r2=20-=2(定值).m+n+222mn三、有关定轨类结论的应用22例4在直角坐标系W)，中，椭圆+方=1的左焦点为(-1,0),点(1,当在椭圆上，点、P是椭圆外一点.(1)求椭圆的方程；
36、(2)过点P作两条互相垂直的直线小I2,且乙，4与椭圆均只有一个公共点，分别为a,8两点.记。到小4的距离分别为4,4,求44的取值范围解：（1）椭圆方程为三十f=1（过程略）；43（2）设P（m,n）（m2）,则切线方程为y-=&（X-.联立方程组y-n=k(x-m)y43消去y得3f+4(丘-5?+)2=12,化简为(3+442)x2+Sk(n-hn)x+4(-ht)2-12=0,因为直线为椭圆的切线，所以4=64425-7）2-4（3+4）14（-加7）2-121=0化简得。-Am)2-(3+45)=0,即(fn2-4)2-2mnk-3+/=0,w2-40所以k+h=孕L又44_LP8,
37、所以KN=T,BP-3=4-n2,m2-42一3m2-4BPm2+n2=7(m2)*,当7=2时，点P(2,6)适合*式,所以P点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆,又过。分别作用、P8的垂线，垂足分别记为M,M因为%_LP8,所以四边形MONP为矩形，所以片+石=7,其中3WdjW4.所以d；d；=d：(7一d；)=-(J12-)2+,又-歹+普e12,%，即44屋12号,所以解得d&e25/5用.四、极点与极线结论的应用例5（2010江苏18）在平面直角坐标系My中，如图，己知椭圆春+?=1的左，右顶点为A,B,右焦点为F.设过点7（3相）的直线7,78与椭圆分别交于点M（,yl）f极线警=
38、1上，所以2=9,所以而=1,y所以直线MN必过X轴上一定点（1,0）.解：设直线x=ky+a,因为AMAT,所以（内+3,y）=4（12,机），5Lx=ky+a,m(a + 3)12 Tnk同理,得力m(a - 3)6 - nkx=ky+at由12v2得(5/+9)旷2+10。6，+5/-45=0，l-9+y1,同7以V+，=Ioak=18am-18一一2akn=52-45=面g)71j25F9(12-m)(6-m),y,j23F+9(M-mk)(6-mk)将两式相除，得用J8。Ll8”一i,所以18am186=0,所以=l5w因此，直线MN必过X轴上一定点（1,0）.练习1（2011江苏卷
39、）如图,在平面直角坐标系Xo），中，过坐标原点的直线交椭圆号+*=1于P,A两点，其中P在第一象限，过P作工轴的垂线，垂足为G连接4C,并延长交椭圆于点8,设直线以的斜率为八对任意%0,求证：PPB.分析：由结论8知直线PB,AB的斜率之积为常数，注意到直线以，CA（AB）的斜率为倍数关系，从而容易得出直线以，PB的斜率关系.证明：设点尸(XJ,y),B(x2,y2),则玉0,X2所以三嗤哆且A（F,-y）,C（XI,0）,设直线PB,AB的斜率分别为跖，6因为点C在直线AB上，所以42+l=2KA+l=2A必一(一3)+1-X1-(-x1)2）； IL（E+2父）-（；+2犬）二A2-X0,
40、所以KA=T,所以附_LP8.练习2（2016南通二模）如图，在平面直角坐标系Xoy中，已知椭圆+=1（力0）aZr的离心率为孚A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足OP=2AO.（1）若点P的坐标为（2,应），求椭圆的方程；（2）设过点P的一条直线交椭圆于&C两点，且5P=m8C,直线。4，08的斜率之积为-百，求实数?的值.J分析：（2）中注意到直线OA,OB的斜率之积为-；，恰为-探，满足结论io中命题，）从而有结论10中命题成立，即若能由条件变形出,OC=OB+OC,!1J2+=1.而可化为OQ=（I-m）08+mOC,又。2=24。，两式消去。P得OC=二i08-2。4,从而鸟+”幺=1,获解.minnm解：椭圆的方程为告十八1（过程略）.（2）设Aa,yj,B（X2,、2），Ca3,），因为OP=2AO,所以网一25,一2,）.因为BP=mBC,所以（一2与一“一2y-必）=（玉_孙力一必），/、r=6_1r_2-2x-x2=7w(xj-X2)于是m2n1,-2y,-y2=m(y3-y2),2代入椭圆方程，得（fn %；+因为A,B在椭圆上，所以Mg=l,s+3=1.ab-ab因为直线0A,0H的斜率之积为Y，即3匹=-4，结合知呼+哗=0.2x1x22a2b2将代入，得3+空上=1,解得2=尚.mm
