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1、微专题15指数函数及其性质【方法技巧与总结】知识点一、指数函数的图象及性质:y=ax0vl时图象图象IZ(o,i)Z-2二刊o?A-定义域R,值域(0,+)性质=l,即X=O时，y=l,图象都经过(0,1)点优=。，即=l时，)，等于底数。在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数XVO时，axx0f,0优1XVO时，0at0时，axI既不是奇函数，也不是偶函数知识点诠释：(1)当底数大小不定时，必须分和“Ovavl”两种情形讨论.(2)当OVaVl时，x+oo,y-0;当白l时x-co,y0.当l时，的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快.当0vl时，。的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度
2、越快.(3)指数函数)，=与y=的图象关于y轴对称.知识点二、指数函数底数变化与图像分布规律y=，y=bx,y=c,y=,则：Obad)时，bxaxdxaxdxcx(2)特殊函数【题型归纳目录】题型一：指数函数的图象基本性质：定点、对称性、单调性题型二：指数(型)函数的单调性应用(1):复合函数的值域问题题型三：指数(型)函数的单调性应用(2):复合函数的单调问题题型四：指数(型)函数中的奇偶性及与单调性的综合【典型例题】题型一：指数函数的图象基本性质：定点、对称性、单调性例1.已知函数/(力=少-4的图象关于直线x=2对称，则=()A.1B.2C.0D.-2【答案】B【解析】函数)，=2N的
3、图象关于)，轴对称，将函数丁=则的图象向右平移2个单位长度可得函数)，=2k7的图象，所以函数y=2T的图象关于直线=2对称，故。=2.故选：B例2.已知函数/U)=2若实数,c满足b2值范围为()A.(4,8)B.(4,16)C.(8,32)D.(16,32)【答案】D【解析】作出函数/(x)的图象，如图,当v时，/(x)=2x-l=l-2x(0,l),由图可知，/（八）=()=(c)(0,l),即4-c(0,l)得3c2vlog2x,则X的取值范围为()A.(3,4)B.(4,+oo)C.(0,2)D.(1,2)【答案】D【解析】在同一平面自角坐标系中作出函数V=2x,y=2y=log?x
4、的图象如下图所示,数形结合可知：当l2xlog2x,的取值范围为(1,2).故选：D.变式1.(多选题)已知f(x)=,则方程f(2N-2)-a=0(awR)的根个数可能是()XXSUA.3B.4C.5D.6【答案】ABD【解析】令州-2=d-1),在同一坐标系中作出函数y=Q)(fT)和直线y=。的图象，分析/-a=0的根：当时，方程W-=0有一个根4,且42,方程泄-2=小对应2个X,故方程2IM-2)-=0(wZ?)有2个根；当=10寸，方程/一。=0有两个根6=T,f?=2,方程州-2=大对应1个孙方程川-2=，2对应2个4,故方程/(2M-2)-=0(eR)有3个根.当OVaVl时，
5、方程一。二0有三个根T1.0,Gl,t3D.OGel【答案】BD【解析】观察图象得，函数f()=-b是单调递减的，因此，00仃：Oyol,而X=O时，y=-bf于是得Ovl-b2B.3atZR,使得0+8lC.2+2=2D.a+b2J2“2”=26工，所以2+z*vl,则+h。)上则一+i最小值为q【答案】【解析】当x=l时，y=+l=2,.y=优-I过定点A(l,2),又点A在直线nv+y=3上，,m+2n=3,即(?-1)+2=2,rn,nO,.n-0,12+tn-n；(出+淤-2)中5+2n9=-(当且仅当含:中，即加=(时取等号),9故答案为：.变式5.函数y=/-，+7(a0,且4W
6、1)的图象恒过定点P,尸在基函数/(x)=f的图象上，则了【答案】27【解析】因为函数y=r+7(。0,且l)的图象恒过定点户,所以由指数型函数性质得尸(2,8),因为尸在弃函数/(X)=/的图象上所以2。=8，解得。=3,所以/(x)=f,/(3)=27.故答案为：27变式6.函数y=(o.5-8户的定义域为【答案】(Yo，-3)【解析】因为y=(05-8)T10.5a-8所以0.5A-80，则2-t23,即一x3,解得xv-3,故函数y=(0S-8)T的定义域为(-8,-3).故答案为：(-8,-3).变式7.已知函数f(x)=h-a的定义域为2,+co),则=【答案】4【解析】由题意可知
7、，不等式2:。“的解集为2,+00),则22-=0,解得a=4,当=4时，由2-40,可得24=22,解得x2,合乎题意.故答案为：4.变式8.已知函数,/(%)=OV+力(。0,a).(1)若大幻的图象如图所示，求出力的取值范围；(2)若兀r)的图象如图所示，1U)=m有且仅有一个实数解，求出?的范围.【解析】(D由危)为减函数可知4的取值范围为(0,1),又型)=1+XO,所以b的取值范围为(一co,-1)；(2)/的图象过点(2，),(，-2),所以+b=0a+b=-2解得=3,b=-3,所以f(X)=(G)-3,在同一个坐标系中，画出函数y=l()l和y=m的图象，观察图象可知，当机=
8、0或m3时，两图象行个交点，若l()I=帆有且仅有一个实数解，机的范围是：m=0或n3.题型二,指数(型)函数的单调性应用(1)：复合函数的值域问题例4.函数丁=42川+3的值域为一.【答案】(3,+)【解析】令2p0),.函数=4+2向+3(工/?)化为/(r)=f2+2r+3=(r+l)2+2(r0),(r)3,即函数y=412r+,3的值域为(3,+).故答案为：(W-)例5.函数y=g)*+2的值域为()A.,+)B.(,-C.(,2D.(0,2【答案】A【解析】函数y=g)+2，定义域为R,-x2+2x=-(x-1)2+11,又函数)“在R上单调递减，则严山W，所以函数)，=()-2
9、+2x的值域为g,+).故选：A例6.已知/(6=22029-2*+1(其中eR且。为常数)有两个零点，则实数的取值范围是【答案】（4,+）【解析】设f二2*（0,”），|（力=221+2川一。2+1有两个即方程产+（2-）+l=0有两个正解，=（2-a）2-40所以+q=20,解得a4,r1r2=lO即（4,+）,故答案为：（4,F8）.变式9.函数/*）=9-t+Ql+（在T*o）上的值域为.【答案】(44【解.析】人+0+：=（川+3出+：.xw,+oo）则令r=（g）（0,3y=r+3f+（在（0,3递增（375.,.ye7,v144故答案为：fpT-144变式10.方程2+3X=A的
10、解在。，2）内，则Z的取值范围是.【答案】（5,10）【解析】令y=2+3x,x（l,2）,显然该函数为增函数，2,+31=5,22+32=1O,值域为（5,10）,故50）的值域是【答案】（0,2）【解析】令，=2（0,l）,则y=+z,因为函数y=+f在(0,1)上单调递增，所以y=+f(o,2),故力的值域为(0,2).故答案为：(0,2).变式12.已知函数/(x)=ax+b(0,I),其中,b均为实数.1若函数/(x)的图象经过点A(0,2),B(1,3),求函数y=7(m的值域;(2)如果函数/(x)的定义域和值域都是1.1,0,求a+力的值.l+b=2a+b=3【解析】(1)函数
11、/(x)=ax+h(40,a)f其中,力均为实数,函数/(4)的图象经过点A(0,2),B(1,3),a=211bi，函数/（X）=2x+,函数1.11、1又K亍=2o,故函数y=j亍的值域为(0,1).(2)如果函数f(X)的定义域和值域都是1.1,0,若1,函数/(x)=Ol+6为增函数，.彳。,求得、无解.1+=0-b=0a=若OVaV1,函数/(x)=x+b为减函数，/.a,求得，2,1+/?=-1b=-2皿3a+b=.2变式13.已知函数/(=2小4叫(1)当。=1时,求/(X)的值域；(2)若/(力有最大值16,求。的值.【解析】(1)当。=1时，x)=2Mx+2因为y=2，在R上
12、单调递增，y=2+4x+2=(x+2)2-2-2,可得2/+22-2=l,所以/(力2=；,故f(x)的值域为j+8).(2)令，=公2+41+2,因为函数y=2，在其定义域内单调递增，所以要使函数/(力有最大值16,贝h=0+4+2的最大值为4,0且0Hl)的图象经过点(-2,16).(1)求，并比较f(m2+3与/(?-1)的大小；44(2)求函数g()=*+2i的值域.【解析】(1)由已知得：4=i6,解得“4,所以7117在R上单调递减，(w2+-)-(n)=m2-m+2=(m-)2+-0,4424所以/(w2+：)x-【解析】(1)由函数解析式可知：5,所以函数的定义域为:因为5x-
13、l0,所以363=1,因此函数的值域为：。,+):(2)由函数的解析式可知：函数的定义域为心23+2*+3,因为/+2+3=一3-1)2+44,所以OOM。l)是定义域R的奇函数.求&值；若/(l)0,试判断函数单调性并求使不等式/(V+)+(2x+l)0在定义域上恒成立的，的取值范围；Q(3)若/(I)=,且8(力=。2+。-2、-27科(力在l,+oo)上最小值为-2,求m的值.【解析】(I)/(x)是定义域为R的奇函数，/(0)=0,即ITI)=0,解得2=2；经检验成立(2)因为函数/(H=-0且Ql),X(l)0,:.aO又0,a.,.al,由于)，二优单调递增，J=。-单调递减，故
14、/(x)在R上单调递增,不等式化为/(x2+国/(-2x-l).:.xl+tx-2x-，即X2+(，+2)x+l0恒成立，=(+2)2-40,解得WV0；f()=a(3)由已知3,得=_即3/_8。-3=0,解得。=3,或“一一3(舍去),.g(x)=32v+3-2x-2w(3v-3-)=(3x-3-)2-2w(3x-3v)+2,令f=(x)=3-3r,是增函数，Q.x,/.r(l)=-,则yt2-2mt+2=(t-m)2+2g),QQ若m1,当/=n时，ymin=2-m2=-2,解得m=2“不成立；若mg,当，=前时，Xnin=IYm+2=-2,解得m=成立；25所以m=卷.题型三：指数(型
15、)函数的单调性应用(2):复合函数的单调问题例7.若函数/()=(g)S在区间(1,2)上单调递增，则。的取值范围为【答案】卜；【解析】因为函数y是实数集上的减函数,所以由复合函数的单调性可知，函数丁=-炉+4内在区间(1,2)上单调递减,函数y=-2+40r的对称轴为=24,且开口向下，所以有21,解得。的取值范围为t，故答案为：,8,；.例8.写出一个满足函数g(x)=在(00,+00)上单调递增的值-x+2XK在下列哪些区间内单调递减()A.y,3)B.(3,5)C.(1,3)D.(2,3)【答案】ACD【解析】由题意，函数y=g)在R上单调递减，又由函数)，=-/+6工_5在(y,3)
16、上单调递增，在(3,+oo)上单调递减，由复合函数的单调性可知，函数/(%)在(-,3)上单调递减，结合选项，可得选项ACD符合题意.故选：ACD.变式17.已知/(x)=(32+lxVl是定义域为R上的减函数，则。的取值范围是()A.I)B.p|jC.(E)【答案】B23d-20-【解析】由题意，,O1,故O11l,解得wp)3-2+l42al1.z3)故选：B变式18.若2A-2，则()A.RyD.M1【答案】A【解析】设函数/(X)=2-3T,因为函数y=2y=-3r都是实数集上的增函数,所以函数/(x)=2-3-，也是实数集上的增函数，由T-2y3-x-yy=2x-yx2y-3-y=f
17、(x)y,故选：A变式19函数y=5+e3的单调递减区间是()A.2,+oo)B.(-oo,2C.(-,1D.l,三o)【答案】A【解析】设4=一/+以-3,在(o,2单调递增，在位)单调递减，y=5在(to,+co)单调递增，根据“同增异减”可得，函数y=5*+4i的单调递减区间是+oo).故选：A.题型四：指数(型)函数中的奇偶性及与单调性的综合DX-1例10.已知函数”力=芸;(xR)为奇函数;(1)求实数的值；求/(力的值域；若关于X的方程2/(力-k-1=0(06丁=1-二，又函数y=2单调递增，目20，2所以2+ll,0-2,2+1所以Tf(x)l,即函数/(X)的值域为(TJ);
18、(3)由2/(力-/-1=(061)无实数解,即2(x)=Z+l无实数解，又2/(力-2,2),所以*+l-2或1.+l2,即b-3（不成立）,或il,又06O,wl)是定义在R上的奇函数.2a+a求。的值：(2)求函数/(x)的值域；当x(l,2)时，2+0(x)-2O恒成立，求实数?的取值范围.【解析】(1)因为/(力是定义在R上的奇函数,所以7(0)=2a4+J伫2=0,解得=2,72a0+aa+29x_19-x-11_9x当=2时，x）=7,此时/（T）=I=三=一/（力7t_1所以=2时，/()=三是奇函数.v,2v+l所以。二2：由可得HH宁二岛,因为2”0，可得2+ll,所以0不
19、1，2+12所以-2-不一0,2t+12所以7I0可得布.（0212,即m.21zl2X-2,可得用（2；2）（2+1）对于XWa2）恒成立,2r+l2t-l令2T=f（l,3）,则心（I）+2）.2+i,tt函数）,=+l在区间（1,3）单调递增，所以-2+i+-4例12.已知函数=（O且4l）为定义在R上的奇函数.2aA+a（1）利用单调性的定义证明函数/（x）在R上单调递增；求不等式/+2*+（a4）0的解集.若函数屋力=廿*（力-1有零点，求实数k的取值范围.4/（0）=1=0C【解析】（1）由题意得：2+,解得：=2,/（x）=1=1,23+22a+1任取司,电宠，且为七，22222
20、7+2_2勺_22*“_2*则/（八）-（工2）=1_2$+-1+2,+=2”+27+=（2+1）（2演+1）=Qq+1）（2+1）因为X，3R，且不当，所以2M_2&+i0,2tz1O,2t+,-2jr+,所以刈-“出)=所而西0即/(x2+2x)/(“4),2因为/(x)=l-鼻为定义在R上的奇函数，2+1所以/(x2+2)-f(x-4)=/(4-x),2因为/3)=1-为定义在R上单调递增，2+1所以“2+24-,解得：xl或XV-4，所以解集为：(YOT)U(I,);g(x)=好(X)-I=小-白)-i(3)I2+U有零点，当左=O时,g(x)=f(X)-I=T,没有零点,不合题意，舍
21、去；2I当A0时，即1一二一7=:有根，2x+lk2其中当x0时，2r1，2A+12,O12+12故/=(0)，2又因为f()=-k;在R上为奇函数，2x+l2,所以当冗,-I)U(I,欣)，所以实数2的取值范围为Ae(YO,-1)_(1,物).变式20.已知函数力，g(x)分别是定义在R上的偶函数与奇函数，且f(x)+2g(x)=2.求/(x)与g(x)的解析式；若对VX(1,2),不等式2力-(+2)履力+2.0恒成立，求实数用的最大值.【解析】(I)由题意)+2g()=2，所以/()+2g()=2,函数/(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数与奇函数，所以/(x)=(),g(T)=-g
22、(x)所以f(x)-2g(x)=2r，由解得/(x)=V二，g()=2p二；(2)对v%/1.2),不等式/(2力-(m+2)屋力+2.0恒成立，h1122x+22x/2x-2-xrC即(in+2)+2.02v,4令/二22,则22，+2%=/+2,不等式等价于与2-(加+2)；+2.0在Ze(I上恒成立，所以2+2,2，+勺,因为r0,0,t所以+4.26=2.当且仅当r=2即，=6(，?)时取等号，所以6+2黜卡,tn46-2,即闭的最大值为4#-2.变式21.设函数2一、(R,AZ).若人(同是偶函数，求实数A的值；(2)若存在x1.2,使得为+时(x)4成立，求实数，的取值范围.【解析
23、】(1)若(力是偶函数，则A(r)=Z(x),即2-+(l)2*=2+(l)2,即2：_2，=仕_1).2-*(4_1)2=(_1)(2_2，)，则AT=1.即2=2.(2)存在xl,2,使得Z)(X)+M(x)4成立,BPw2x4-2r+2-S-9x+9z、2则m2：=42-+(2-)-1,设f=2,因为lx2,所以;z,所以42、+(27)2-1=+4.1,4j=2+4r-l=(+2)2-5,因为:Vl;,所以当/=T时，函数取得最大值=；+2-1=(,则2,4所以实数机的取值范围为(y3.变式22.已知函数/(x)=2+Q2一、为偶函数(WR).(1)判断/*)在0,2上的单调性并证明；
24、求函数g(%)=-2mf(x)+4v+在-1,2上的最小值.【解析】(1)/(X)为偶函数，(x)=r),即2+2v=2+2,(l-a)2x=(l-a)-2xf则l-a=0,=l,所以/(x)=2+2-x./O)在0,2为增函数,证明如下：任取彳,，0x,x22,“为)一)=2+2-演-付+2一即)=2x-2与-2_=(2%_2)f1-=(2x-T-2x*2V-2”热J)2出.0x1x22,.2a,-2x20，.(2”-2应卜卞丁0即再)，二f在。2上单调递增.(2)g(x)=-2w(2a+2x)+4r+4117令f=2x+2=2+(xT,2),结合题意及(I)的结论可知f2,21.4,4+4
25、r=(2v+2x)2-2=2-2,.,.g(x)=(r)=r-2-2mt=(/-m)2tn1-2t2,?.当mN?时,min=y-yM;当2VaV：时，A(r)min=(?)=-nr-2；4当初2时，W)min=(2)=2-4”2-4mym217综上，g(Hmin=-*-2,2G”72571717m,m一1624变式23.已知函数f(x)=2E4zgeR)当=1时，/(的值域为；若/(的最大值为16,则。的值为.【答案】5+8)【解析】当=1时，/(x)=2?+4x+2,z=+4+2,Jz=(x+2)2-2-2,因为y=2jt在R上是增函数，所以尹心？2=；,即/(x)(,所以函数的值域是j+
26、；a0要使函数/(x)的最大值为16,则.=0+4+2的最大值为4,故,40x2-4?J解得=-2.=44故答案为：(-8)：2【过关测试】一、单选题1.已知函数Fa)=2vr2,所以,a-l,所以/()=/12=T,解得a=2.故选：B2 .设eR,则“|x-2|vl”是“3Z27”的()A,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由仅-2|Vl可知，-lr-2l,即Ia3,根据指数函数性质，y=3是RI二递增的指数函数，3x27KP3a33故x3,显然1令3可推出x3,但反之不成立，故1*-2IVl”是“327”的充分不必要条件.故选：A3 .
27、已知函数/(x)为R上的奇函数，当xO时，/(x)=3-,则/(x)O的解集为()A.-l,0)ul,+)B.-1,1C.-l,0ol,)D.-1,0)l(0,1【答案】C【解析】因为函数/(x)为R上的奇函数，所以/(0)=0，又当XVo时,Jf(X)=3g,当x0时，-x0时，/(x)=l-,x0卜VO3r03则由x)o可得，1或j1、八或X=0,解得x21或一IWX0或X=0,综上可得，不等式f(HO的解集为-l,()ul,s)故选：C.4 .若存在正数-使得关于X的不等式3(x-4)l成立，则实数。的取值范围是()A.3,+)B.-l,+)C.(-h+)D.(0,x)【答案】C【解析】
28、由题意知x-x-(gj成立.令f(力=x-,J,显然“力在(0,+)上单调递增，所以VX0,/(x)/(O)=-I,所以实数的取值范围是(-1.+8).故选：C5 .若实数,N满足2022+2023YV2022+2023则()X,A.-1yX,B.-OC.x-yO【答案】C【解析】令f(6=2022-2023：由于y=2022)y=-2023-均为R上的增函数，所以/(力=2022-2023T是R上的增函数.因为2022,+2()23-2022v+2023-，所以2022*-2023TV2022,-2023；,即/(x)f(y),所以/0且bl,排除选项C,如果0,二次函数的开口方向向上，二次
29、函数的图象经过原点，并且有另一个零点：X=-,所以B正确;对称轴在X轴左侧，C不正确；如果o,所以D不正确.a故选：B.7 .若25一”2-，一5则有()A.x+yOB.x+yOC.-yOD.x-yO【答案】B【解析】构造函数/(耳二2-5易得函数力单调递增，由2-5-2-5,可得/(x)(-y),-ynx+y0A.-2,1B.；,1C.(-,1D.p+j【答案】AxO当K0时，/(X)=-Y单调递减，且/(x)0,3-XO所以/一24-,解得-2l,即实数。的取值范围为：-2,1.故选：A.二、多选题9.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并
30、列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设XeR,用卜表示不超过的最大整数，则y=称为高斯函数，例如卜3.5=-4,21=2.已知函数/(X)=高一g(),则关于函数g(x)=(x)的叙述中正确的是()A.f(x)是奇函数B.屋力是偶函数C./(x)在R上是增函数D.g(x)的值域是TO【答案】ACD、ax12ax-axax【解析】A选项J(X)=我一厂不可=而下?f(ax1cx-=M(x)为奇函数，故A正确；B选项：g(x)=/a).g(i)=Hi),g()=(f,.x)为奇函数，/(X)=-r),.1)=-(T),g工g(),故B错误；C选项：W)TJl+ax2l+a2+ax22
31、+ax.优为增函数，.rJ为减函数，1+4f()=:-二为增函数，故C正确；21+6?D选项：,.,atO*；1+”1,71，-5/(%)D.0x2【答案】AB【解析】令2=f0,所以，不等式4,243+7=/-&+7=(f1一7)之0,解得r7或0112.若函数f(x)=心1r八对于R上任意两个不相等实数与与，不等式I4-kv+2,xl(X-9)/(%)-/仇)。恒成立，则实数的取值范围为.【答案】4,8)ax【解析】若函数f(x)=CC对R上任意两个不相等实数.3，4-万尸+2,xl不等式&-王)0(内)-W)0恒成立，则函数/(x)在R上单调递增，则a14-024-+22解得：40且1.
32、则函数y=(x)(x0)的值域是【答案】(0,2【解析】因为/(X)=(X0)的图象经过点(2,1),所以;=,解得=；,则f(x)=6)(x0),因为x0,所以x1-1,X-I所以0(g),使得/(x)40,所以/(x)=4x+E=4(x-2)+展+82.4(x-2).+8=12,Vx-2当且仅当4(x-2)=一二，即X=时取等号，x-22所以fCOmin=12,因为存在xw(2,+),使得/(x)4-2成立，所以/(x)而n4-2,即124-2J所以(2)2-2-120,即2-3(舍去)，或24,得“2,所以。的取值范围为内)，故答案为：+)15 .若函数/(力=3八WT)X+3在(e,1)上单调递减，则实数。的取值范围是.【答案】1-00,一|【解析】因为y=3是R上的增函数，y=x2+(加一l)x+3在卜8,一笥上单调递减，所以，根据复合函数单调性，要使f(x)在(Y)上单调递减，需-牛Ul,解得-g,所以，实数的取值范围是卜吟
