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1、SFOl（数）Ch12数项级数计划课时：14时P1341552002.03.08.Ch12数项级数（14时）1级数的收敛性（3时）一.概念：1 .级数：级数，无穷级数；通项（一般项，第项）,前项部分和等概念（与中学的有关概念联系）.级数常简记为EU2 .级数的敛散性与和：介绍从有限和入手，引出无限和的极限思想.以在中学学过的无穷等比级数为蓝木，定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念.例1讨论几何级数的敛散性.Ji=On1_1解匕|l时,SN=,级数发散；时，S11=n+,(-co),级数发散；夕=一1时，S=（1+（-1）,（7）,级数发散.综上，几何级数tqn当且仅当旧|S”f2,(n8)
2、.因此，该级数收敛.82例4讨论级数*的敛散性.5-3解3_&=2,=S.小2_+8,(-8).级数发散.5一35553 .级数与数列的关系：Z%对应部分和数列(SJ,WX收敛o5收敛；对每个数列,对应级数阳+(“一七),对该级数，有Szf=j.于是,n2数列乙收敛O级数七+(X一XZlT)收敛.=2可见，级数与数列是同一问题的两种不同形式.4 .级数与无穷积分的关系：+JJf(X)公=J7=WX,其中“二j.无穷积分可化为级数；1M=InH=1n对每个级数，定义函数f(X)=U.,nxO,3N,N和VpN,=Iwnlun+2+,+Wm+pI0级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件）R1例
3、7（%0但级数发散的例）证明调和级数一发散.，曰证法一（用Cauchy准则的否定进行验证）（参阅Ch81E2,在教案P84）证法二（证明S“发散.利用Ch10习题课例2已证明的不等式ln（?+1）1-+-Za收敛且有ZZ%（收敛级数满足分配律）性质2Z“和Z匕1收敛，=Z（”匕）收敛，且有Zd%）=X%问题：“、z乙）三者之间敛散性的关系.性质3若级数W收敛，则任意加括号后所得级数也收敛，且和不变.（收敛数列满足结合律）例8考查级数f从开头每两项加括号后所得级数的敛散性.该W=I例的结果说明什么问题？Ex1P6-718（1）-（3）.4P6-721,22,23. 2 正项级数（3时）一.正项级
4、数判敛的一般原则：1 .正项级数：%0,Sft/;任意加括号不影响敛散性.2 .基本定理：Thl设0.则级数WX收敛=0（1）.且当WX发散时，有Sn+OO,（一8）.（证）正顶级数敛散性的记法.3 .正项级数判敛的比较原则：Th2设WX,和Z乙是两个正项级数，且N,N时有%L,则i v Wx=+ 0, = Z乙=+ 8 ( ii 是 i的逆否命题)例1考查级数之一一的敛散性.tn2-n + 解 有 /? +1 0, = -z -r,2n2 -77 + 1 n218设0 夕判断级数Xpsin万 “=1n+,-的敛散性.q（比较原则的极限形式）设Z和Z乙是两个正项级数且则=/,则n 匕1O /
5、= 0时， ZUZIV +00，n Zv + 8 ;iii / = +8时， Z匕? = + 8 , = Z=+00 .(证)系2 设Z和是两个正项级数， 若wn = 0（vj,特别地，若匕,（ 8）,则X V+8vzl=+00例3判断下列级数的敛散性:(1)81-l-tt2n-n2,-n001001ln(1+).正项级数判敛法:1.检比法：亦称为OZ/加加门判别法.用几何级数作为比较对象，有下列所谓检比法.Th3设Z”为正项级数，且mN。及g（0夕No时i若也LqYwzi若也1,=yw,=oo.证i不妨设l时就有4ql成立，有%-q,-q.,依次相乘，=qn,即%u2%unulq,l.由Ov
6、gl,得Z”可见%往后递增，=unO,n）.系（检比法的极限形式）设，为正项级数，且limX=q.则J28U11iqql或4=+8,=Z”=+00（证）倘用检比法判得Z%=+8,则有wm0,（00）.检比法适用于“”和”+1有相同因子的级数，特别是“中含有因子！者.例4判断级数2 25 258+ +1 15 15-9258(2+35-l)159(1+4(1)的敛散性.1, = Z。0）的敛散性.解“+1(nl)x /2 + 1xMX x, (n ).因此，当Ovxl时，Zl时，Z=+8；X=I时，级数成为Z，发散.7w+,tl例6判断级数2的敛散性.n,注意若仅有也0,当:N0时，i若/1,n
7、若收71,=Z=+8.（此时有令O,（wco）.）（证）系（检根法的极限形式）设为正项级数，且Iim向=/.则nI，V+8；/L=，=+8.（证）检根法适用于通项中含有与有关的指数者.检根法优于检比法.（参阅1P1516）例7研究级数Z*T的敛散性.Iimw700 Vlim=lf1221,R1,4且f(n)f(x)dxf(n-),拉=2,3,Jw-Ir,tl?-1nW1(n-D=(n),=2n2=1例9讨论-级数二的敛散性.”=inp解考虑函数/（X）=,0时/（x）在区间l,+oo）上非负递减.积分级数52当p 1时收敛，xpf(xdx当p1时收敛，Op1时发散.=O0,级数发散.np综上，
8、一级数名，当且仅当p1时收敛.”=1n例10讨论下列级数的敛散性:81(1)y；(2)yn(inn)p念(In)(InInEx1P19-201(8),2(3)(6),5,6,8(1)-(3),11；4P31134.习题课(2时)一.直接比较判敛：对正项级数，用直接比较法判敛时，常用下列不等式：(1)a,l0,40,=!.4+4勺对%,有sinqzJl,cosaft1,sinall0时，有l+,j(l+七)2.(5) ln(l+n)n.(6) an0,ZV+8,=充分大时，有j%.例1判断级数；一；的敛散性.tf11+sin2(325)解九3时,wn+sin2(3w2+5)(或0.仁优+/解0v
9、l时，有7=Y1时，一-7-l,(w)=V=+8.a,+n2乙例3设数列4有界.证明ZdV”.f2证设InanM,n,=O,=an-=,yn例5%0.若Z%=+8,则W：=+8.证),=(+)=+；又Z-Vn2nnn=+8.例6设%.若级数w和Za收敛，则级数ZC收敛.例7设4O,勿().证明X+8,Za+8,n也+8；和Za之一或两者均发散时，Eah仍可能收敛；X+8,XO,=Z=+oo;若明为也1.%有效的方法是利用等价无穷小判别法.例10设函数AX）在点/=0有连续的二阶导数，且/（0）=0试证明：（1）若尸（0）声0,则级数）发散=1（2）若（O）=0,则级数Sf（L）收敛.（2002
10、年西北师大硕士研究生入学试题）解把函数f（x）在点XO=O展开成带二阶LagrGIge型余项的Maclaurin公式，有/U)=/(0)+/(O)X+X2=/(O)X+X2,J介于0与无之间./(一)=(0)-+j-nn2181（1）若广（）o,则当充分大时/（上）不变号，可认为/（L）是同号级数.有=n18001/（一）-110）-,-=+,n2/（一）发散n”=inM=i11若尸(O)=0,注意到f(x)在点XO=O连续，/(X)在点Xo=O的某邻域内有界,设(x)2M,有4(f-4/()”+，=0=l例12证明Iim-=O.3”.-r1111V(n+22、八例13证明Iim11-+-r+
11、-r=O.42h+,2h+222n)例14设-若ZV+,nIimnun-O.证对V0,3K,XfkK,由Z一，有即 O 2ku2k ；k/fi1+ma.+2+w2,(k+1)m2a+iuk+wa+2+u2k+l2K时总有O此即Iimnun=O./1XOExlP207,14；P31321,2,7,9.阅读4P285-288.3一般项级数(4时)一.交错级数：交错级数，LeiimiZ型级数.Thl(Leibniz)及访，应型级数必收敛，且余和的符号与余和首项相同，并有rnlrt证(证明部分和序列S“的两个子列S?”和S?向收敛于同一极限.为此先证明S2,递增有界.)2(+1)=(Nl-%)+(“3
12、-%)+(w2rt-l)+(2“+1一2+2)(%-%)+(%-%)+(2”Ti2“)=$2，=S2n7又S2“=M1-(U2-U3)(W2zl-2-W2H-I)-w2n%，即数歹JS?”有界.由单调有界原理，数列S2.收敛.设S2mS,500).右川=邑“+21-s，(九8)=IimS=s.由证明数列S2zj有界性可见,0力(-1严以%.余和(-1)吗m+亦为型级数，= 余和乙与+同号，且g w,/1=1mnw+1例1判别级数汇00）的敛散性.“=1解OVX1时，由Le彻应判别法，=Z收敛；xl时，通项0,Z发散.二.绝对收敛级数及其性质：1 .绝对收敛和条件收敛：以LeibniZ级数为例，
13、先说明收敛为绝对收敛.Th2（绝对收敛与收敛的关系）ZqWX收敛.证（用Cauchy准则）.一般项级数判敛时，先应判其是否绝对收敛.例2判断例1中的级数绝对或条件收敛性.2 .绝对收敛级数可重排性：（1）同号项级数：对级数，令=lv=+”=J卬=dL=-w-孙u,WWtl均为正项级数，且有O乙I%I和O%IwI;ii11=乙+叼，=乙一%同号项级数的性质：Th3i若I若条件收敛,则工匕1=+0，EWn=+00.证i由0LI和0Wi成立.ii反设不真，即”和Z吗中至少有一个收敛，不妨设Z均转.由=L一叱，%=叱以及W”WXI+,与Z条件收敛矛盾.绝对收敛级数的可重排性：更序级数的概念.Th4设E
14、X是WX的一个更序.若Zu+,则z%口,且若%0,则和WxI是正项级数，且它们的部分和可以互相控制.于是,EHnZ*对于一般的%,WX=W-Z叱，n%=“和X吗的更序.由%所证，有Zu：+co,gw：X=X由该定理可见，绝对收敛级数满足加法交换律.是否只有绝对收敛级数才满足加法交换律呢？回答是肯定的.Th5(Riemann)若级数X”条件收敛，则对任意实数S(甚至是8),存在级数的更序使得ZM=S.81证以Le曲应级数(-向一为样本，对照给出该定理的证明.关于无穷和的交换律，有如下结果：i若仅交换了级数的有限项，Xull的敛散性及和都不变.ii设是的一个更序.若mKN,使”在中的项数不超过+K
15、,则W和%共敛散，且收敛时和相等三.级数乘积简介：1 .级数乘积：级数乘积，Ca“c/iy积.1P2526.2 .级数乘积的Ca。的定理：Th6（Cac/p）设ZI+,vI+,并设=U,Z匕,=V.则它们以任何方式排列的乘积级数也绝对收敛，且乘积级数的和为UV.（证略）例3几何级数=14-r+r2+尸+，IrI11-r是绝对收敛的.将（Zdy按Cauchy乘积排列，得到(l + r)2=l+(r+r)+(r2r2+r2)+(rn+r,+rz,)+”+1个=1+2r+3/*2+(+l)rw+.Ex1P3O-311(1)-(8)00),4；31(总EX)2,3,4(1)(2)；4 P3073091
16、14.四.型如出,的级数判敛法：1. A加/判别法：引理1（分部求和公式，或称AAe/变换）设ai和瓦（lim）为两组实数.k记Bk=Ebkm）.则/=1Eaibi=一ai+l）Bi+amB,n.r=l/=I证注意到bi=Bl-Bi,有a.bi=a,(Bi-BP)+4=/=1/=2=a1B1+2(B2-B1)+a3(B3-B2)+.aw(-1)=(1-a2)B1+(2-a3)B2+(%-)BmTamm，-1M-I=ai-aiu)Bi+altlBm.(=amBm-aM-ai)Bi).=li=l分部求和公式是离散情况下的分部积分公式.事实上，bb(,Xf(x)g(x)dx=fxdg(t)dt=aa
17、a/=(/(X)，g(力力)一(,g)d，叭x)=fS)Jg(f)dt-rg(t)dtdf(x).aaaa可见Abd变换式中的Bj相当于上式中的1g(f)力，而差生讨一6相当于4(%),和式相当于积分.引理2(Abel)设、和纥.如引理1.若叫单调，又对14i雁,有3M,则也M(q+2%).=l证不妨设”1.一!aibiai-ai+lBi+atnBltl/=I/=1，一1MZa-0,+)+l%IM(+2z|).J二I一系设4,0,ai,(l级数收敛，ii数列凡单调有界.贝U级数WX仇收敛.证(用。必y收敛准则，利用AAeZ引理估计尾项)设IQIK,由W3攵敛，=对V0,mN,N时，对VpN,有
18、ll+2+2+)+P1Eanbn收敛.2. Dirichlet判别法：Th8(DiriChIe6设i级数Za的部分和有界，ii数列凡单调趋于零.则级数Z4a收敛.证设纥=5“，则4M,n对V，p,有f=+2+pHBn+p-Bn2M.不妨设%、0,=对D0,mN,VN,ne.此时就有十PEakbk2M(|an+i+21all+p),8）.考虑级数Z（4,4“一。单调趋于零，叫有界，=级数2（4-）勿收敛，又级数收敛，=级数Z（a一a）b+Za收敛.例4设。,0.证明级数ZaZJSinnX和Zacosnx对DX（0,21）收敛.证 2sn - +ZCOShk=，.X=sin +2sin-x-sin
19、-. +2)+sin(n+-)x-sin(n-)x=sin(n+-)x,222X1sin(7+-)xx(0,2%)时，Sin-W0,=+ZCOSAX=22E2sin-2可见X（0,2乃）时，级数ZCoS心:的部分和有界.由Dirichlet判别法推得级数ZCoSm:收敛.同理可得级数数sinnx收敛.ExlP30312(1)(2),3；P325.习题课（2时）例1判断级数当；的敛散性.解注意到2竿j,=所论级数绝对收敛，故收敛.（用D-判法亦可）.1Hn7i例2考查级数2匚j(s0)的绝对及条件收敛性.，曰n解OvsVl时为Lei历位型级数，条件收敛；sl时，绝对收敛.例3若%0,un0,(o
20、o).交错级数(一1严/是否必收敛？n=l解未必.考查交错级数11+2+，+*这是交错级数，有2“33nnMz,0,(hoo),但该级数发散.因为否则应有级数而。二)二”.由该例可见，在曲应判别法中，条件明单调是不可少的.例4判断级数112-l2+l+3-l3+l+-lw+1+的敛散性.解从首项开始,顺次把两项括在一起，注意到7级数gW=+oo,=所论级数发散.T7=L=二7,以及yn-1yn+1-1例5设级数收敛.证明级数Za收敛.证an=nan.由Abel或。力c4et判法，nn82例6xkf判断级数斗二竺的敛散性.n=1nMsin2nx1-cos2nx1CoS2X解=n2n2n2n8CC
21、S7A?Y*现证级数Z竺上竺收敛：因XZ乃时不M2”ZCOS2心=ZCOSA(2x)Isinxn级嵯吟.又-0,由。力M1次判法,In故本题所论级数发散.判断级数个型竺（XWA乃）的绝对收敛性.,日解由皮口ZAZet判法，得级数收敛.但sinnxnsin2nxn1cosInx22n仿例6讨论,知本题所论级数条件收敛.例8设级数一）绝对收敛，Xa收敛.证明级数z4a收敛.证先证数列勺收敛.事实上，（6tf-）=att-/收敛，4收敛.r=l令纥=，则数列纥收敛，故有界设I纥M,于是由Mel变换，有/=1JI-ISn=Eaibi=a“B”一Z（生一%）B-，（或=%纥一Z5源一ai）Bi）=1i2r三l而tai-ai,lBiMtai-aiIq+%+%0,(n).因此，n所论级数是2*珈fz型级数，故收敛.证法二V(-i)*+,2,4+%+O,(oo).由DiriChIet判法，nX收敛.
