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1、黄金冲刺大题07新定义综合(数列新定义、函数新定义、集合新定义)(精选30题)1. (2024辽宁二模)已知数列4的各项是奇数，且。.是正整数的最大奇因数，Sn=q+%+%+&+1.+a2.(1)求。6，20的值；(2)求，,S2,S3的值;(3)求数列代的通项公式.【答案】(1)4=3,20=5(2)Sl=2,S2=6,S3=22【分析】(1)根据所给定义直接计算可得；(2)根据所给定义列出4(i=l,2,3,8),即可得解；(3)当为奇数时4=。2卜1=22一1(AWN*),即可求出4+4+生+211.1,当为偶数时。“=。2氏=4(4N*),从而得到生+&+&+%=S,即可推导出S“一S
2、E=4T(2),再利用累加法计算可得.【详解】(1)因为6=l23,所以&=3,又20=1x4x5,所以%)=5；(2)依题意可得4=%=1，6=3,G4=1,6=5,4=3,%=7,叫所以S=4+%=2,S2=q+/+%+4=1+1+3+1=6,Sy=4+a2+%+%+5+4+07+/=1+1+3+1+5+3+7+1=22.(3)因为凡是正整数的最大奇因数，当为奇数，即=2%-l(2N*)时4=%=2攵-1,所以q+%+%+4j=+3+5+(2-1)T)X2T=4T,当为偶数，即=2M%N*)时=%=%,所以当“2时电+/+4+4+%=2x2+42+11-=4+%+q+q+%=Sg,fifj
3、VSn=al+a2+a3+a4+1.+%=(al+a3+as+.1)+(+4+6+8+)=4-,+Szi所以EI-Sl=4T52)且S=2,所以S1.(S”-S“t)+(Si-S.2)+.(-S2)+(S2-S1)+S1=4ni+4n2+42+4+2.4(Ie)4”1-434n+?当=1时*=2也满足邑=当*,所以数列sl的通项公式为=芋.【点睛】关键点点暗：本题关键是理解定义，笫：问关键是推导出5”-5一二47(/2)且号=2,最后利用累加法求出S”.2. (2024黑龙江双鸭山模拟预测)己知数列A：6M2，Mv(N3)的各项均为正整数，设集合T=x=aj-aifi如则2-(2，小-1)=2
4、-1,推得T为奇数，矛盾，进而得证.【详解】(1)解：由题意,数列Al,3,5,7,11I3-1=2,5-1=4,7-1=6,5-3=2,7-3=47-5=2,所以集合T=2,4,6,所以集合=3.(2)证明：充分性：若A为等差数列，且A是递减数列，则A的公差为d(dO),当li。3-afj-al,所以出一4，%-,qq1.,即一,且互不相等,所以7=02S-ai,a4-qJ1.MN-a1,又因为4-4%1v-a2aN-a，所以一%M1.a2，即一6e7且互不相等，所以一。2=。2一%，。4一。2=。3-4，MN-。2=-4，所以二=aN-aN-，所以A为等差数列，必要性成立.所以若A是递减数
5、列，-P(T)=N-1.的充要条件是“A为等差数列”.(3)证明：由题意集合T=kv=勺-4,ljN卜1的元素个数最多为个，N(N-I)即P(T)2公故2%(2“_1)=2(20-1),若彳工，2,不妨设小%则2s2(2/小-1)=2於2-1,而jilji2,故?FR-1)为偶数，2fcf-l为奇数，矛盾，故彳=，2,故j=h、故由A:2：2,2”得到的勺-4彼此相异，所以P(T)=M：-1)3. (2024广西二模)己知函数X)=Inr,若存在g(x)f(x)恒成立,则称g(x)是的一个“下界函数”.如果函数g(x)=；-Hu为“力的一个吓界函数”，求实数1的取值范围；(2)设函数尸(x)=
6、(力-十+,试问函数/(x)是否存在零点？若存在，求出零点个数；若不存在，请说明理由.【答案】(D(F,2)e(2)函数F(X)是否存在零点，理由见解答【分析】(I)把恒成立问题转换为求Zdnx的最小值问题，利用导数求出最小值即可：(2)把函数整理成尸(X)=InX-41.-J-4+2=l(l一力，要判断是否有零点，只需看尸(此的正eoxoxeexxeeJ1X负问题，令Ga)二尚，利用导数分析G(X)即可.ee【详解】(1)由g(x)(x)恒成立，可得工-lnxlnx恒成立，X所以f2xlnX恒成立,令(x)=2xlnx,所以(X)=2(1+lnx),当Xe(0)时，(x)O,MX)在d,+8
7、)单调递增；ee1 22所以力(外的最小值为)=一，所以f-Jeee实数,的取值范围(,二；e2 21(2)由(1)可知2xlnx-,所以21n4,所以Inx,eerex又尸(X)=/(x)二十工，所以尸(X)=InX一二+2，_4+2(二力，eexeexexeexxee1 1令G(x)=-7,所以G(X)=一1，eee当x(0,1)时，G(X)0,G(X)在(1,+力)单调递增；所以G(x)G=0,所以尸(X)=InX-=(-0,eexexeexXee又中取等号的条件不同，所以尸(%)0所以函数没有零点.4.(2024湖南长沙模拟预测)设次多项式匕C)=/+1/-/+0+卬+%,产0),若其
8、满足4(CoSX)=CoS内，则称这些多项式乙为切比雪夫多项式.例如：由COSe=COSe可得切比雪夫多项式E(X)=X,由cos26=2cos2e-l可得切比雪夫多项式6(x)=22-l.若切比雪夫多项式A(X)=OV3+b+B+d,求实数&bfcfd的值；(2)对于正整数.3时，是否有？(力=2XtT(X)-&2(月成立？已知函数/(x)=83-6x-l在区间(-1,1)上有3个不同的零点，分别记为M,工2，不，证明：+X2+r3=答案(l)=4,6=d=0,c=-3心a)=2xe(力-匕Ta)成立(3)证明见解析【分析】(1)利用Q(COSe)=COS3e=8s(M+e)展开计算，根据切
9、比雪夫多项式可求得冬几4。；(2)原等式成立，只需证明COSe+I)e+cos5-l)e=2cosg8S6成M即叽利用两角和与差的余弦公式不论成立;(3)由已知可得方程4V3x=在区间(T,1)上有3个不同的实根，令X=CoSae(0,11),结合(1)可是cos36=g,可得X=cc吟,W=CoS,a=COS与，计算可得结论.【详解】(1)依题意，6(COSe)=COS36=cos(26+6)=cos2osd-sin2为in。=Qcos?。-I)COS。一ZsinWcose=2cos%-COSe-2(1-CoS2。)COSe=4cos8-3cos6,因此Q(X)=4x33x,即0+bf+以+
10、d=4V-3x,则。=4/=d=0,c=-3,(2) B+G)=2x4(x)-W(X)成立.这个性质是容易证明的，只需考虑和差化积式CoSe+l)6+cos(-l)e=2cose-cos6.首先有如下两个式子：月+1(cos6)=Cos(，旧+6)=Cos&OSe-Sin的n6,Pn_x(s)=cos=cosmcossin2sin,两式相加得，Pn,x(cos(9)+Pn+x(s9)=2cos氏OSe=2Pn(CoSe)COs，,将8S。替换为X,所以G)=2xe(x)-2T(X).所以对于正整数3时，有七(力=2x吃力一(x)成立.(3)函数f(x)=8d-6工-1在区间(TI)上有3个不同
11、的零点3,与，七，即方程4-3x=g在区间(Tl)上有3个不同的实根,令X=COSae0,兀)，由(1)知CoS30=g,而36(0,3c),则3。=1或36=干或3。=日,.,.11511711Tze=Cos-,x2=Cos-,x3=cos-,则X1+W+W=11511711COS+COS+COS11(411211)=COScos+cos999所以须+X2+v3=9I99J5.(2024浙江模拟预测)己知实数夕工0,定义数列%如下：如果=%+22+22芍+2乜m0,1,z=0,1,2,则afl=Xo+xq+%夕？+xW(1)求和4(用。表示)；令瓦二旬7，证明：=%.;I=I若lv2,证明：
12、对于任意正整数，存在正整数?，使得4m+1.【答案】(l)%=l+4+42，/=(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)观察题目条件等式中的系数可得答案：(2)仇分别计算和4、可证明结论；/-I(3)先根据无上界说明存在.正整数?，使得为=1+4+d+gi./=I而2-l=l+2+22+2,，所以为=l+q+q2+4=；/=I(3)当lq4设机是满足凡,“的最小正整数.5面证明44+l.若相1是偶数，设相-1=2再+22ji2+2xjt,xj.0,l,z=l,2,Jc,则加=1+2+2工+2kxk,于是MJ=I+不闯+%?+xkqk=1+am-i.因为。之。所1，所以4=l+*W4+l若
13、相T是奇数，设m-l=l+2+2?+2,+2,+2xi+2+2kxk,则州一吁1=/(l+q+g?+q,=(q-)(+q+q2+y)(l+2+z)+l1.所以4%1+14+1.综上所述，对于任意正整数，存在正整数机，使得qr品&+l.6.(2024辽宁三模)若实数列4满足VN*,有凡+ql+224+,称数列勺为“丁数列”.判断图=2也=也是否为“丁数列”，并说明理由；(2)若数列4为“丁数列”，证明：对于任意正整数匕见，Kkm0,所以数列“是7数列”，因为“+2-2j+=In+ln(?+2)-2ln(zz+1)=In(w2+2w)-ln(112+2+l)0,所以数列2不是r数列”；(2)令Cf
14、l因为数列凡为“T数列，所以为+4.221从而勺.2一4+1之。用一可，所以CNNG因为1&m5-M11_C”,，n-mnr1m-ltn-km-k_Cj+%2+qnl.2023,20230242024-A:,lk-l1,2024-攵攵一1a.+,gM+M202311120231Sq20232023=M对于MVi左，由第(2)问的结论得乎a生手，从而-I-Ioi-ak+y-l)q+(k-i)j,i=l也成立，从而KiKIK1X-I11.1jt-17Ze-必KT1.i=I/=I1(k-2)(k-)k(k-)=a.+a.k-221a-2)k了&+矛对于也iZR)4+(2024-Mj=+i2。24-k
15、1.,=*+=*+12024-攵(2025一女)(2024-k)(2023一女)(2024-k)Z2024,Zak(2005-A:)(2023-k)=242024+2%zeJ2005d)J2023-幻所以aiZfl三4+Zak=*+lZZ由条件2024A-I2024o=q=q+%+4Z-II-Ir-Jt+l伏一2)k-2ak+万4+ak+(2005-&)(2023-k)22024-*262023k2025-2+万4+2-2024-、(Z2025AAfa”2025-A可得a*-ax+a7Q7.-M+M2023k1202312023204JIk20232023)2025所以-MakMn,要么=%时
16、，pn=Mn-mn=an-af故当%时，=，因此存在正整数,当。时，可，勺.|，q+2,是等差数列.综上，命题得证.【点睛】方法点睛：常见的数列求和的方法仃公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于5=an+bn,其中%和0分别为特殊数列，裂项相消法类似了凡二就Ij,错位相减法类似于%=凡，其中q为等差数列，也为等比数列等.8. （2024浙江绍兴二模）己知AN*,集合义=x=2+2+-+2Oo%,其中1,aN.（1）求乂2中最小的元素；设=2+23t%,b,且+力X,求。的值；_*+1记K=XAC（2*2,2切1,wN，若集合匕中的元素个数为2,求ZW=I1.【答案】（1）7（2）3=24
17、或IO2【分析】(1)根据集合新定义，确定乂2中最小的元素即可；(2)根据集合X1中的元素可得=2+23=10,设8=2,+2,0i(jwN),分别讨论当j3时，当/=4时，当j5时，b的取值情况，即可得结论：(3)设Xe匕，则X=2%+2*+2其中4=%+l,O1-.-1+t-l,所以=Ct，1h根据组合数的运算性质确定SE与SA.的关系，即可求得Z帚的值.rn=l2【详解】(1)X2中的最小元素为2+2+22=7(2)由题得q=2+23=10,设力=2，+2，O=20=24+22,符合题意，所以。=10当j=4时,Z=24+23=24b=24+22=20sEh=24+2,=18C=24+2
18、0=17.经检验，当力=24时，+b=34=25+2,符合题意，所以6=24.当/N5时，不符合题意.因此，力=24或10.(3)设xet,则x=2%+2+2%，其中4=女+一1,0of1-.4.1+rt-l,所以二Ct，设S=*则Sk=C+gc3+最C3+/c*.因为CW=C3+C：；,所以1+1=CM+gc：；+c：；+C*+击C;%=C+g(C+C：；)+1(c*+2+ckki2)+*(c；+Cr)+(Cji+l+C*)=(C+gC+*ct2+rc2+击C*J田+J1-(2攵+1)!1(2八2)!(2&+1)!-(22+1)!阳为2*+2k(k+)l2(l+l)!(Ar+l)!k(k+)
19、所以SM=S所以&+|=21，又因为Sl=I+gc；=2,所以=2*.【点睛】方法点睛：解决以集合为背景的新定义问题，注意两点:(1)根据集合定义式，确定集合中元素的特点，结合指数运算确定指数的取值情况从而得集合X&中的元素性质；4+1卜(2)确定集合匕中的元素个数为4时，结合组合数的运算性质确定S&=Z瑞r9Sg的关系.9.(2024山东潍坊二模)数列4中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列入凡称为“的一阶差数列，记为40,依此类推，4的一阶差数列称为4的二阶差数列，记为。照,.如果一个数列叫的P阶差数列4#是等比数列，则称数列“为p阶等比数列(PWN).已知数列,满足4=1,4+1
20、=24+1.(ii)证明：4是一阶等比数列；7377W71S(2)已知数列也“为二阶等比数列，其前5项分别为1,三，求2及满足为整数的所有值.【答案】(i)斓)=2,砂=4,)=8;(ii)证明见解析当=%+l,(kN)时，为整数.【分析】(1)(i)根据嫄的定义.结公通项公式求解即叽(ii)根据递推公式构造%-4,=2(q-%)即可证明：(2)由题意a的二阶等差数列忧)为等比数列，设公比为心叫W=gx4,结介4二日进而可得=(4n,-1)+/2,从而分析以为整数当且仅当为整数，再根据二项展开式，结合整除的性质分析即可.【详解】(1)(i)由4=1,+1易得/=3,%=7,4=15,由一阶等差
21、数列的定义得：d0=6r2-q=2,-a7f-a1=4,t=a4-a3=8.(ii)因为。“ia#,所以当2时有凡一2勺T=1,所以4+i-24=an-2,即an+i-afl=2(afl-an_1),即力)=2Z2,又因为q=l,故4是以1为首项，2为公比的等比数列，即q是一阶等比数列.(2)由题意低的二阶等差数列优)为等比数列，设公比为,则A=：，9=4,所以严=；x4i.由题意平=R所以理=W)+(艰-砂)丹+翦)令尸+1,9=yA=I,所以勿=4+(Mi)=I+砂1x(4”-)+，=hiZ/即2=夺夕)+.4T-1所以或为整数当且仅当当为整数.由已知=1时符合题意,=2,3,45时不合题
22、意,当6时，4h-,-1=(1+3)2-1=Cjt.13+C132+C333+C：；3m-,所以原题等价于3C+9C；曰为整数,27因为3C1.+9C3=(34)(-1)3(T)Te-I)271829显然3(-1)-1含质因子3,所以n-l必为9的倍数，设-1=91.,(1.N),则=92+1,将=94+1代入式，当女为奇数时，3(-1)-1为偶数，式为2的倍数；当2为偶数时，为奇数，n-1为偶数，式为2的倍数,又因为2与9互质，所以为整数.综上，当k=9A+1,(%NH,为整数.【点睛】方法点睛：(1)新定义的题型需要根据定义列出递推公式，结合等比等差的性质求解；(2)考虑整除时，可考虑根据
23、二项展开式进行讨论分析.10. (2024贵州黔西一模)布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔(1.EJBrouwer).简单地讲就是:对于满足一定条件的连续函数/O),存在实数与，使得f()=%,我们就称该函数为“不动点”函数，实数%为该函数的不动点.(1)求函数f(x)=2+x-3的不动点；(2)若函数g(x)=lnx-b有两个不动点和吃，且%,若W-X2,求实数。的取值范围.【答案】(I)logz3(2)inf-7-z,Ve-lJe-l【分析】(1)根据不动点定义求解即可；(2)根据题意问题转
24、化为方程b=lnx-X有两个不等的实数根.，)=lnx-x,利用导数判断单调睥值，可得b0,当x(l,+)时，(x)0,所以函数8(同在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，.e(X)We=-1,且0时，x)-,x+8时，(x)-,作出e(x)的大致图象如卜：所以8-1,且-玉的值随着力的值减小而增大，当=2时,有E=n%f,两式相减得In二=W-=2,o=Inx2-x2X1解得三=e?,即=e2,代入x2-=2,解得不产白，彳e-1所以此时b=-,Ve-lJe-l所以满足题意的实数b的取值范围为In(FJ1一7”0),证明：集合A=M/(%)=目中有且仅有一个元素；若刈=(。+I)
25、X-+誓1)，讨论集合B的子集的个数.【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析【分析】(1)令g()=*)7=-,求好，川得函数g。)的单调性，进而可得函数g(幻有唯,零点，可得结论；21(2)由题意可知只需研究f(x)的不动点即可，令尸(X)=FInX+6，求出其导数，判断其单调性，然后eX分类讨论。的取值范围，判断F(X)的零点情况，即可判断了*)的稳定点个数.，进而可得集合8的子集的个数.x1【详解】(D令g()=().=，求导得g(x)=2。T，令g()=0,可得X=e,当x(-8,e),g(x)v,当x(e,o),g(x)O,所以g(x)mm=g(e)=0,所以g(x)有唯一零点，所
26、以集合A=x(x)=4中有且仅有一个元素；(2)当T时，由函数/(x)=3+l)x-1.+冬，Xe1 21可得函数()=+i)+4+41o,所以Fa)在(0,+0),eX711则/)=AXj+吃，则尸(X)在(0,+OO)上单调递减，eXx当0时，尸()0恒成立，即尸(X)在(0,+8)上单调递增，当X无限接近于。时.，/(X)趋向于负无穷小，F(e2)=4lne2+e2-0,ee-故存在唯一的XOW(O,/),使得尸(X)=0,即/(x)=x有唯一解，所以此时/)有唯一不动点：2当0时，即一lv0,e211当当趋向无穷大时，TX+F趋近于0,此时尸()o,eXx211存在唯一玉(0,+oc)
27、,使得尸(x)=-jx-+-5=0,exx此时/(X)在(o,1)上单调递增，在(,+)上单调递减，21222故/(x)a=FU1)=-lnx1+ar1-=Inx1eXeXe当4趋近于。时，尸(X)趋向于负无穷大，当打句正无穷大时，Z7(X)趋向负无穷大时,222设(x)=WlnxW-；,则*)在(O,+oo)上单调递增，eXe且Me2)=4lne,一-2,eee211又=-yxr在*w(0,x)时单调递增，ex】X222故(i)当F(x)max=EX-不一/=0时，即凡=屋，3此时=_*,方程F(X)=O有一个解，即F(X)有唯一不动点，所以集合B的子集有2个；e222(ii)当尸(a=w】
28、nX,即xe2,eX1e3此时7a。时，即Xe?,此时一*(),方程尸(X)=O有两个解，即幻有e内ee两个不动点，所以集合8的子集有4个；3综上，当0时或。=-F时，集合B的子集有2个；e3当TVa时，集合3的子集有1个；e3当-a1倒数函数”，/为“/(X)的可移4倒数点己知g(x)=eF7(x)=x+(0).(1)设MX)=g(x)力2(),若&为“以幻的可移2倒数点”，求函数以幻的单调区间；g(x),xO设以X)=1”，若函数火幻恰有3个“可移1倒数点”，求4的取值范围.h(x)【答案】(1)单调递增区间为(f,-3),(T,+),递减区间为(-3,-1)；(2.e).【分析】(1)根
29、据给定的定义，列式求出。值，再利用导数求出函数以幻的单调区间.(2)利用定义转化为求方程Ga)o(x+l)=l恰有3个不同的实根，再借助导数分段探讨冬点情况即可.【详解】(1)由为“人(力的可移-2倒数点”,(2)(2-2)=1,即(+a)(-2+)=l,整理/+Q应-2)o+2=0,即(+2应-l)(7)=0,解得=l,由例x)=e%x+l)2的定义域为R,求导得A(X)=e*+l)2+2e%x+l)=e*(x+l)(x+3),当x(y-3)时,(x)0,夕(戈)单调递增；x(-3,-l)时，d(x)O,夕(同单调递增，所以*(x)的单调递增区间为(-,-3),(T*o),递减区间为(-3,
30、T).ex0(2)依题意，(x)=1,x0时，x+lO,方程&(力破工+1)=1可化为2用=1,解得x=一这与x0不符，因此在(0,+8)内矶司矶x+l)=0没有实数根；p-v+l当一IVXVo时，x+10,方程3(力。(工+1)=1可化为=1,x+a该方程又可化为=e-.设MX)=*T,则/(%)=d因为当X(T,O)时，,()O,所以M力在(To)内单调递增，又因为MT)=ZMo)=e，所以当XW(To)时，MX)(2,e),因此,当(2,e)时，方程。(X)WX+1)=1在(To)内恰有一个实数根；当。(0,2卜卜，也)时，方程矶(x+1)=1在(TO)内没有实数根.当X=T时,x+l=
31、0Ma+1)没有意义，所以X=-I不是G(X)&(x+l)=l的实数根.当XVT时，x+l0则有一驾1.-I，解得上在，22l-(2+l)+/+一10因此当上乎时，方程。(力o(x+l)=l在(-8,-1)内恰有两个实数根，当0笥叵时，方程&(力/(元+1)=1在(7,-I)内至多有一个实数根，综上，的取值范围为(2,e)c(E手,+8)=(2,e).【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：(1)转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题;(2)列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；(3)得解，即由列出的式子求出参数的取值范围.13. (2024湖南二模)罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由法国数学家米歇尔罗尔于1691年提出的.它的表达如下：如果函数/O)满足在闭区间连续，在开区间S，与内可导，且/()=S),那么在区间S1)内至少存在一点机，使得/5)=0.运用罗尔定理证明：若函数/(x)在区间田连续，在区间S上可导，则存在不(4力)，使得Ia)
