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1、无穷级数,无穷级数,无穷级数是研究函数的工具,表示函数,研究性质,数值计算,数项级数,幂级数,第九章,常数项级数的概念和性质,二、常数项级数的概念,三、无穷级数的基本性质,四、级数收敛的必要条件,第一节,第九章,一、问题的提出,一、问题的提出,1.计算圆的面积,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,二、级数的概念,1.级数的定义:,(常数项)无穷级数,一般项,部分和数列,级数的部分和,2.级数的收敛与发散:,余项,解,收敛,发散,发散,发散,综上,解,已知级数为等比级数，,解,例4.,判别级数,的敛散性.,解:,故原级数收敛,其和为,三、基本性质,结论:级数的每一项同乘一个不为零的常
2、数,敛散性不变.,结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.,解,性质3.,在级数中去掉、加上或改变有限项,不会,影响级数的敛散性.,证:将级数,的前 k 项去掉,的部分和为,数敛散性相同.,当级数收敛时,其和的关系为,类似可证前面加上有限项的情况.,极限状况相同,故新旧两级,所得新级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,性质4.,收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数,的和.,证:设收敛级数,若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列,为原级数部分和,序列,的一个子序列,推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.,因此必有,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意,收敛级数去括弧后所成
3、的级数不一定收敛.,收敛,发散,例6.判断级数的敛散性:,解:考虑加括号后的级数,发散,从而原级数发散.,四、级数收敛的必要条件,设收敛级数,则必有,证:,可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.,例如,其一般项为,不趋于0,因此这个级数发散.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意:,并非级数收敛的充分条件.,例如,调和级数,虽然,但此级数发散.,事实上,假设调和级数收敛于 S,则,但,矛盾!,所以假设不真.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,五、小结,常数项级数的基本概念,基本审敛法,一、正项级数及其审敛法,1.定义:,这种级数称为正项级数.,2.正项级数收敛的充要条件:,定理,部
4、分和数列 为单调增加数列.,证明,即部分和数列有界,3.比较审敛法,不是有界数列,定理证毕.,比较审敛法的不便:,须有参考级数.,解,由图可知,重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.,证明,4.比较审敛法的极限形式:,证明,由比较审敛法的推论,得证.,解,原级数发散.,故原级数收敛.,证明,收敛,发散,比值审敛法的优点:,不必找参考级数.,两点注意:,解,比值审敛法失效,改用比较审敛法,级数收敛.,习惯塑造人生,从自己的经历谈什么事先做起来教育就是养成习惯叶圣陶.一个人不想做某事，可以找出千万条理由，下决心做一件事情时，有一条理由就足够了。同学们在日常学习、生活中习惯了给自己不做某事找借口、找托词、找原因。其实就是为了“心安理得”，不妨换个角度想问题，找一条理由来做某件事情是多么容易。,
