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1、微专题16对数函数及其性质【方法技巧与总结】知识点一、对数函数的图象与性质a0a图象Tr-N(i，o)O/(,0)?性质定义域：(o,+)值域：R过定点(1,0),即X=I时，y=0在(0,+oo)上增函数在(O,+)上是减函数当0xl时，y0,当XNl时，y0当OVX0,当XNI时，y0知识点诠释：关于对数式log.N的符号问题，既受.0.的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.以1为分界点，当,N同侧时，log”N0；当”，N异侧时，log,NvO.知识点二、底数对对数函数图象的影响1、底数制约着图象的升降.如图(1)(2)知识
2、点诠释：由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降(即函数的单调性)，因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于I,不要忽略.2、底数变化与图象变化的规律在同一坐标系内，当4l时，随的增大，对数函数的图像愈靠近X轴；当OVaVl时，对数函数的图象随。的增大而远离X轴.(见下图)抻大湍大【题型归纳目录】题型一，对数函数与对数型函数图象问题题型二：对数函数性质的理解与运用题型三：对数不等式的解法题型四：对数函数图象与性质的综合问题题型五，反函数性质的高级应用【典型例题】题型一：对数函数与对数型函数图象问题【解析】当x0时，/(x)=x+-,在X=I处取得最小值，排除C、D,
3、X当XCO时，Ax)=1.-X为减函数,故选:A.lgx,0102A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)【答案】C【解析】函数的图象如图所示,不妨设8c,则一Iga=Ig8=-gc+6(0,l),所以b=l,0c+61,2所以必=1,10c12,所以IoVHC12,【解析】由/(一为=Tlg21-I=rlg21XI=fM且定义域为xxO),所以/O)为奇函数，排除C、D：又f(；)=；log2l；|=-；lB.(-1)(Z-1)=1C.(-l)(-l)lD.以上选项均有可能【答案】C【解析】作出函数/(x)=Ilg(X+1)1的图象，如图:由题意可知，lg(a+l)
4、=lg(+l),且由图象可知，TOb,bO,所以即lg(a+l)+lg(Z?+l)=lg(a+l)(Z?+l)=O,所以(+l)(b+l)=l,pab-a+b=O,a+b=-ab,gJ(a-1)(/?-1)=/?-/?+1=l+2tb0,且)与函数)，=/-2奴+1在同一直角坐标系中的图象大致是()【解析】当时，y=log(+l)在区间(T,+)上单调递增，此时y=Y-2r+l的对称轴为x=(l),且对应方程的判别式/=4(/-1)0,故a、B均不满足；当OcbB.cabD.cba【答案】C【解析】由指数函数y=图象可知,由索函数），=/的图象可知，b0,由对数函数y=log,/的图象可知0c
5、b,故选：C变式4.设塞函数y=短,y=,y=B,指数函数y=。：,y=4,），=*,y=4：,对数函数y=log%苍y=g,2乂y=g,%，y=Iog匕X在同一坐标系中的图象如下图所示，则它们之间的大小关系错误的是（）.C.01h2hlD.b4bybxb2【答案】C【解析】对于A：要判断的是塞函数y=K的图像，根据y=V、y=/、y=/的图像可以判断c10c3lc2,故AiE确;对于B：要判断的是指数函数），=优的图像，作出广1,看交点，交点高，底数越大，所以0a4a3ala2t故B正确;对于C、D：要判断的是对数函数y=log；的图像，作出产I,看交点，交点越靠由，底数越大，所以0lo，若
6、关于X的方程“同=2（ZeR）有四个不相等的实根Xpx2,x3,X4,则为X2X3X4的取值范围是（）aH）bo）co【答案】D【解析】y=2f3x+2=2(x+,(x0),y=lg,xO,75由函数/（力的图象可知方程/（X）=机有四个不同的实根时2m?,O设y=m与y=_+书，（工O交点的横坐标为3,%4,则再0,X4l0,由IlgWlTlgXJ得Ig3=-Igz，X3X4=1,2JIo.xM24e1.io故选：D.变式6.当Oxv1时，16xlogflx,则的取值范围是A.(,1)B.C.(0,g)D.(0，；【答案】B【解析】当时，16el,2,log11xO,不成立，1111当Og0
7、且工1)恒过定点A(XO,%),且满足/叫)+%=l,其中a,n21是正实数，则二十1.的最小值()mnA.4B.22C.9D.2【答案】C【解析】由y=lg(Al)+l过定点(2,1),.21,C、/21、U2/w2-2m2nCxl.,.,2rn2n.1rtl1,a.u.+=(2w+w)(-+)=5+5+2J=9,当且仅当=即冽=；时取等号.mnmnnniynmnm3故选：C.变式8.已知函数y=log,1-3)+2(0且wl)的图象恒过定点P,点P在累函数y=/*)的图象上，则Igf(4)+Igf(25)=()A.-2B.2C.1D.-1【答案】C【解析】函数y=log,(-3)+2中，令
8、3=1,解得“4,此时y=log,+2=2;所以函数y的图象恒过定点尸(4,2),又点P在黑函数y=(x)=T的图象上，所以=2,解得根二0.5；所以/(x)=xs,所以lg(4)+lg25)=lg(4)(25)=lgl0=1.故选：C.变式9.已知4，4，/分别为方程2=lg巴fiy=Iog2X,(；)=IogjX的根，则七，X一看的大小关系为()A.A：,x3x2B.XiX2X3C.XyXX2D.X3X2X1【答案】A【解析】在同直角坐标系中作出函数y=2y=flT,y=log2%和尸咋尸的大致图像，如图所示.由函数y=2与）=lg;X图像的交点的横坐标为为，函数），=flj与Iy=Iog
9、2X图像的交点的横坐标为巧，函数y=（g与y=bg;X图像的交点的横坐标为七，知XX3W故选：A.题型二：对数函数性质的理解与运用例4.已知函数f(x)=m+k)gM2的定义域是1,2,且f(x)q3,则/的值域为()A.0,+)B.OJ)C.Ig2,lD.0,1【答案】D【解析】因为x-1.3,所以f+,o,所以/(K)=Igk2+)eo,故选：D例6.已知函数F(X)=W的值域为9则的取值范围是()A.1-00,2B.D.【答案】D【解析】由题意可得当x21时/(x)=lnx+l,所以/W的值域为口,+8),设XVl时，f()的值域为A,则由/（八）的值域为R可得(-J),l-2cr01-
10、2+31,解得Ovg,即0,|1.故选：D变式10.已知函数力=log2N,g(x)=a-2xt若存在5,Z1,2,使得/()=g(w),则实数。的取值范围是()A.(,2)j(5,+)B.(-,2kj5,+oo)C.(2,5)D.2,句【答案】D【解析】当lx2时，Iog21/(x)Iog22,gp(x)l,则/的值域为0,1,当lx2时，a-4g(x)a-2t则g(x)的值域为一2,因为存在多使得)三=go),IjliJa-4,-2O,l0若-4,-211OJ=0,则14-2,得5或2,则当-4,a-2O,lw0时，25,即实数”的取值范围是2,5,A,B,C错，D对.故选：D.变式U.己
11、知/*)=10电(x2-0r+)的值域为&且,在(-3,7)上是增函数，则实数的取值范围是2()A.20B.-3a0或42C.-20或4D.00在(-3,-1)上恒成立，则，2,解得白一1 +40综上，实数4的取值范围为-gO或4.故选：B变式12.=Iog080.9,Z?=Iog120.9,=1.2巴则,b,C的大小关系为()A.ahcB.acbC.cbaD.cab【答案】D【解析】O=IogOSIVa=1go,809Iog080.8=1,b=Iog120.91.2=1,4,b,C的大小关系为balog.30,则下列不等式一定成立的是()A.-B.(；)0D.2”1【答案】B【解析】IogQ
12、ZogJX),由换底公式,0hl,-*A选项错误；ab函数/(x)=6J为减函数，gj0,但。一匕1不一定成立，不能得到iog2(-b)0，C选项错误；2w-ft20=bD选项错误.故选：B变式14.函数y=log2(2x-J)的单调递减区间为()A.(1,2)B.(1,2C.(0,1)D.OJ)【答案】A【解析】由2x-o,得OVXV2,令t=2x-%2,则y=log2%=2x-f在(0,1)上递增，在(1,2)上递减，因为y=iog2f在定义域内为增函数，所以F=IogzQx-Y)的单调递减区间为(1,2),故选：A变式15.己知函数/(力=1“(6-奴)在(0,2)上为减函数，则实数，的
13、取值范围是()A.(1,3B.(1,3)C.(0,1)D.(l,+)【答案】A【解析】因为0,所以力=6为减函数.又由函数/(x)=log(6-0r)在(0,2)上为减函数,可得函数()=6or在(0,2)上大于零，旦l,故有tt0解得故选：A.变式16.设函数力=Ig(Y+1),则使得f(3x-2)f(x-4)成立的X的取值范围为()【答案】D【解析】方法一：.(x)=(x2+l).由3x-2)f(x-4)得lg(3x-2)2+llg(x-4)2+l,则(3x-2)2+1(x-4)2+1,解得x方法二：根据题意，函数x)=g(V+l),其定义域为R，有/(x)=g(f+l)=(x),即函数/
14、(x)为偶函数，设f=d+,则y=gf,在区间0,+8)上，r=+为增函数且r,y=3在区间1,+8)上为增函数,则/()=g(V+)在O,*)上为增函数，/(3x-2)/(x-4)=/(3x-2)/(x-4)=3x-2x-4,3解得x,故选：D.变式17.函数八6=唾_1(一/+31+4)的单调增区间为()【答案】C【解析】由一2+3+40=Tx4,二次函数y=-/+3+4的对称轴为：X=1，所以二次函数的单调递增区间为114)，递减区间为，4),而函数丁=Iogj/是正实数集上的减函数，根据复合函数的单调性质可知：2函数f(x)=lgj*+3x+4)的单调增区间为(|,4),故选：C变式1
15、8.若函数Fa)=M+log?/在区间1,2上恒有f(x)4,则实数的取值范围是()A.(-,2B.(YOC.+oo)D.(2,+oo)【答案】A(解析】因为f(X)=6+Iog2X2在1,2上单调递增.要使/(x)4恒成立;则只需/(2)4nm+24n机0,所以4=2.故选：C题型三：对数不等式的解法例7.已知函数/(力=1%2(工+1)-可，则不等式力0的解集是.【答案】(0,1)【解析】由题意log2(x+l)x0,则X+11,即x0,此时x+l2,而y=x+l、y=2*均递增，它们的函数图象如下：由图知：当OvxVI时x+l23当xl时x+l0的解集是（0,1）.故答案为：（0,1）例
16、8.已知函数/（外是定义在R上的偶函数，且在0,+）上是减函数，/f-J=0,则不等式/（1,8力0的解集为一.【答案】&2）【解析】/（）是定义在K上的偶函数，艮在0,+）上是减函数.-=0,-g）=0则不等式1。队力0等价为不等式嗔8力/（|，即log8xiIog8xx2,即不等式的解集为（g,2）.故答案为：（；，2）例9.己知函数/（x）=log2x-l,则不等式f（l）W2的解集为.【答案】-4,0）U（0,4【解析】由/（l-x）=log2WW2,得0l的解集为.【答案】（10,出）【解析】由lgx,有lglgl,根据对数函数的单调性有：x10,所以不等式的解集为(10,48)故答
17、案为：(10,).变式22.不等式叫“(47)一蜒尸的解集是.Q【答案】当时，解集为(0,2)；当OVaVI时，解集为(2,4)【解析】v-l0gx=10g,a.原不等式等价于log,(4-x)log,X,x0当白l时，4-x0,解得OVXV2.4-xXx0当OVaVI时，4-x0,解得2VV4.4-xTogx的解集为(0,2)；a当OVaVI时,不等式电(4-刈7叫”的解集为(2,4)a故答案为：当时，解集为9,2)；当0va0,且满足5325，则不等式Ioga(3x+2)0,且满足53.53，根据指数函数的单调性，可得为+24+l,解得00则不等式Iog.(3x+2)0,3x+28-5x即
18、不等式的解集为故答案为：(1)变式24.不等式】脸(4-3)工+1的解集是.【答案】(1%3,)解析Iog2(4-3)x+1即为4322,故(2，一22-3O,所以(2+1)(2-3)0即23,所以xlog23,故答案为：(Iog23,4co).变式25.不等式142卜2+1)2的解集为.【答案】(-71。)【解析】log2(x2+l)2:log2(x2+l)log24,所以V+1V4,解得：-Jxl的解集为R,则。的取值范围是.【答案】【解析】所给条件等价于此一的解集为R，即加_21+30的解集为R,由此可得:x-2x+50faO1AzIIo11解得：=4-12alog2(5-6)的解集为.
19、【答案】xgx0,【解析】解析：由,5x-60,2x+35x-6,3X2y解得,BPx3,故不等式的解集为但，VXV3.X3,故答案为：x|VXV3变式28./=；：，则不等式/(2r)/(幻的解集为一【答案】i【解析】由函数的解析式绘制函数图象如图所示,易知函数为偶函数，且在区间(0,+8)上单调递减,不等式的解集为：1的解集为【答案】出1或0时，函数/(力单调递增，/(1)=1,则不等式1的解集为Mi,故当XeO时，不等式f()l的解集为W%vT,综上，可得不等式/(X)1的解集为xx1或XV-1,故答案为：%k或-.3v+,(x0),则不等式/(力1的解集为一【答案】193r+,(x0)
20、【解析】/(x)=logX(x),1ojx+或logx1，I3解得一1vxO或Oxl的解集为故答案为：(TW).变式31.已知函数/(X)=,.teR,则不等式/(log,2)g的解集为.【答案】(0,1)(2,+8)【解析】易知/(x)=77eR为减函数，且/(I)=?=：，1+21+23所以/(logrr2)等价于/0。&2)/(1),所以log。21=Iogw22或04-3)恒成立，求实数。取值范围；(3)设MX)=Xx-2侬+1,若对任意的e0,3,存在x21,3,使得g(%)(占)，求实数加取值范围.【解析】由题意知，R)g2(2+1)-米-1呜(2+1)-履=0,即2kx-Iog2
21、(2-t+1)-Iog2(21+1)-Iog2；=-x,所以左=一：，故f(x)=l0g2Qx+l)-gx.由知，g(x)=f(x)+%(2*)+%所以g(x)在R上单调递增，所以不等式g(4=a2+l)g(-3)恒成立等价于4-2+l-3，Ax+4即恒成立.x44/444设，=2，则f0,-=!-=t+-4,当且仅当f=2,即X=I时取等号,2xtt所以4,故实数的取值范围是(F,4).(3)因为对任意的AiW0,3,存在巧41,3,使得g(Jg2),所以g(x)在0,3上的最小值不小于MX)在1.3上的最小值,因为g(x)=log2(2+l)+；X在0,3上单调递增，所以当0,3时，g(%
22、=g(0)=l,又z(x)=X2-+1的对称轴为X=jXl,3,当机1时，MX)在1,3上单调递增，(x)n,n=(l)=2-2ml,解得m2；,所以:m4I：2当lm2的解集；当xel,16时，求该函数的值域；若2,即21og%-log4x-30.3计算可得log,x1或Sg4XT,.,.0x84故解集为：-(Kr8./(x)=(21og4x-2)log4x+号=21og-log4x-l,xl,16(2) I,令f=IogA则z0,2力二2产一,一1=2,一：)-p1 9当f=:时,有最小值-W，48当时,有最大值5；9所以值域为-5.O_(3)令f=IogE,则问1,2,原式可化为相2-；
23、-1在f1,2上恒成立.记函数g(t)=2r-y-lir1.2上单调递增，g(f)1三=g(2)=,故加的取值范围是(/+/).例12.已知函数/(x)=0r2T+2-1(40).若/(“在区间口，2为单调增函数，求”的取值范围；设函数/(x)在区间口，2上的最小值为g(),求g()的表达式;设函数&)=(；)+嚏2击，若对任意x2i，2，不等式/(JMq)恒成立，求实数。的取值范围.【解析】(1)因为/(x)=2-*+2zT()的图象开口向上，对称轴方程为A一五所以“可在区间U,2为单调增函数需满足(1,a0,解得g(2)当02即0va4时，/(可在区间1,2上为减函数，2a4此时g()=/
24、=6。-3,6a-3,7(0,-)4综上所述，g()=2-;-l,!,!4。423-2,(,+)(3)对任意斗七旬1，2,不等式7(8)之(占)恒成立，即/WminMX)ma,由(2)知，/(x)min=g(),因为人(X)=()log?r=()r+IogI(X+1),2x+22所以h(x)在1.2上为单调递减函数，所以力*)三x=()=log12=-,2E2当0:时，由g3)之(%)2得3-2-：，解得!,所以J.2222综上，实数。的取值范围+oo)./7Y变式32.已知。/0,函数/(刈=1。氏.若=3,求不等式/(X)0,求证：函数y=Cx)的图象关于点P(2,log2)成中心对称；若
25、方程/(x)Tog2(2)=0的解集恰有一个元素，求。的取值范围.3x1/、ilog,1【解析】(1)当斫3时，不等式“x)l,即4-X,QrQ所以02,解得0xO,则函数/(X)的定义域为(0,4),任取Xt(-2,2),则2X(0,4),2+4(0,4),则f(2-X)+f(2+x)=Iog2?”+1暇A)、=lo2/=2Iog2a，4-(2-x)4-(2+x)所以函数y=(x)的图象关于点R2,log2加成中心对称；由log,log,(+x-2)=0,可得f+(2。-6)X-2(2。-4)=04-x解得=2,x2=4-2a,若X=W,则斫1,检验定义域，符合题意；若X=2是原方程的解，则
26、+-20,a0；=4-2是原方程的解，则-2+4-20,即2.因为方程f(x)-log2(+-2)=0的解集恰有一个元素，故当X=2是原方程的解，x2=4-2a不是原方程的解时，则。之2：当X=2不是原方程的解，=4-2是原方程的解时，0,又40,则0),当点M(x,)，)在函数g(x)的图象上运动时，对应的点T(3x,2y)在/(%)的图象上运动，则称g(X)是/(x)的相关函数.解关于X的不等式f(x)0【解析】依题意得1唾2(+)O则x+a2所以一x2-a,所以原不等式的解集为d-x2-.(2)由题意得2log2(3x+。),所以丁=glog2(3x+)，所以/(x)的相关函数为g()=
27、gk)g2(3+)依题意，对任意的KW(O)，/(x)的图象总在其相关函数图象的下方，即当KW(OJ)时，f(x)-g(x)=Iog2(x+)-log2(3x+)0,对任意的Xt(Ql)总成立，。20,结合题设条件有。，在此条件卜，等价于当Xw(Oj)时，log2(x+vlog2(3x+。)恒成立，即(x+)23x+,SPx2+(2-3)x+a2-a0.设(x)=x2+(2-3)x+a2-a,要使当xw(0,l)时,MX)VO恒成立,(0)0a2-a0只需2二/八，即，CC成立，(l)0a2+a-20解得0l,即的取值范围是(0,1.2一(N)(3)由(2)可得当。=1时，在区间(0,1)上，
28、x)g(x),即I尸(切=g(x)-f(x)=g27-.t3x+l令3x+l=(1l,若不是函数/(x)=xlog-2021的一个零点，/是函数g(x)=M-2021的一个零点,则工用的值为()A.1【答案】BB.2021C.2021D.4016【解析】因为是函数f(x)=HOgM-2021的一个零点，是函数g(x)=m-2021的一个零点,12021X2021所以KIOg“石-2021=0,七/-2021=0,即logtf%=，*=,XX2/、2021z、2021设函数y=(l)与y=i的交点为A,则A(X2,%),M=,X%2设函数y=kgtlx(l)与y=0红的交点为8,则B(,y),X
29、i因为函数,，=1。8(。1)与函数、=优(。1)互为反函数，所以其图象关于y=x对称，20212021所以点AB关于y=x对称，即内=%，所以由为=得M=,X2X2例15.若关于X的方程x+bg5*=4与+5=4的根分别为M、，则加+的值为()A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】由题意，可知log5X=+4,5=+4,作出函数y=bg5X,y=5xfy=-+4的图像(如图)，A、8两点的横坐标分别为h，且A、8关于直线y=x对称，AB的中点为C,联立Zi可得点Iy=T+4。的横坐标为2,因此m+=4.故选：C.变式34.设函数/(x)的图象与y=2“的图象关于直线y=-x对称，若，叶=
30、2020,/(-2w)+(-2m)=2,则a=()A.1011B.1009C.-1009D.-1011【答案】A【解析】因为函数y=(x)的图象与y=2的图象关于直线y=对称,令/(2n)=p,/(-2)=q,则p+q=2;m=-p+an=-q+a故(-p,2m),(-g,2)在y=2+a的图象上，所以2i=2”,2=2q+a,两式相加得加+=(p+q)+24,所以2a=m+n+p+q=2020+2=2022,解得=1011,故选：A.变式35.设方程2，+工一3=0的根为方程1/0工+2工-6=0的根为/，则+夕=()A.1B.2C.3D.6【答案】C【解析】因为方程2+jv-3=0的根为。
31、，可得是)，=2。和y=3-X两个函数图象交点A的横坐标，由log7x+2x-6=07iJ21og2x+2x-6=0即Iog2x=3-x,因为方程Iog7x+2-6=0的根为?，可得夕是y=iog2v和y=3-两个函数图象交点B的横坐标，由于y=2和y=IogzX互为反函数，图象关于37=%对称，所以A8两点关于y=对称，所以A(a,0,BSa)，因为点A(,在直线y=3上，可得夕=3-。，所以+7=3,故选：C变式36.已知函数/(x)=U+a2的零点为。,g(x)=lg(x-l)+x-3的零点为力,则+A=()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】设MX)=g(x+l)=lgx+x-2,由于函数g(x)=lg(x-l)+x-3的零点为6,则函数MX)的零点为b-.令/(x)=0,可得l(=2-x,令MX)=0,可得出IgX=2-尤，在同一平面直角坐标系中作出函数y=101.)，=lgx、y=x、y=2的图象,如下图所小：由于函数y=ioa、y=ig的图象关于直线丁=%的对称，直线y=2-与直线y=垂直，设直线y=2-x与函数y=I（的交点为点A,直线y=2
