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1、求数列通项公式求数列通项公式1一、分类题型1题型一公式法求通项公式1题型二累加法求通项公式17题型三累乘法求通项公式25题型四构造法求通项公式34题型五通过ar1与Sn关系求通项公式45二、分层训练：课堂知识巩固67一、分类题型题型一公式法求通项公式一.公式法求通项1 .使用特征：前n项和与项数或项的关系2 .公式为：通项=前n项和前nl项和3 .解题思路1 .记S“为等差数列q的前项和，若S4=g=2,则q=()A.10B.8C.10D.8【答案】D【分析】根据等差数列等差中项与前n项和性质求解即可.【详解】由S4=Ss=20,可知$5-$4=%=0,因为5%=Ss=20,所以%=4,2%=
2、%+%=8.故选：D2 .已知等差数列%中，6=-24,%。=-48,则首项q与公差d分别为()C. -19,-2A.-18,-2【答案】D【分析】由题意列出方程组，即可求得答案.【详解】设等差数列凡的公差为d,a.+5d=-24a.=-19依题得向解得11a+29f=-48J=-I故选：D3 .记数列/的前项和为S“，若等差数列1的首项为5,第4项为8,则。=.【答案】23【分析】法1,设出公差，从而得到方程组，求出公差，进而得到S“=/+4，利用q0=S0S9求出答案;法2：设出公差，从而得到方程组，求出公差，进而得到S.=+4,从而得到2时，勺的通项公式,得到%.【详解，法1：设等差数列
3、*的公差为d,则5 &T - - -1 邑4解得d = l,S、所以-2=5+(-l)d=5+(-I)Xl=+4,所以S”=(+4)=2+4，n所以o=SoS9=MO117=23；件=5法2：设等差数列的公差为，则!c,解得d=l,邑=&+34=84 1C所以一JL=5+(-l)d=5+(-1)1=/7+4,所以SzI=M+4)=/?+4，n当2时，%=S“-SI=G2+)一(-1)2+417)=加+3，所以qo=2xlO+3=23.故答案为：234 .若等比数列/的前项和为S”，且满足S.=%+-3,则数列/的通项公式/=.【答案】32-,【分析】由题意当=1时4=/，当=2时d-2g=0,
4、解之可得夕;2,结合等比数列的通项公式即可求解.【详解】由题意知滔等比数列满足S.=%+-3,设其公比为巩则gx且夕为1,当=1时，S1=a2-3,即=。2-3,得q=j,当=2时，S,=%-3,即4+出=3-3,+-=3,q-q-q-即m=Tfi,整理得22夕=0,由4*解得9=2，所以4=7=3,所以QltF尸=32Tq故答案为：32w-,5 .已知数列q满足6=1,%d=%+l(/2N,71),则为=.【答案】【分析】由题意得到4为等差数列，公差为1,从而求出通项公式.【详解】因为%z=,+l(N,1),故%为等差数列，公差为1,所以=1+(-1)x1=.故答案为：6 .设等差数列的前项
5、和为S”.已知出+4=2,59=-18.求知；(2)当为何值时，ISj最小？并求此最小值.【答案】生=13-3/1(2)8,4【分析】(1)设等差数列为的公差为d,由/+4=2,Sg=-18求解;由ISJ =抓23一3)卜；w(23-3?),w 7,分7, ”8,利用二次函数的性质求解.-n(3n-23)tn8【详解】(1)解：设等差数列&的公差为力又出+% = 2, S9 =-18,所以 2q + 64 = 2,9tzl+36 = -18,解得 = 10, =-3 ,所以qf = + (一l)d = 133/7 ；w(23-3w),w 7(2)由得M =驷23-3)卜;3(3 -23), 8
6、当方7时,23 n529 + 24当1“3CN时，7；递增，当47eN时，7；递减，又（=10,4=7,所以看的最小值为7；当8时，7=；（3-23）=H-K）-鲁，7；在8,+oo）上递增，又=4,所以1的最小值为4,综上:ISJ的最小值为4.7.在等差数列q中，%=7,%=9（1）求”的通项公式；（2）求%的前项和S”【答案】（IM=2+3（2）S=w2+4w【分析】根据等差数列的通项公式，前项的和公式可对（I）,（2）求解.【详解】（1）设4的公差为d,由：t71=5d=2所以：ctn=1+(n-)d=2n+3,故：数列%的通项公式：勺=2+3.（2）由等差数列前项公式：Sf=+当心，z
7、ctC-1).n(n-),得：Sn=nal+-d=5?+-2=n2+4?故：数列q的前项的和：S.=1+4.8 .已知数列加,但满足=4,=-2,且应是公差为1的等差数列，%+“是公比为2的等比数列.求/，帆的通项公式；(2)求也的前项和7；.【答案】(IM=+3,bll=2n-n-37；=2加上-久-222【分析】(D结合等差数列和等比数列的通项公式求解即可：(2)根据分组求和即可.【详解】(1)根据题意，可得%=4+(-I)XIK+3,所以%=+3,zcN,所以见+“=2x2=2,所以二2-3,neN*，(2)由(1)知，=2rt(+3),=2JJF2.229 .已知等差数列%满足4+%=
8、4,且外,包,%成等比数列.(1)求”的通项公式；(2)记4为数列4前项的乘积，若40,求的最大值.【答案】(l),=2或%=2-11(2)945【分析】(I)利用4+%=4,和a”4,%成等比数列结合等差数列和等比数列知识，从而求出首项和公差,从而求解.(2)根据(1)中结果并结合题意进行分情况讨论，从而求解.【详解】(1)设4的公差为d,由4+%=4,得：2+lk=4;由q,4吗成等比数列，得：夕；=牝，即：(q+3d)2=q(q+44),整理得：d(2q+9d)=0.解得:4=2d = 0或2a+llt=4rhJ1Hld(24+9d)=0所以：为的通项公式为凡=2或凡=2-IL(2)因为
9、0,所以：an=2n-,得：当5时，ar0.从而7；(0,功0/0Z0Z0,10,且4=1,a2=b”ai=b5f%=%.求数列6与也的通项公式；(2)设数列q,对任意eN*,均有力+2+2+4=成立，求,的通项公式.aa2a3an【答案】4二2-1,an=3n-11,=1G=I2x3。22【分析】(1)设等比数列叫的公比为夕，根据己知列出关系式，求解油IM=2,进而得出4,的项，进而得出夕，即可得出q的通项公式：(2)根据前项和公式以及通项之间的关系，即可得出色乜=+=2,从而得出Cm=2用，得出c”的。”+1表达式，然后求出G的值，检验即可得出答案.【详解】(1)设等比数列4的公比为夕，由
10、题意，b2=a2fb5=a3fbl4=a4,所以质=4%，即(1+4疗=(1+4)(1+13),解得d=2,或d=0(舍去),所以=1+2(-1)=2-1.所以42=d=3,4=4=9,所以夕=史=3,q=1,%q所以=lx31=3E.(2)由题意,=,a+ -+ =+, % a2an %-得所以c”+is = +1- = 2, an+l=,所以=1=2x3T(之 2).当 =1时，由，=4可得q=l不满足上式.所以c. =1, = 123nn211.已知等差数列%的前项和为S”，且，-S2=7q, 55=30.(1)求数列m的通项公式凡;(2)设数列2的前项和7；1。82(川-加)，对任意的
11、【答案】(1)4=2N恒成立，求实数?的取值范围.(2)(-,-lp2,+oo)【分析】(1)利用等差数列前项和基本量运算求得4 =d = 2,即可求解通项公式:(2)利用裂项相消法求得北，利用恒成立转化为对数函数不等式，求解即可.【详解】(1)设等差数列的公差为一,则由 Sf=7q, S5 =30,得(a%)：?。解得 4=d = 2,所以, =2 + (-l)x2 = 2，即q=2./ 、 , 1 1 1由可得SL小+I),所以=而而=7,易知在W单调递增，当趋向正无穷人时，4无限趋向于1,所以由1Iog2(,-w)Ww2-w2解得一1或加2,即实数机的取值范围为（-8,-lN2,+）.1
12、2.已知等差数列%满足。2+%+6=15,SS=I5.求%的通项公式;（2）已知求数列=粤，求何的前项和S2【答案】（1）勺=【分析】（I）根据等差数列通项公式和求和公式基本量计算出公差，求出通项公式;（2）利用错位相减法求和【详解】（1）%为等差数列，设出公差为d,因为+%+4=3%=15,所以%=5,因为Ss=15,所以5（%+%）=5。=15,所以%=3，2所以2d=5-3=2,所以d=l,所以%（-3）d=3+w-3=；（2）由（1）知见=，所以喙=，仁口、JC123n所以*=5+齐+声+，山2GIClIl1所以S”S”=+r+-r+2222232n2,h所以上S“=2”所以S,t=2
13、13.设4是等差数列，也是等比数列，且=4=%-62=%-4=1.（1）求/与也的通项公式;设4的前项和为s“，求证：n+1)=Sn+l+1-%;【答案】(IH=2-1,=2b,.(2)证明见解析【分析】(1)设等差数列勺的公差为d,等比数列4的公比为4，由题目条件可得d=g=2,即可得答案；(2)由可知，所证结论等价于=Se-，而这显然正确，即可证明结论.【详解】(1)设等差数列&的公差为d,等比数列的公比为必*,=b、=%-A=%-b=I,.1+d-夕=1,+2d-q2=,解得d=g=2,.art=l+2(-l)=2n-l,=2rt,.(2)证明：-L=20,要证明(SN+1)=5+1+1
14、-Snbn,即证明.I+%“)=2S向也-S也，即证明St+J=2SS”,即证明QN=SM4-S11,由数列的通项公式和前项和的关系得：%=Sn-S.,+1)=+-.14 .已知数列凡是公差不为零的等差数列，为=5,且$7=49.(1)求数列6的通项公式；(2)若数列I一J的前项和为7；.IaMl+J【答案】(IM=21【分析】(1)设出公差，结合等差数列通项公式和求和公式得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式;12w+1,利用裂项相消法求和.【详解】(I)设公差为d,d0,a+2d = 57q+21d = 49,=1d = 2故勺=q+(7-l)2024,求的最小值.【答案】(1)4=2x
15、3，Sn=3n-.(2)7【分析】(1)根据等比数列的通项公式以及求和的定义，建立方程，求得公比，可得答案;(2)根据对数的性质，可得答案.【详解】(1)设等比数列4的公比为9,由数列%是递增数列，则q,由,=6,I1J1=,ai=a2q=6q,由S3=q+。,+%=幺+6+何=26,夕夕夕整理可得为2T%+3=0,贝j(3q-l)(g3)=0,解得夕=3,易知可二。2广2=6、3”-2=2、31,S=!匕)=也111=3-1.1-q1-3(2)由(1)可得：5n+11=3rt-1+23n-,=53fl-12024,整理可得5x3T2025,3n-405,36-,=243(405,3=729)
16、405,故的最小值为7.17 .已知数列%是等差数列，且出=-25,2%+牝=-50.求上的通项公式；(2)若数列6的前项和为邑，求Sn及其最小值.【答案】%=5-35(2)Slf=g(一一攀，最小值为-105【分析】(1)设凡的公差为d，即可得到关于、”的方程组，解得修、d,从而求出其通项公式;(2)根据等差数列求和公式计算可得.0矛盾，舍去,3=一一当=1时，勺=蓑0恒成立，满足要求，故/(N)(2) .S,=l+2(j+3Uj+(ms=1+2l+(/呜)+()；219 .己知等差数列勺中，a2=3,公差dHO;等比数列中，“=%,A是牝和生的等差中项，4是卬和。2的等差中项.(1)求数列
17、q,的通项公式;(2)求数列%+“的前项和S.；记cn=an-，,比较cm+1与j的大小.【答案】（1）勺=2-1,H=/1/）：S0=W+8（3）c2cl,当“2时，cn+lG,当2时，*【详解】（1）因为%=3,4=出一=3一d依题意忸=%+%=3+3+d,Ih2=1+=3-d+3故=,A=,由f=Zj得/-2=0,解得d=0或2,因为d0,所以d=2,a=3-2=1,故见=+(-1)4=12(-1)=2w-1,+4.(1_,6+d.其中“=一丁=2,A=F-=4,故公比g=；,222所以=4(g):(2)a+=2w-l+4故Stl=a.+h.+a,+Z,H-a+bn=1+3+2/-1+4
18、+2+411Iizz11n.普4弊L叫）2e,2n-2+1cn=anbn=1=%+色+】=2所以%+I-C”2 + 1 2-12-223当=1时，C2-C10,当2时，c+1-,0,所以当2时，c+1Cn.20 .递增的等差数列4的前项和为S,已知S3=2%+13,且%-2是q和牝的等比中项.(1)求/的通项公式；(2)若4=!,数列也的前项和为7；,证明：Tn0),依题意有/八2/,、，解出和d,即可得q的(al+2d-2)=a1(a1+Ad)通项公式；(2)根据数列的通项，利用裂项相消求前项和，可证得不等式成立【详解】(1)设凡的公差为d(dO),因为S3=2%+i3,所以如+3d=2%+
19、13,即6=13-3.又03-2是q和内的等比中项，所以(%-2丫=qli,即(4+2d-2)2=%(q+4d).将q=13-%代入整理得2+-2=0,解得4=3或d=-4(舍去)，则q=13-3d=4,an=ay+(n-)d=3n+.(2)址明：由(1)可得，=(3+1)(3+4)(3+7)=W(3+1)(3+4)一(3+4)(3+7)1(3+ 4)(3+ 7)J1_J1_12870+70T30+,+(3+1)(3w+4)1=61168=128X1 - 6an+【答案】4=33KT【分析】（1）设qj的公差为d,由q,%，旬成等比数列，求出公差d，可求4的通项公式;（2）由数列4通项特征，利
20、用裂项相消求前项和人【详解】（1）设血的公差为d,因为6，成等比数列，所以；=%为，即（/+2d）2=%（q+84）,又工0,所以d=q=3,故勺=%+(-l)d=3.（2）由（1）可得,3 (w + l)则 7； = 3022 .已知等差数列%满足4=6+%，且与内的等差中项为5.（1）求数列”的通项公式：（2）设4=一（N）,求数列4的前项和7；.anan+l【答案】（IM=2+1北=3（2+3）【分析】（1）利用等差数列的定义及等差中项的应用计算基本量即可;（2）利用裂项相消法计算即可.【详解】设等差数列为的公差为,.。6-。3=3d=6,td=2,又.q与内的等差中项为5,a2=5=a
21、i+d,解得q=3,：,数列%的通项公式为勺=2+1(N)；zr111(111(2)由(1)得“=C口Qq=77T7，0na,1+1(2n+)(2n+3)22n+12ji+3J,1/1111111122135572w+l2/?+3j=lfl_1L2U方+3广3(北+3)23 .若数列加是公差为2的等差数列，数列2满足A=1,4=2,且。也+二也求数列%,也的通项公式;（2）设数歹Ij包满足Cn=2,求数列r的前项和4.a,I【答案】（IM=2一1,=2n-T=4-券【分析】（I）应用已知得出生根据等差等比通项公式计算即可；（2）应用错位相减法计算求解.【详解】（1）Y数列4满足伪=1,b2=2
22、t且也+”=地4+l=2,解得=1.又Y数列血是公差为2的等差数列，%=1+2（-1）=2-1.2叫=电2=如,.数列他是以1为首项，2为公比的等比数列，即=2T.（2）数列%满足,=2=二台，7Tt7数列匕的前项和北=1+:+券，.112n-n,一Tn=I7+THr22222-2两式相减得P=I+；+*+上=-r=2-等-，1 2.7；=4-七/n2”一题型二累加法求通项公式二,累加法求通项1.使用特征：a后-a前=f（n）表示含n的式子1 .已知数列应满足4=1,%=%+3-2（心2）,则%的通项公式为（）【答案】C【分析】利用累加法结合等差数列求和公式求解即可.【详解】.4=l,%=%+
23、3-2（“2）,.%-%=3-2M2）,:,4“=（”一%-1）+（4-1一4-2）+.+（/）+4=(32)+(35)+4+1=(3-2)+U=32-,22故选：C.2 .已知各项均为正数的数列叫满足-%=2，,=13,则亍取最小值时，=()A.3B.4C.5D.6【答案】B【分析】由数列递推公式，利用累加法求出数列凡的通项公式，代入子后构造函数利用单调性求最值.【详解】由已知可得q,-%=2(-1),an.1-a.2=2(/7-2),，a3-a2=22t%一4=2x1,将上面式子左右两边分别相加可得凡一%=2(1+2+一1),.an=-w+13,.A=/+-1nn131R,产M)=IT,当
24、il时，产()为减函数，”11时，尸()为增函数，且CN*,又尸(3)=5,尸(4)弓,且尸(3)(4)F(w)F(4)=,故当=4时，?取得最小值.故选：B.3 .设数列叫满足=2,且。如一。“=+2,则数列的前9项和为()343A.110343B.220343C.330343D.440【答案】【分析】应用累加法求q,的通项公式，再由裂项相消求数列，的前9项和.【详解】1所以一an由题设，一七2)十一生-q)+q2二211n(n+3)3nn+3(w+4)(w-l)?(+3)1七-三11111-I-+H425912(Illll33(,故选：C4 .已知数列4满足q=1,/一I=MMJ+N),则
25、凡等于()D.2n2 n+ 2【答案】D【分析】由己知得-一=，再由累加法可得答案.。”+1an【详解】由题意，得-=,则当2时，%11,11C11,二-1,=n2,L,=1,an-an-2a2a以上各式相加得所以-=1+2+(/?-1)=(w2),anq“1(T)1n2-n+2所以一=：，+1=,4222即E当=1时，6=1适合此式,所以见2_ n2 -W + 2故选：D.5 .已知数歹J3满足q=L%+=。一，则/=.答案f2+22【分析】利用累加法结合等差数列前项和公式即可得解.【详解】由。1=为一，得知+-。”=一，当2时，an=(a-.1)+(,1-6fn-2)+(a2-671)+1
26、-(/!-l)-l(w-l)_n2+n+2=+1=22当=1时，上式也成立，所以可-2 + + 2故答案为:2-n2+n+26.已知数列%满足。向一4=31(1+1W故答案为：L27 .若数列（满足：ai=f。向=4+2,则数列4的通项公式为%=【答案】2-1-1+2h【分析】用累加法可得答案.【详解】由1=4+2,得4+凡=2”,所以当2时,an=（勺一勺）+（%一%一2）+（%，）+4=2-，而=1满足上式,所以=2T.故答案为：an=2n-.8 .已知数列%满足：。用一%=+1(N),数列的前项和为S”，则满足S.(的的最小取值为.【答案】7【分析】利用累加法可取得数列4的通项公式，利用
27、裂项相消法求出S.，然后解不等式S.3,即可得解.【详解】因为数列应满足：6T,=1,/+l4=+1(N)当2时，an=ai+(2-a1)+(ay-a2)+-an+)=h-2%+=q=l也满足%=当D则占扃所以,2_2_2 n +1n+12/77由反二右之可得7故满足条件的的最小值为7故答案为：7.9 .已知数列3满足q=33,且-4=2，求亍的最小值.21【答案】y【分析】由数列递推公式得a.=/-+33,则=+更T255+l,又因为N所以的最小值nnn为ming令=minB=.【详解】由题意，,G?+1),=1+21+22+2w=33+2-=京+3S,2则%=2-+33,当=1时，上式成立
28、，由于o,所以2=+史一i255+i,wn当且仅当=后时，取得最小值，但N,由对勾函数的性质可知，所以的最小值为ming,今=mingB=则区的最小值为M.n210 .在数列忆中，6=2,且勺=%+ln(l+j,求数列(的通项公式.【答案】a=2+nn【分析】根据已知，利用累加法求数列凡的通项公式.【详解】由题设-%=ln(卓)，所以q=(%-%_1)+-+(生)+41=加(+.+ln+2=2+lnKn2,显然q=lnl+2=2满足上式,所以aa=2+ln?11 .已知数列%满足。=%+3-2(N+),且q=1,求数列应的通项公式.17【答案】=2-+3(wN+)【分析】利用累加法求解即可.【
29、详解】因为见+=。“+3一2,所以%-=%一5(“2),，a2-ax=1,所以3丁1.(一)(2)(累加)，1 7又4=1,所以凡=2一金+3(2),2237因为当=1时，一xl+3=l=q,2 23 7所以勺=-/一一+3(nN+).2212 .己知数列%满足%-。2=白(22),且q=：，求数列,的通项公式.【答案】氏=07?(eN+).2(+1)【分析】利用累加法以及裂项相消法求解通项公式.【详解】由题意得勺-%=Jr(n2),n-1r11IHJa2-a-22_a3a232_,，anan-_所以n-1个式子累加得q-q=1+工，因为，!j(iHi)J-l(7-l)(zl)2(-l)(w+
30、l)2U-l11+1J,111所以/一/=为+E=1(1-1+1-1.J-(心2),2324/1-1/7+12(2nn+)42n(n+),1-,32+112n2-因为=7,所以凡二一TTTTT+l=TTn(22),442w(w+1)42n(n+)又当=1时，H=4,所以%=R7?(N+).21(1+1)427(w+I)13 .在数列4中，q=l,an-an-x=n(n2).(1)求4的通项公式;(2)若记数列也的前项和为7；,求7；【答案】(1)生=吗4In-7w+1【分析】(1)根据累加法求%=当W(2),并验证=1的情况即可;(2)根据裂项相消法直接求和即可.【详解】(1)因为凡一%_=M
31、2),所以2-4=2,ay-a2=3an-an.i=n,各式相加，得i=2+3+”=(l)(2)八一222所以q=号2+4=岑D,2,当=1时，al=1满足上式，所以4的通项公式为q=当R(2)由(1)知，blt=L=1=2p-,ann(n+)nn+lJ14.若在数列“中，1=1, an = an + n2,求通项凡.【答案】2z3 -3n2 +/7 + 66【分析】利用累加法求通项公式即可.a2-a=I2,a.-a1=22i【详解】由=”+/,得二。“一=(1)2，以上个式子相加，又+22+32+才=(+1)(2+1),6所以e=l+F+22+32+(-1)2=1+(蜉-1)=23-3+61
32、5 .在数列6中，6=3,an+l=an+-求通项公式a”.n(n+1)【答案】a=4-l.n【分析】由递推公式可得J-二,再利用累加法即可得胀nM+1【详解】原递推式可化为=%+，-、，n+11111c,4=3+7-7,，/=%-+7一，34M-In逐项相加，得%=%+l-,n故%=4-.n16 .若在数列4中，q=l,an+l=an+n,求通项凡.【答案】/=wF三.2【分析】由。2二可+得。向-q=，利用累加法即可求解.【详解】由+1=(+得/+%=，凡一勺-1=-1，一见_2=-2，,a2-al=t将以上各式相加得：an-a1=(-l)+(w-2)+.+l,又=1,.w(-1),“22
33、.a=+1=.“2217 .已知数列%满足q=1,an+-an=n+tweN*.(1)求/的通项公式；1 1I-(2)证明：一+,2.aa2%A公en(n+l)【答案】(1)4=:(2)证明见解析【分析】(1)由递推关系利用累加法即可求出通项；(2)结合(1)的结论，利用裂项求和公式化简后即可得证.【详解】由。1=1，%-%=+l得，当2时，%=(%一%)+(%-%.2*-+2-4】加%=w+(w-1)+(/2-2)+2+I=),当=时，满足条件，故SJ的通项公式为q=岑D.(2)由(1)得L=-+-+=2l-+-an(w+1)nw+lala1an223n418 .已知数列%中，=l,=%+MeN),则氏=,an=.【答案】110-22【分析】应用累加法求通项公式，进而求第5项即可.【详解】依题意，N,n2ran-an_x=n-,而4=1,则为=%+(W)+(4%)+3_%)=1+1+2+(-I)=IJMF)(w-i)=:+2,%=1也满足该式,所以勺=土尸2,a5=ll.故答案为：11；I-22题型三累乘法求通项公式三.累乘法求通项1.使用特征：包i=f(n)含有n的式子a前1 .已知数列%的项
